【正文】 浙江省專用 本課件為基于精確校對的 word書稿制作的 “ 逐字編輯 ” 課件，如需要修改課件，請雙擊對應(yīng)內(nèi)容，進入可編輯狀態(tài)。 如果有的公式雙擊后無法進入可編輯狀態(tài)，請單擊選中此公式，點擊右鍵、 “ 切換域代碼 ” ，即可進入編輯狀態(tài)。修改后再點擊右鍵、 “ 切換域代碼 ” ，即可退出編輯狀態(tài)。 第 9講 數(shù)列的概念與表示、等差數(shù)列與等比數(shù)列 第 10講 數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應(yīng)用 專題三 數(shù)列及數(shù)列的簡單應(yīng)用 專題三 數(shù)列及數(shù)列的簡單應(yīng)用 第 9講 數(shù)列的概念與表示、等差數(shù)列與等比數(shù)列 第 9講 │ 云覽高考 [云覽高考 ] 說明： A表示簡單題， B表示中等題， C表示難題 考點統(tǒng)計 題型 (頻率 ) 考例 (難度 ) 考點 1 數(shù)列的概念與表示 0 考點 2 等差數(shù)列 選擇 (1) 填空 (1) 解答 (1) 2022浙江卷 15(B)， 2022浙江卷 22(2)(C)， 2022浙江卷7(B) 考點 3 等比數(shù)列 選擇 (1) 填空 (2) 2022浙江卷 11(A)， 2022浙江卷 3(A)， 2022浙江卷 13(A) 考點 4 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合 解答 (1) 2022浙江卷 19(B) 第 9講 │ 二輪復(fù)習(xí)建議 二輪復(fù)習(xí)建議 命題角度： 該部分的命題一般圍繞三 個點展開 ． 第一個點圍繞一般數(shù)列、數(shù)列的通項與前 n 項和的關(guān)系展開，設(shè)計求數(shù)列的項、數(shù)列的和、數(shù)列中的某些量等問題，目的是考查對數(shù)列概念的理解、基本的變換與運算的能力；第二個點是圍繞等差數(shù)列展開，設(shè)計等差數(shù)列的判定、等差數(shù)列的性質(zhì)、通項公式的求解、前 n 項和的求解等問題，目的是考查基礎(chǔ)知識和基本運算求解能力；第三個點是圍繞等比數(shù)列展開，設(shè)計等比數(shù)列的判定、等比數(shù)列的性質(zhì)、通項公式的求解、前 n 項和的求解等，目的是考查基礎(chǔ)知識和基本運算求解能力 ． 無論在哪個點展開的命題，試題難度都不大 ． 第 9講 │ 二輪復(fù)習(xí)建議 預(yù)計 2022 年對該部分的考查基本方向不會變化，即主要考查數(shù)列的一般問題、等差數(shù)列與等比數(shù)列中基本量的計算、通項公式的求解、前 n 項和的求解等． 復(fù)習(xí)建議： 從近三年浙江卷的考查情況看， 20 10 、 2022年數(shù)列出現(xiàn)在選擇、填空題中， 201 1 年數(shù)列出現(xiàn)在解答題中，變化較大，但難度中等偏下 ． 考查的內(nèi)容就是數(shù)列的基本問題 ( 通項、求和 ) 、等差數(shù)列和等比數(shù)列，因此在復(fù)習(xí)該講內(nèi)容時要堅持基礎(chǔ)為主，強化運算能力的培養(yǎng) ． 第 9講 │ 主干知識整合 主干知識整合 第 9講 │ 主干知識整合 1. an與 Sn的關(guān)系 在數(shù)列 { an} 中， Sn＝ a1＋ a2＋ ? ＋ an，從而 an＝????? S1， n ＝ 1 ，Sn－ Sn － 1， n ≥ 2. 2 ． 等差數(shù)列和等比數(shù)列 (1) 公式：如果數(shù)列 { an} 是公差為 d 的等差數(shù)列，則 an＝ a1＋ ( n － 1) d ， Sn＝ na1＋n ? n － 1 ?2d ＝n ? a1＋ an?2. 如果數(shù)列 { an} 是公比為 q 的等比數(shù)列，則 an＝ a1qn － 1， Sn＝????? a1? 1 － qn?1 － q＝a1－ anq1 － q， q ≠ 1 ，na1， q ＝ 1. 