數(shù)列的綜合應(yīng)用(1)(已修改)
2025-05-30 09:11 本頁面
【正文】 要點(diǎn)梳理 (1)審題 —— 仔細(xì)閱讀材料 ， 認(rèn)真理解題意 . (2)建模 —— 將已知條件翻譯成數(shù)學(xué) （ 數(shù)列 ） 語言 ，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題 ， 弄清該數(shù)列的結(jié)構(gòu)和特征 . (3)求解 —— 求出該問題的數(shù)學(xué)解 . (4)還原 —— 將所求結(jié)果還原到原實(shí)際問題中 . 167。 數(shù)列的綜合應(yīng)用 基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí) (1)等差模型：如果增加 （ 或減少 ） 的量是一個固定量時 ， 該模型是等差模型 ， 增加 （ 或減少 ） 的量就是公差 . (2)等比模型：如果后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù)時 ， 該模型是等比模型 ， 這個固定的數(shù)就是公比 . (3)分期付款模型：設(shè)貸款總額為 a， 年利率為 r,等額還款數(shù)為 b,分 n期還完 ， 則 b= .1)1( )1( ar rr nn???基礎(chǔ)自測 {an}是公差不為 0的等差數(shù)列且 a a a15是 等比數(shù)列 {bn}的連續(xù)三項(xiàng) ， 若等比數(shù)列 {bn}的首項(xiàng) b1=3,則 b2等于 （ ） A. D. 解析 由條件知 =a7 a15, ∴ （ a7+3d） 2=a7 (a7+8d), ∴ 9d=2a7， q= ∵ b1=3， ∴ b2=b1 q=5. B 210a.35377710 ???adaaa52459 7冊的書計(jì)劃每兩年出一冊 ， 若出完全部各冊書 ， 公元年代之和為 13 958， 則出齊這套書的年份是 （ ） 解析 設(shè)出齊這套書的年份是 x， 則 （ x12） +(x10)+(x8)+? +x=13 958, ∴ 7x =13 958,∴ x=2021. D 27)012( ??3.（ 2021 四川文 ， 3） 等差數(shù)列 {an}的公差不為零 ，首項(xiàng) a1=1,a2是 a1和 a5的等比中項(xiàng) ， 則數(shù)列 {an}的前10項(xiàng)之和是 （ ） 解析 由題意知 ， （ a1+d） 2=a1(a1+4d), 即 +2a1d+d2= +4a1d,∴ d=2a1=2. ∴ S10=10a1+ d=10+90=100. B 21a 21a2910? ， 每個細(xì)菌在每秒鐘末能在殺死一個病毒的同時將自身分裂為 2個 ， 現(xiàn)在有一個這樣的細(xì)菌和 100個這樣的病毒 ， 問細(xì)菌將病毒全部殺死至少需要 （ ） 解析 依題意 1+21+22+? +2n1≥ 100, ∴ ≥ 100,∴ 2n≥ 101, ∴ n≥ 7,即至少需要 7秒細(xì)菌將病毒全部殺死 . B 2121?? n {an}中 ， a1=2， 點(diǎn) （ an1,an） (n＞ 1且n∈ N)滿足 y=2x1， 則 a1+a2+? +a10= . 解析 ∵ an=2an11， ∴ an1=2(an11), ∴{ an1}是等比數(shù)列 ， 則 an=2n1+1. ∴ a1+a2+? +a10 =10+(20+21+22+? +29) =10+ =1 033. 1 033 2121 10??題型一 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用 【 例 1】 數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和記為 Sn， a1=1,an+1=2Sn+1 (n≥ 1). （ 1） 求 {an}的通項(xiàng)公式； （ 2） 等差數(shù)列 {bn}的各項(xiàng)為正 ， 其前 n項(xiàng)和為 Tn，且 T3=15， 又 a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比數(shù)列 ， 求 Tn. S1， n=1， SnSn1， n≥ 2. 求 an. （ 2） 注意等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的相互關(guān)系 . 思維啟迪 （ 1） 運(yùn)用公式 an= 題型分類 深度剖析 解 （ 1） 由 an+1=2Sn+1,可得 an=2Sn1+1 (n≥ 2), 兩式相減得 an+1an=2an,則 an+1=3an (n≥ 2). 又 a2=2S1+1=3,∴ a2=3a1. 故 {an}是首項(xiàng)為 1， 公比為 3的等比數(shù)列 ， ∴ an=3n1. （ 2） 設(shè) {bn}的公差為 d, 由 T3=15,b1+b2+b3=15,可得 b2=5, 故可設(shè) b1=5d,b3=5+d,又 a1=1,a2=3,a3=9, 由題意可得 (5d+1)(5+d+9)=(5+3)2， 解得 d1=2,d2=10. ∵ 等差數(shù)列 {bn}的各項(xiàng)為正 ， ∴ d＞ 0, ∴ d=2,b1=3,∴ Tn=3n+ 2=n2+2n. 2 )1( ?nn 探究提高 對等差 、 等比數(shù)列的綜合問題的分析 ，應(yīng)重點(diǎn)分析等差 、 等比數(shù)列的通項(xiàng)及前 n項(xiàng)和；分析等差 、 等比數(shù)列項(xiàng)之間的關(guān)系 .往往用到轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法 . 知能遷移 1 （ 2021 全國 Ⅰ 文 ， 17） 設(shè)等差數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和為 Sn,公比是正數(shù)的
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