【正文】 2n， 則 Sn＝ (2 n － 3)2n＋ 3. 返回目錄 第 10講 數(shù)列求和及數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用 命題立意追溯 小結(jié)： 錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和時(shí)，除對(duì)式子結(jié)構(gòu)的準(zhǔn)確把握外，還要注意錯(cuò)位后的相減運(yùn)算的首尾處理，使運(yùn)算更準(zhǔn)確，最后再簡(jiǎn)化結(jié)果． 返回目錄 第 10講 數(shù)列求和及數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用 命題立意追溯 跟蹤練 已知等差數(shù)列 { a n } 和公比為 q ( q 1) 的等比數(shù)列 { b n } ，且 a 1 ＝ b 1 ＝ 1 ， a 2 ＝ b 2 ， a 5 ＝ b 3 . (1) 求數(shù)列 { a n } ， { b n } 的通項(xiàng)公式； (2) 若數(shù)列 { a n b n } 的前 n 項(xiàng)和為 S n ，且對(duì)任意 n ∈ N*均有 λ [ a n ＋ 1 b n ＋ 1 － 2( S n － 1 )] n2＋ n 成立，試求實(shí)數(shù) λ 的取值范圍． 返回目錄 第 10講 數(shù)列求和及數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用 命題立意追溯 解： (1) 設(shè)等差數(shù)列的公差為 d ，根據(jù)題意， 得?????1 ＋ d ＝ q ，1 ＋ 4 d ＝ q2，解得 d ＝ 0 ， q ＝ 1( 舍去 ) 或 d ＝ 2 ， q ＝ 3 ， 則數(shù)列 { an} ， { bn} 的通項(xiàng)公式分別為 an＝ 2 n － 1 ， bn＝3n 1. (2) 由 Sn＝ a1b1＋ a2b2＋ a3b3＋ ? ＋ anbn＝ 1 1 ＋ 3 3 ＋ 5 32＋ 7 33＋ ? ＋ (2 n － 1)3n － 1， ① 則 3 Sn＝ 1 3 ＋ 3 32＋ 5 33＋ ? ＋ (2 n － 3)3n 1＋ (2 n －1)3n， ② ① － ② 得－ 2 Sn＝ 1 ＋ 2(3 ＋ 32＋ 33＋ ? ＋ 3n 1) － (2 n －1)3n＝ 1 ＋ 2 3 （ 1 － 3n － 1）1 － 3－ (2 n － 1)3n＝ (2 － 2 n )3n－ 2 ， 故 Sn＝ ( n － 1)3n＋ 1 . 返回目錄 第 10講 數(shù)列求和及數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用 命題立意追溯 由 λ [(2 n ＋ 1)3n－ (2 n － 2 )3n] n2＋ n ， 化簡(jiǎn)并整理，得 λ n2＋ n3n ＋ 1. 令 cn＝n2＋ n3n ＋ 1， 則 cn ＋ 1－ cn＝（ n ＋ 1 ）2＋（ n ＋ 1 ）3n ＋ 2－n2＋ n3n ＋ 1 ＝（ n2＋ 3 n ＋ 2 ）－（ 3 n2＋ 3 n ）3n ＋ 2＝2 － 2 n23n ＋ 2. 因?yàn)?n ∈ N*，所以 2 － 2 n2≤ 0 ， 所以對(duì) ? n ∈ N*， c n ＋ 1 ≤ c n ，所以 ( c n ) max ＝ c 1 ＝29，故 λ 29. 返回目錄 第 10講 數(shù)列求和及數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用 例 1 已 知 數(shù) 列 { a n } 滿(mǎn)足： a 1 ＝ 1 ， a n ＋ 1 ＝????? 12a n ＋ n ， n 為奇數(shù)，a n － 2 n ， n 為偶數(shù)，且 b n ＝ a 2 n － 2 ， n ∈ N*. (1) 求證：數(shù)列 { b n } 為等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式； (2) 若 S 2 n ＋ 1 ＝ a 1 ＋ a 2 ＋ ? ＋ a 2 n ＋ a 2 n ＋ 1 ，求 S 2 n ＋ 1 . [ 備選理由 ] 例 1 考查分組法求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和，例 2考查錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和無(wú)論是錯(cuò)位相減還是分組轉(zhuǎn)化，都要涉及最基本的等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和方法，起到了鞏固基礎(chǔ)的作用．