第 9講 │ 主干知識整合 (2) 性質(zhì)：等差數(shù)列 { an} 對正整數(shù) m ， n ， p ， q ， am＋ an＝ ap＋ aq? m ＋ n ＝ p ＋ q ， am＋ an＝ 2 ap? m ＋ n ＝ 2 p . 等比數(shù)列 { an} 對正整數(shù) m ， n ， p ， q ， aman＝ apaq? m ＋ n ＝p ＋ q ， am＋ an＝ a2p? m ＋ n ＝ 2 p . (3) 結(jié)論：等差數(shù)列的前 n 項和為 Sn，則 Sm， S2 m－ Sm， S3 m－ S2 m， ? 為等差數(shù)列；等比數(shù)列的前 n 項和為 Sn，則在公比不等于－ 1 時， Sm， S2 m－ Sm， S3 m－ S2 m， ? 成等比數(shù)列． 等差數(shù)列的單調(diào)性由公差 d 的范圍確定， 等比數(shù)列的單調(diào)性由首項和公比的范圍確定 . 要點熱點探究 第 9講 │ 要點熱點探究 ? 探究點一 數(shù)列的概念與表示 例 1 ( 1 ) 數(shù)列 { an} 的前 n 項和記為 Sn， a1＝ 1 ， an ＋ 1＝ 2 Sn＋1 ( n ≥ 1 ) ， 則數(shù)列 { an} 的通項公式是 ________ ． ( 2 ) 已知數(shù)列 { an} 滿足 ： a1＝ 1 ， a2＝12， 且 [ 3 ＋ ( － 1 )n] an ＋ 2－2 an＋ 2 [( － 1 )n－ 1 ] ＝ 0 ， n ∈ N*， 則數(shù)列 { an} 的通項公式是_____ ___ ． 第 9講 │ 要點熱點探究 [ 思考流程 ] (1)( 分析 ) 欲求數(shù)列通項只需找到數(shù)列的遞推關(guān)系或者求出和的關(guān)系 ? ( 推理 ) 升角標后相減或者利用 an ＋ 1＝ Sn＋ 1 － S n 與已知相結(jié)合得出 S n 的關(guān)系式后求出 S n ，再根據(jù) S n 求數(shù)列的通項 ? ( 結(jié)論 ) 得出結(jié)果． (2) ( 分析 ) 欲求數(shù)列 { an} 的通項公式，需要弄清數(shù)列的遞推關(guān)系 ? ( 推理 ) 分 n 為奇數(shù)和偶數(shù)分別得出數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項的規(guī)律 ? ( 結(jié)論 ) 按照等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式得出結(jié)果． 第 9講 │ 要點熱點探究 [ 解析 ] (1) 方法 1 ：由 a n ＋ 1 ＝ 2 S n ＋ 1 可得 a n ＝ 2 S n － 1 ＋ 1( n ≥ 2) ，兩式相減得 a n ＋ 1 － a n ＝ 2 a n ， a n ＋ 1 ＝ 3 a n ( n ≥ 2) ． 又 a 2 ＝ 2 S 1 ＋ 1 ＝ 3 ，所以 a 2 ＝ 3 a 1 ，故 { a n } 是首項為 1 ，公比為 3 的等比數(shù)列，所以 a n ＝ 3n － 1. [ 答案 ] (1) an＝ 3n － 1 (2) an＝????? n ? n 為奇數(shù) ? ，??????12n2? n 為偶數(shù) ? 第 9講 │ 要點熱點探究 方法 2 ：由于 an ＋ 1＝ Sn ＋ 1－ Sn， an ＋ 1＝ 2 Sn＋ 1 ，所以 Sn ＋ 1－Sn＝ 2 Sn＋ 1 ， Sn ＋ 1＝ 3 Sn＋ 1 ，把這個關(guān)系化為 Sn ＋ 1＋12＝3??????Sn＋12， 即得數(shù)列??????Sn＋12為首項是 S1＋12＝32，公比是 3 的等比數(shù)列，故 Sn＋12＝32 3n － 1＝123n，故 Sn＝123n－12. 所以，當n ≥ 2 時， an＝ Sn－ Sn － 1＝ 3n － 1，由 n ＝ 1 時 a1＝ 1 也適合這個公式，故所求的數(shù)列 { an} 的通項公式是 an＝ 3n － 1. 