數(shù)列的概念及簡單表示法(編輯修改稿)
2025-06-14 02:04 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ： 將數(shù)列中的各項(xiàng)變?yōu)椋? 33，2 45，－3 57，4 69， … ，故其通項(xiàng)公式 a n ＝ ( － 1)nn ? n ＋ 2 ?2 n ＋ 1. 答案： D 考基聯(lián)動(dòng) 考向?qū)? 限時(shí)規(guī)范訓(xùn)練 考向二 由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式 【 例 2】 根據(jù)下列條件 ， 確定數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式 ． (1)a1＝ 1， an＋ 1＝ 3an＋ 2； (2)a1＝ 1， an＋ 1＝ (n＋ 1)an. 解： (1) ∵ a n ＋ 1 ＝ 3 a n ＋ 2 ， ∴ a n ＋ 1 ＋ 1 ＝ 3( a n ＋ 1) ， ∴a n ＋ 1 ＋ 1a n ＋ 1＝ 3 ， ∴ 數(shù)列 { a n ＋ 1} 為等比數(shù)列，公比 q ＝ 3 ，又 a 1 ＋ 1 ＝ 2. ∴ a n ＋ 1 ＝ 2 3n － 1， ∴ a n ＝ 2 3n － 1－ 1. (2) ∵ a n ＋ 1 ＝ ( n ＋ 1) a n ， ∴a n ＋ 1a n＝ n ＋ 1 ， ∴a na n － 1＝ n ，a n － 1a n － 2＝ n － 1 ， … a 3a 2＝ 3 ，a 2a 1＝ 2 ， a 1 ＝ 1 ， 累乘可得： an＝ n (n－ 1) (n－ 2) … 3 2 1. 考基聯(lián)動(dòng) 考向?qū)? 限時(shí)規(guī)范訓(xùn)練 反思感悟：善于總結(jié) ， 養(yǎng)成習(xí)慣 已知數(shù)列的遞推關(guān)系 ， 求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí) ， 通常用累加 、 累乘 、 構(gòu)造法求解 ． 當(dāng) 出現(xiàn) an＝ an－ 1＋ m時(shí) ， 構(gòu)造等差數(shù)列；當(dāng)出現(xiàn) an＝ xan－ 1＋ y時(shí) ， 構(gòu)造等比數(shù)列； 當(dāng)出現(xiàn) an＝ an－ 1＋ f(n)時(shí) ， 用累加法求解；當(dāng)出現(xiàn) ＝ f(n)時(shí) ， 用累乘法求解 ． anan－ 1 考基聯(lián)動(dòng) 考向?qū)? 限時(shí)規(guī)范訓(xùn)練 遷移發(fā)散 2． 根據(jù)下列條件 ， 確定數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式 ． (1)在數(shù)列 {an}中 ， an＋ 1＝ 3a， a1＝ 3； (2)在數(shù)列 {an}中 ， a1＝ 1， an＋ 1＝ ； (3)在數(shù)列 {an}中 ， a1＝ 2， an＋ 1＝ 4an－ 3n＋ 1； (4)在數(shù)列 {an}中 ， a1＝ 8， a2＝ 2， 且滿足 an＋ 2－ 4an＋ 1＋ 3an＝ 0. 解： (1)由已知 an＞ 0， 在遞推關(guān)系式兩邊取對(duì)數(shù) ． 有 lg an＋ 1＝ 2lg an＋ lg 3， 令 bn＝ lg an， 則 bn＋ 1＝ 2bn＋ lg 3， ∴ bn＋ 1＋ lg 3＝ 2(bn＋ lg 3)， ∴ {bn＋ lg 3}是等比數(shù)列 ， ∴ bn＋ lg 3＝ 2n－ 12lg 3＝ 2nlg 3， ∴ bn＝ 2nlg 3－ lg 3＝ (2n－ 1)lg 3＝ lg an ∴ an＝ 32n－ 1. an2an＋ 1 考基聯(lián)動(dòng) 考向?qū)? 限時(shí)規(guī)范訓(xùn)練 ( 2 ) 將 a n ＋ 1 ＝a n2 a n ＋ 1取倒數(shù)得 ：1a n ＋ 1＝ 2 ＋1a n， ∵1a n ＋ 1－1a n＝ 2 ， ∴??????????1a n是以1a 1＝ 1 為首頂 ， 公差為 2 的等差數(shù)列 ． ∴1a n＝ 1 ＋ 2 ( n － 1 ) ， ∴ a n ＝12 n － 1. (3)由 an＋ 1＝ 4an－ 3n＋ 1， 得 an＋ 1－ (n＋ 1)＝ 4(an－ n)， 又 a1－ 1＝ 1， 所以數(shù)列 {an－ n}是首項(xiàng)為 1， 且公比為 4的等比數(shù)列 ， ∴ an－ n＝ (a1－ 1)4n－ 1， ∴ an＝ 4n－ 1＋ n.
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