這兩道例題可分別對(duì) 應(yīng)考向一和考向三選用． —— 教師備用例題 —— 返回目錄 第 10講 數(shù)列求和及數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用 解： (1) 證明：當(dāng) n ≥ 2 時(shí)， bn＝ a2 n－ 2 ＝ a(2 n － 1) ＋ 1－ 2 ＝12a2 n － 1＋ (2 n － 1) － 2 ＝ 12[ a2 n － 2－ 2(2 n － 2)] ＋ (2 n － 1) － 2 ＝12[ a2 ( n － 1)－ 2] ＝12bn － 1. 又 ∵ b1＝ a2－ 2 ＝－12， ∴ bn＝－12 23＋ ? ＋ (2 n － 1) 2n－1， ① 2 Sn＝ 21＋ 3 21＋ 5 b2＋ ? ＋ an b n } 的前 n 項(xiàng)和 S n . 返回目錄 第 10講 數(shù)列求和及數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用 命題立意追溯 解： (1) 設(shè)數(shù)列 { an} 的公差為 d ，數(shù)列 { bn} 的公比為 q ， 由題意得???????a1＝ b1＝ 1 ，a1＋ d ＝ b1q ＋ 1 ，a1＋ 3 d ＝ b1q3－ 1 ，所以?????d ＝ q ，q3－ 3 d － 2 ＝ 0 ， d ＝ q ＝－ 1( 舍去 ) 或 d ＝ q ＝ 2 ， 所以 an＝ 2 n － 1 ， bn＝ 2n－1( n ∈ N*) ． (2 ) Sn＝ a1 2n 2， 則 Tn＝ ( n － 2)2n 2＋12. ∵ anbn＝ ( n － 1 )2n 3≥ 0 ， ∴ 隨著 n 的增大，Tn遞增． ∵ T92022 T10，對(duì)于任意 n k ， Tn2022 恒成立， ∴ km ax＝ 10. 命題考向探究 返回目錄 命題考向探究 ? 考向四 數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用 考向：與數(shù)列有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題． 考例：近五年新課標(biāo)全國(guó)卷沒(méi)有考查． 例 4 某地水資源極為緊張， 且受工業(yè)污染嚴(yán)重，預(yù)計(jì)20 年后該地將無(wú)潔凈的水可用．當(dāng)?shù)?決定重新選址建設(shè)新城區(qū)，同時(shí)對(duì)舊城區(qū)進(jìn)行拆除．已知舊城區(qū)的住房總面積為 64 a m2，每年拆除的數(shù)量相同，新城區(qū)計(jì)劃第一年建設(shè)住房面積 a m2，前四年每年以 100 % 的增長(zhǎng)率建設(shè)新住房，從第五年開(kāi)始，每年都比上一年增加 a m2. 設(shè)第 n ( n ≥ 1 ，且n ∈ N ) 年新城區(qū)的住房總面積為 an m2，該地的住房總面積為 bn m2. (1) 求 { an} 的通項(xiàng)公式； (2) 若每年拆除 4 a m2，比較 an ＋ 1與 bn的大?。? 第 10講 數(shù)列求和及數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用 返回目錄 命題考向探究 解： (1) 設(shè)第 n 年新城區(qū)的住房建設(shè)面積為 λn m2，則當(dāng)1 ≤ n ≤ 4 時(shí)， λn＝ 2n － 1a ； 當(dāng) n ≥ 5 時(shí)， λn＝ ( n ＋ 4) a . 則當(dāng) 1 ≤ n ≤ 4 時(shí)， an＝ (2n－ 1) a ； 當(dāng) n ≥ 5 時(shí)， an＝ a ＋ 2 a ＋ 4 a ＋ 8 a ＋ 9 a ＋ ? ＋ ( n ＋ 4) a ＝n2＋ 9 n － 222a . 故 an＝????? （ 2n－ 1 ） a （ 1 ≤ n ≤ 4 ），n2＋ 9 n － 222a （ n ≥ 5 ） . 