第 9講 │ 要點熱點探究 (2) 當 n 為奇數(shù)時， an ＋ 2＝ an＋ 2 ，即數(shù)列 { an} 的奇數(shù)項成等差數(shù)列， ∴ a2 n － 1＝ a1＋ ( n － 1) 2 ＝ 2 n － 1 ；當 n 為偶數(shù)時， an ＋ 2＝12an，即數(shù)列 { an} 的偶數(shù)項成等比數(shù)列， a2 n＝ a212n － 1＝12n. 因此，數(shù)列 { an} 的通項公式為 an＝????? n ? n 為奇數(shù) ? ，12n2? n 為偶數(shù) ? . 第 9講 │ 要點熱點探究 ? 探究點二 與等差數(shù)列有關(guān)的問題 例 2 在 等差數(shù)列 { an} 中 ， 已知 a4＋ a8＝ 16 ， 則該數(shù)列前 11 項和 S11＝ ( ) A ． 58 B ． 88 C ． 143 D ． 1 76 第 9講 │ 要點熱點探究 [ 思考流程 ] ( 分析 ) 欲求 S11只要求出 a1＋ a11 ? ( 推理 ) 據(jù)已知和等差數(shù)列通項性質(zhì)可得 ? ( 結(jié)論 ) 代入 S11＝a1＋ a112 1 1. 第 9講 │ 要點熱點探究 [ 解析 ] 由等差數(shù)列性質(zhì)可知， a4＋ a8＝ a1＋ a11＝ 16 ， S11＝11 ? a1＋ a11?2＝ 88. [ 答案 ] B 第 9講 │ 要點熱點探究 [ 點評 ] 等差數(shù)列 { an} 的基本量是首項 a1與公差 d ，解題時只要根據(jù)已知得出方程把這兩個基本量求出，即可求其通項公式以及前 n 項和，等差數(shù)列的求和公式有兩種形式，它們是等價的，能用其中一個公式解決的問題用另一個公式也能解決，如本例中，根據(jù)已知可得 a1＋ 5 d ＝ 8 ，即 a1＝ 8 － 5 d ，則 S11＝ 11 a1＋11 102d ＝ 11 (8 － 5 d ) ＋ 55 d ＝ 88. 第 9講 │ 要點熱點探究 變式題 (1) 在等差數(shù)列 { a n } 中，若 a 4 ＋ a 6 ＋ a 8 ＋ a 10 ＋ a 12 ＝120 ，則 a 9 －13a 11 的值為 ( ) A ． 14 B ． 15 C ． 16 D ． 17 ( 2 ) 已知等差數(shù)列 { a n } 和 { b n } 的前 n 項和分別為 A n 和 B n ， 且A nB n＝7 n ＋ 41n ＋ 3， 則使得a nb n為整數(shù)的正整數(shù) n 的個數(shù)是 ________ ． 第 9講 │ 要點熱點探究 [ 解析 ] (1) 由 a 4 ＋ a 6 ＋ a 8 ＋ a 10 ＋ a 12 ＝ 120 及等差數(shù)列的性質(zhì)知， a 8 ＝ 24 ，設(shè)公差為 d ，則 a 9 －13a 11 ＝ ( a 8 ＋ d ) －13( a 8 ＋ 3 d ) ＝ 23a 8 ＝ 16. ( 2 )a nb n＝A 2 n － 1B 2 n － 1＝7 ? 2 n － 1 ? ＋ 41? 2 n － 1 ? ＋ 3＝14 n ＋ 342 n ＋ 2＝7 n ＋ 17n ＋ 1＝ 7 ＋10n ＋ 1∈ Z ， 則 n ＋ 1 ＝ 177。1 ， 177。2 ， 177。5 ， 177。 10 ， 解得 ： n ＝ 1 , 4 , 9. [ 答案 ] (1) C (2) 3 第 9講 │ 要點熱點探究 ? 探究點三 與等比數(shù)列有關(guān)的問題 例 3 [ 2022 遼寧卷 ] 已知等比數(shù)列 { an} 為遞增數(shù)列，且 a25＝ a10,2( an＋ an ＋ 2) ＝ 5 an ＋ 1，則數(shù)列 { an} 的通項公式為 an＝________. 第 9講 │ 要點熱點探究 [ 思考流程 ] ( 分析 ) 只要求出首項和公比 ? ( 推理 ) 根據(jù) a25＝a10 ,2 ( an＋ an ＋ 2) ＝ 5 an ＋ 1列方程解之 ? ( 結(jié)論 ) 使用等比數(shù)列通項公式得出 ． 第 9講 │ 要點熱點探究 [ 解析 ] 由已知條件 ??????an 為等比數(shù)列， 2( a n ＋ a n ＋ 2 ) ＝ 5 a n ＋ 1? 2( an