數(shù)列的綜合應用(1)-資料下載頁
2025-05-14 09:11本頁面
【正文】 兩位同學所報出的數(shù)之和 。 ② 若報出的數(shù)為 3的倍數(shù) ， 則報該數(shù)的同學需拍手一次 . 已知甲同學第一個報數(shù) ， 當五位同學依序循環(huán)報到第 100個數(shù)時 ， 甲同學拍手的總次數(shù)為 . 解析 設第 n個同學報出的數(shù)為 an,則 an+an+1=an+2, ∴ an+2=an+an+1,an+3=an+1+an+2=an+2an+1, an+4=an+3+an+2=2an+3an+1, ∴ an+4+an=3an+3an+1=3(an+an+1). 又 an為大于 0的整數(shù) , ∴ an被 3整除時 ， an+4也被 3整除； an不被 3整除時 ， an+4也不被 3整除 . 又 a1=1,a2=1,a3=2,a4=3,a5=5, ∴{ an}中被 3整除的數(shù)為 a4+4k(k∈ N), 又甲報出的數(shù)為 a1+5m(m∈ N), ∴ 甲報出的數(shù) a1+5m被 3整除時 ， 存在 k∈ N, 使 1+5m=4+4k, ∴ k= ∴ m3被 4整除 ， 設 m3=4p(p∈ Z)， 則 m=4p+3. ∵ 1≤ 1+5m≤ 100,∴ 0≤ m≤ , ∴ 0≤ 4p+3≤ ,∴ ≤ p≤ , ∴ p只能取 0， 1， 2， 3， 4共 5個整數(shù) ， ∴ m只能取 3， 7， 11， 15， 19共 5個整數(shù) ， ∴ 甲報出的數(shù)只有 5次能被 3整除 . ∴ 甲拍了 5次手 . 答案 5 ,4 34 35 ???? mmm43三 、 解答題 ， 國家限定某礦區(qū)的出口總量不能超過 80噸 ， 該礦區(qū)計劃從 2021年開始出口 ， 當年出口 a噸 ， 以后每年出口量均比上一年減少 10%. （ 1） 以 2021年為第一年 ， 設第 n年出口量為 an噸 ，試求 an的表達式； （ 2） 因稀土資源不能再生 ， 國家計劃 10年后終止該礦區(qū)的出口 ， 問 2021年最多出口多少噸 ？ （ 保留一位小數(shù) ） 參考數(shù)據(jù)： ≈ . 解 （ 1） 由題意知每年的出口量構成等比數(shù)列 ， 且 首項 a1=a,公比 q=110%=, ∴ an=a . （ 2） 10年出口總量 S10= =10a(). ∵ S10≤ 80， ∴ 10a（ ） ≤ 80， 即 a≤ ∴ a≤ . 故 2021年最多出口 . )( 10??a, 8 10? {an}的前 n項和為 Sn， 且 （ 3m） Sn+2man=m+3 （ n∈ N*） .其中 m為常數(shù) ， m≠ 3,且 m≠ 0. （ 1） 求證： {an}是等比數(shù)列； （ 2） 若數(shù)列 {an}的公比滿足 q=f(m)且 b1=a1,bn= f(bn1)(n∈ N*,n≥ 2),求證： 為等差數(shù)列 ,并求 bn. 證明 （ 1） 由 （ 3m） Sn+2man=m+3, 得 (3m)Sn+1+2man+1=m+3, 兩式相減 ， 得 (3+m)an+1=2man (m≠ 3), ∴ ∵ m是常數(shù) ， 且 m≠ 3， m≠ 0， 23??????nb1,321 ??? m maann故 是不為 0的常數(shù) ， ∴ {an}是等比數(shù)列 . （ 2） 由 b1=a1=1,q=f(m)= ,n∈ N*且 n≥ 2, bn= f(bn1)= 得 bnbn1+3bn=3bn1， ∴ ∴ 是以 1為首項 ， 為公差的等差數(shù)列 ， 32?mm32?mm23 ,322311?? ??nnbb.31111???nn bb??????nb131.23,3 23 111 ????????? nbnnb nn A城駛往 B城 ， 沿途有 n個車站 （ 包 括起點站 A和終點站 B） ， 每停靠一站便要卸下前 面各站發(fā)往該站的郵袋各一個 ， 同時又要裝上該 站發(fā)往后面各站的郵袋各一個 ， 設該車從各站出 發(fā)時郵政車內(nèi)的郵袋數(shù)構成一個有窮數(shù)列 {ak} (k=1,2,3,? ,n). 試求： （ 1） a1,a2,a3。 （ 2） 郵政車從第 k站出發(fā)時 ， 車內(nèi)共有郵袋數(shù)多少 個 ？ （ 3） 求數(shù)列 {ak}的前 k項和 Sk. 解 （ 1） 由題意得 a1=n1, a2=(n1)+(n2)1=2n4, a3=(n1)+(n2)+(n3)12=3n9. （ 2） 在第 k站出發(fā)時 ， 放上的郵袋共： (n1)+(n2)+? +(nk)個 ， 而從第二站起 ， 每站放下的郵袋共： 1+2+3+? +(k1)個 ， 故 ak=(n1)+(n2)+? +(nk)［ 1+2+? +(k1)］ =kn k(k+1) k(k1) =knk2 (k=1,2,? ,n), 2121即郵政車從第 k站出發(fā)時 ， 車內(nèi)共有郵袋數(shù) knk2（ k=1， 2， ? ， n） 個 . （ 3） ∵ ak=knk2， ∴ Sk=（ n+2n+? +kn） （ 12+22+? +k2） = k（ n+kn） .6 1)21)(( ?? kkk21 返回
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