20xx屆高考數(shù)學一輪復習講義：61數(shù)列的概念與簡單表示法(編輯修改稿)
2024-12-27 04:13 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 1 ＝ 1 ，所以數(shù)列 { a n － n } 是首項為 1 ，且公比為 4 的等比數(shù)列， ∴ a n － n ＝ ( a 1 － 1 ) 4 n － 1 ， ∴ a n ＝ 4 n － 1 ＋ n . ( 4) 將 a n ＋ 2 － 4 a n ＋ 1 ＋ 3 a n ＝ 0 變形為 a n ＋ 2 － a n ＋ 1 ＝ 3( a n ＋ 1 － a n ) ， 則數(shù)列 { a n ＋ 1 － a n } 是以 a 2 － a 1 ＝－ 6 為首項， 3 為公比的等比數(shù)列，則 a n ＋ 1 － a n ＝－ 6 3 n － 1 ，利用累加法可得 a n ＝ 11 － 3 n . 例 3 已知各項均為正數(shù)的數(shù)列 { a n } 的前 n 項和滿足 S n 1 ，且 6 S n ＝ ( a n ＋ 1) ( a n ＋ 2) ， n ∈ N * . 求 { a n } 的通項公式． 由 an與 Sn的關(guān)系求通項 an 當 n ＝ 1 時，由 a 1 ＝ S 1 ，求 a 1 ； 當 n ≥ 2 時，由 a n ＝ S n － S n － 1 消去 S n ，得 a n ＋ 1 與 a n 的關(guān)系．轉(zhuǎn)化成由遞推關(guān)系求通項． 解 由 a 1 ＝ S 1 ＝16( a 1 ＋ 1) ( a 1 ＋ 2) ， 解得 a 1 ＝ 1 或 a 1 ＝ 2 ， 由已知 a 1 ＝ S 1 1 ， 因此 a 1 ＝ 2. 又由 a n ＋ 1 ＝ S n ＋ 1 － S n ＝16( a n ＋ 1 ＋ 1 )( a n ＋ 1 ＋ 2 ) －16( a n ＋ 1 )( a n ＋ 2 ) ， 得 a n ＋ 1 － a n － 3 ＝ 0 或 a n ＋ 1 ＝－ a n . 因為 a n 0 ，故 a n ＋ 1 ＝－ a n 不成立，舍去． 因此 a n ＋ 1 － a n － 3 ＝ 0. 即 an ＋ 1 － a n ＝ 3 ，從而 { a n } 是公差為 3 ，首項為 2 的等差數(shù)列，故{ a n } 的通項為 a n ＝ 3 n － 1. ( 1) 已知 { a n } 的前 n 項和 S n ，求 a n 時應注意以下三點： ① 應重視分類討論的應用，分 n ＝ 1 和 n ≥ 2 兩種情況討論；特別注意 a n ＝ S n － S n － 1 中需 n ≥ 2. 探究提高② 由 Sn－ Sn － 1＝ an推得的 an，當 n ＝ 1 時， a1也適合 “ an式 ” ，則需統(tǒng)一 “ 合寫 ” ． ③ 由 Sn－ Sn － 1＝ an推得的 an，當 n ＝ 1 時， a1不適合 “ an式 ” ，則 數(shù) 列 的 通 項 公 式 應 分 段 表 示 ( “ 分寫 ” ) ，即 an＝????? S1 ? n ＝ 1 ? ，Sn－ Sn － 1 ? n ≥ 2 ? . ( 2) 利用 Sn與 an的關(guān)系求通項是一個重要內(nèi)容，應注意 Sn與 an間關(guān)系的靈活運用． 探究提高設數(shù)列 { an} 的前 n 項和為 Sn， a1＝ 1 ， an＝Snn＋ 2 ( n － 1) ( n ∈ N*) ． ( 1) 求證：數(shù)列 { an} 為等差數(shù)列，并分別寫出 an和 Sn關(guān)于 n 的表達式； ( 2) 是否存在自然數(shù) n ，使得 S1＋S22＋S33＋ ? ＋Snn－ ( n － 1)2＝ 2 013 ？若存在，求出 n 的值；若不存在，請說明理由． 變式訓練 3解 ( 1) 由 a n ＝S nn ＋ 2( n － 1) ， 得 S n ＝ na n － 2 n ( n － 1) ( n ∈ N * ) ． 當 n ≥ 2 時， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ na n － ( n － 1 ) a n － 1 － 4 ( n － 1 ) ， 即 a n － a n － 1 ＝ 4 ， ∴ 數(shù)列 { a n } 是以 a 1 ＝ 1 為首項， 4 為公差的等差數(shù) 列． 于是， a n ＝ 4 n － 3 ， S n ＝ ? a 1 ＋ a n ? n2 ＝ 2 n 2 － n ( n ∈ N * ) ． ( 2) 由 S n ＝ na n － 2 n ( n － 1) ，得S nn＝ 2 n － 1 ( n ∈ N*) ， ∴ S 1 ＋S 22＋S 33＋ ? ＋S nn－ ( n － 1)2＝ 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋ 7 ＋ ? ＋ (2 n － 1) － ( n－ 1)2＝ n2－ ( n － 1)2＝ 2 n － 1. 令 2 n － 1 ＝ 2 013 ，得 n ＝ 1 007 ， 即存在滿足條件的自然數(shù) n ＝ 1 007. ( 14 分 ) 已知數(shù)列 { a n } ． ( 1) 若 a n ＝ n2－ 5 n ＋ 4 ① 數(shù)列中有多少項是負數(shù)？ ② n 為何值時， a n 有最小值？并求出最小值． ( 2) 若 a n ＝ n2＋ kn ＋ 4 且對于 n ∈ N*，都有 a n ＋ 1 a n 成立．求實數(shù) k的取值范圍． 思想與方法用函數(shù)的思想方法解決數(shù)列問題 規(guī)范解答 解 ( 1) ① 由 n2－ 5 n ＋ 4 0 ，解得 1 n 4. ∵ n ∈ N*， ∴ n ＝ 2,3. ∴ 數(shù)列中有兩項是負數(shù)，即為 a 2 ， a 3 . [4 分 ] ( 1) 求使 a n 0 的 n 值；從二
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