【正文】 n － 1， S n ＝1 －23n1 －23＝ 31 － 23a n ＝ 3 － 2 a n . ? 三角函數(shù)的圖像 ? 等比數(shù)列 關鍵詞：等比數(shù)列的通項、求和，如③④ . 第 9講 等差數(shù)列、等比數(shù)列 —— 體驗高考 —— 返回目錄 核心知識聚焦 5 ． [ 20 13 an＝ ap 福建卷 ] 已知等差數(shù)列 { a n } 的公差 d ＝ 1 ，前 n 項和為 S n . (1) 若 1 ， a 1 ， a 3 成等比數(shù)列，求 a 1 ； (2) 若 S 5 a 1 a 9 ，求 a 1 的取值范圍． 返回目錄 第 9講 等差數(shù)列、等比數(shù)列 命題考向探究 解： (1) 因為數(shù)列 { a n } 的公差 d ＝ 1 ， 且 1 ， a 1 ， a 3 成等比數(shù)列，所以 a21 ＝ 1 ( a 1 ＋ 2) ， 即 a21 － a 1 － 2 ＝ 0 ，解得 a 1 ＝－ 1 或 a 1 ＝ 2. (2) 因為數(shù)列 { a n } 的公差 d ＝ 1 ，且 S 5 a 1 a 9 ， 所以 5 a 1 ＋ 10 a21 ＋ 8 a 1 ， 即 a21 ＋ 3 a 1 － 100 ，解得－ 5 a 1 2. 返回目錄 第 9講 等差數(shù)列、等比數(shù)列 命題立意追溯 —— 運算求解能力 —— [ 數(shù)列中的簡捷運算 ] 運算時要靈活運用條件，提高運算的簡捷性，如靈活運用概念、公式，靈活選擇運算途徑等． 掌握數(shù)學運算的技巧性和靈活性，要求學生在學習 過程中要認真處理好 “ 規(guī) ” ( 即常規(guī)方法 ) 與 “ 巧 ” ( 即技巧解法 ) 的關系， “ 規(guī) ” 是基礎，而 “ 巧 ” 是提高．尤其數(shù)列問題，其自身的特點更能體現(xiàn)運算 的簡捷性給解題帶來的方便． 返回目錄 第 9講 等差數(shù)列、等比數(shù)列 示例 等差 數(shù)列 { a n } 中，若 a 4 ＋ a 8 ＋ a 12 ＝ 12 ，則 3 a 9 － a 11的值是 ________ ． 命題立意追溯 返回目錄 第 9講 等差數(shù)列、等比數(shù)列 [ 答案 ] 8 命題立意追溯 [ 解析 ] 由 a 4 ＋ a 8 ＋ a 12 ＝ 12 得 3 a 8 ＝ 12 ， a 8 ＝ 4. 3 a 9 － a 11 ＝ 3( a 8 ＋ d ) － ( a 8 ＋ 3 d ) ＝ 2 a 8 ＝ 8. 返回目錄 第 9講 等差數(shù)列、等比數(shù)列 命題立意追溯 小結： 等差數(shù)列、等比數(shù)列在運算簡捷性上主要表現(xiàn)為以下幾個常用結論： 1 ． 若 m ＋ n ＝ p ＋ q ，則對于等差數(shù)列， am＋ an＝ ap＋aq；對于等比數(shù)列， aman＝ apaq； 2 ． 對于等差數(shù)列， S2 n ＋ 1＝（ 2 n ＋ 1 ）（ a1＋ a2 n ＋ 1）2＝(2 n ＋ 1) （ 3 n ＋ 1 ）＝13 安徽卷改編 ] 已知數(shù)列{ b n } 的通項公式 b n ＝ 2 n ＋12 n＋ 2①，則其前 n 項和為 ________ ． [ 答案 ] n 2 ＋ 3 n ＋ 1 － 12 n [ 解析 ] S n ＝ b 1 ＋ b 2 ＋ ? ＋ b n ＝ 2 n ＋2 3＋13 ????????1 －12 n ＋ 1＝n2 n ＋ 1. 第 10講 數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應用 —— 體驗高考 —— 返回目錄 核心知識聚焦 4 ． [ 2022等比數(shù)列 ” 型的數(shù)列求和，如④⑤ . 第 10講 數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應用 —— 體驗高考 —— 返回目錄 核心知識聚焦 5 ． [ 2022 2 a n ， T n 為數(shù)列 { n ＋ b n } 的前 n 項和，求 T n . 第 10講 數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應用 返回目錄 命題考向探究 解： (1) 設等差數(shù)列 { an} 的公差為 d ， 則 Sn＝ na1＋12n ( n － 1) d ， ∵ S7＝ 7 ， S15＝ 75 ， ∴?????7 a1＋ 21 d ＝ 7 ，15 a1＋ 105 d ＝ 75.∴?????a1＝－ 2 ，d ＝ 1. ∴ an＝ a1＋ ( n － 1) d ＝－ 2 ＋ n － 1 ＝ n － 3. (2) 由 (1) 得 bn＝ 813 n － 2－13 n ＋ 1， ∴ Sn＝13（ 1 －14＋14－17＋ ? ＋13 n － 2－13 n ＋ 1） ＝13（ 1 －13 n ＋ 1） ＝n3 n ＋ 1. 