第 10講 數(shù)列求和及數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用 返回目錄 命題考向探究 (2) 當(dāng) 1 ≤ n ≤ 3 時(shí)， an ＋ 1＝ (2n ＋ 1－ 1) a ， bn＝ (2n－ 1) a ＋ 64 a－ 4 na ，顯然有 an ＋ 1 bn； 當(dāng) n ＝ 4 時(shí)， an ＋ 1＝ a5＝ 24 a ， bn＝ b4＝ 63 a ，此時(shí) an ＋ 1 bn； 當(dāng) 5 ≤ n ≤ 16 時(shí)， an ＋ 1＝n2＋ 11 n － 122a ， bn＝n2＋ 9 n － 222a＋ 64 a － 4 na ， an ＋ 1－ bn＝ (5 n － 59) a . 所以，當(dāng) 5 ≤ n ≤ 11 時(shí)， an ＋ 1 bn； 當(dāng) 12 ≤ n ≤ 16 時(shí)， an ＋ 1 bn； 當(dāng) n ≥ 17 時(shí)，顯然 an ＋ 1 bn. 綜上可得，當(dāng) 1 ≤ n ≤ 11 時(shí)， an ＋ 1 bn；當(dāng) n ≥ 12 時(shí)， an ＋ 1 bn. 第 10講 數(shù)列求和及數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用 返回目錄 命題考向探究 小結(jié)： 解決數(shù)列應(yīng)用題的基本步驟： (1) 依據(jù)題意識(shí)別數(shù)列歸屬； (2) 建立等差數(shù)列或等比數(shù)列模型； (3) 依據(jù)數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題． 第 10講 數(shù)列求和及數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用 返回目錄 第 10講 數(shù)列求和及數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用 命題立意追溯 —— 運(yùn)算求解能力 —— [ 把握數(shù)列運(yùn)算關(guān)鍵點(diǎn)，確保運(yùn)算的準(zhǔn)確性 ] 運(yùn)算的準(zhǔn)確性一般基于以下兩點(diǎn)：一是在運(yùn) 算過(guò)程中要保持條理性，書(shū)寫(xiě)解題步驟時(shí)要注意條件和運(yùn)算結(jié)果的順序，如等差數(shù)列問(wèn)題要求出公差才能確定通項(xiàng)； 二是要觀察算式結(jié)構(gòu)的特殊性，如形如 { n 21＋ ? ＋ ( n － 1) 2 1＋ 1 20＋ ? ＋ ( n － 1) 2 2＋ 1 bn，求數(shù)列 { cn} 的前 n 項(xiàng)和 Sn. 第 10講 數(shù)列求和及數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用 返回目錄 第 10講 數(shù)列求和及數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用 命題考向探究 解： (1) 證明： ∵an ＋ 1an＝14， ∴ 數(shù)列 { an} 是首項(xiàng)為14，公比為14的等比數(shù)列， ∴ an＝ （14）n. 又 ∵ bn＝ 3lo g14an－ 2 ， ∴ bn＝ 3log14（14）n－ 2 ＝ 3 n － 2 ， ∴ b1＝ 1 ，公差 d ＝ 3 ， ∴ 數(shù)列 { bn} 是首項(xiàng) b1＝ 1 ，公差 d ＝ 3 的等差數(shù)列． 返回目錄 第 10講 數(shù)列求和及數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用 命題考向探究 (2) 由 (1) 知 an＝14n， bn＝ 3 n － 2 ，則 cn＝ (3 n － 2) （14）n. 故 Sn＝ 1 14＋ 4 （14）2＋ 7 （14）3＋ ? ＋ (3 n － 5) （14）n 1＋ (3 n － 2) （14）n， ① 于是14Sn＝ 1 （14）2＋ 4 （14）3＋ 7 （14）4＋ ? ＋ (3 n－ 5) （14）n＋ (3 n － 2) （14）n