返回目錄 第 10講 數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應用 命題考向探究 方法指導 1 1. 常用的裂項方法 數(shù)列 裂項方法 ??????????1n （ n ＋ k ） 1n （ n ＋ k ）＝1k????????1n－1n ＋ k ??????????14 n2－ 1 14 n2－ 1＝12????????12 n － 1－12 n ＋ 1 ?????????? 1n ＋ n ＋ 1 1n ＋ n ＋ 1＝ n ＋ 1 － n ??????loga??????1 ＋1n（ a 0 ， a ≠ 1 ） loga??????1 ＋1n＝ loga( n ＋ 1) － logan 返回目錄 第 10講 數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應用 命題考向探究 小結： 裂項相消法是數(shù)列求和的重要方法，下面兩個簡單的結論要掌握： (1)1n （ n ＋ 1 ）＝1n－1n ＋ 1； (2)1n （ n ＋ k ）＝1k????????1n－1n ＋ k. 返回目錄 命題考向探究 ? 考向三 錯位相減求和法 考向： { anbn} 的前 n 項和 ( an為等差數(shù)列， bn為等比數(shù)列 ) ． 考例：近五年新課標全國卷沒有考查． 例 3 在數(shù)列 { an} 中，已知 a1＝14，an ＋ 1an＝14， bn＋ 2 ＝3 log14an( n ∈ N*) ． (1) 求證：數(shù)列 { bn} 是等差數(shù)列； (2) 設數(shù)列 { cn} 滿足 cn＝ an 2 1＋ 2 20＋ 22n－1} ( n ∈ N*) 的數(shù)列求前 n 項和時只能選用錯位相減法． 返回目錄 第 10講 數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應用 命題立意追溯 示例 已知遞增的等差數(shù)列 { a n } 與 等 比 數(shù) 列{ b n } ( n ∈ N*) ，且 a 1 ＝ b 1 ＝ 1 ， a 2 ＝ b 2 ＋ 1 ， a 4 ＝ b 4 － 1. (1) 求數(shù)列 { a n } ， { b n } 的通項公式； (2) 求數(shù) { a n bn＝ 1 ＋ 3 22＋ 5??????12n － 1＝－??????12n＝－ 2－n. 返回目錄 第 10講 數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應用 (2) ∵ a2 n＝ bn＋ 2 ， a2 n ＋ 1＝ a2 n－ 4 n ＝ bn＋ 2 － 4 n ， ∴ S2 n ＋ 1＝ a1＋ a2＋ ? ＋ a2 n＋ a2 n ＋ 1 ＝ ( a2＋ a4＋ ? ＋ a2 n) ＋ ( a1＋ a3＋ a5＋ ? ＋ a2 n ＋ 1) ＝ ( b1＋ b2＋ ? ＋ bn＋ 2 n ) ＋ [ a1＋ ( b1－ 4 1) ＋ ( b2－ 4 2)＋ ? ＋ ( bn－ 4 n ) ＋ 2 n ] ＝ a1＋ 2( b1＋ b2＋ ? ＋ bn) － 4 (1 ＋ 2 ＋ ? ＋ n ) ＋ 4 n ＝ 1 － 2 12 ??????1 －??????12n1 －12－ 4 n （ n ＋ 1 ）2＋ 4 n ＝??????12n － 1－ 2 n2＋ 2 n － 1. 返回目錄 第 10講 數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應用 例 2 在等比數(shù)列 { a n } ( q ≠ 1) 中，已知 a 3 ＝32， S 3 ＝92. (1) 求 { a n } 的通項公式； (2) 求 S n ＝ a 1 ＋ 2 a 2 ＋ ? ＋ na n . 返回目錄 第 10講 數(shù)列求和及數(shù)列的簡單應用 解： (1) 由條件得 a1q2＝32， a1＋ a1q ＋ a1q2＝92， 則有 2 q2－ q － 1 ＝ 0. ∵ q ≠ 1 ， ∴ q ＝－12. 當 q ＝－12時， a1＝ 6 ，所以 an＝ 6??????－12n－1. (2) Sn＝ 6??????－120＋ 2 ??????－12＋ 3 ??????－122＋ ? ＋ n ??????－12n－1， －12Sn＝ 6??????－12＋ 2 ??????－122＋ 3 ??????－123＋ ? ＋ n??????－12n 32Sn＝ 61 ＋??????－12＋??????－122＋ ? ＋??????－12n－1－ n??????－12n ＝ 6??????????1 －??????－12n1 ＋12－ n??????－12n， ∴ Sn＝83－43(3 n ＋ 2)??????－12n.