數(shù)列的綜合應(yīng)用(編輯修改稿)
2024-07-15 04:17 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 答:SO2的年排放量每年減少的百分率p的取值范圍為(%,1).考向四 數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題【考情快遞】【考題例析】命題方向1:數(shù)列與函數(shù)的綜合問題【典例4】(2014陜西高考)設(shè)fn(x)=x+x2+…+xn1,n∈N,n≥2.命題方向2:數(shù)列與不等式的綜合問題【典例5】(2014全國卷Ⅱ)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=3an+1. (1)證明 是等比數(shù)列,并求{an}的通項公式.(2)證明: 【技法感悟】(1)數(shù)列是一類特殊的函數(shù),它的圖象是一群孤立的點。因此可考慮借助數(shù)形結(jié)合的思想思考數(shù)列問題.(2)可將數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,借助函數(shù)的知識,如單調(diào)性、最值來解決.(1)函數(shù)方法:即構(gòu)造函數(shù),通過函數(shù)的單調(diào)性、極值等得出關(guān)于正實數(shù)的不等式,通過對關(guān)于正實數(shù)的不等式特殊賦值得出數(shù)列中的不等式.(2)放縮方法:數(shù)列中不等式可以通過對中間過程或者最后的結(jié)果放縮得到.(3)比較方法:作差或者作商比較. 【題組通關(guān)】1.(2016濟南模擬)已知等比數(shù)列{an}的首項a1=2014,公比為q= ,記bn=a1a2a3…an,則bn達到最大值時,n的值為 ( ) 2.(2016青島模擬)已知函數(shù)f(x)= 若數(shù)列{an}滿足an=f(n)(n∈N*),且{an}是遞增數(shù)列,則實數(shù)a的取值范圍是__________.3.(2016濱州模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N*),等差數(shù)列{bn}中b2=5,且公差d=2.(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式.(2)是否存在正整數(shù)n,使得a1b1+a2b2+…+anbn60n?若存在,求出n的最小值,若不存在,請說明理由.【解析】(1)a1=1,an+1=2Sn+1,所以當(dāng)n≥2時,an=2Sn1+1,相減得:an+1=3an(n≥2),又a2=2a1+1=3,所以a2=3a1,所以數(shù)列{an}是以1為首項,3為公比的等比數(shù)列,an=3n1.又b2=b1+d=5,所以b1=3,bn=2n+1.(2)anbn=(2n+1)3n1,令Tn=a1b1+a2b2+…+anbn=31+53+732+…+(2n1)3n2+(2n+1)3n1①,3Tn=33+532+733+…+(2n1)3n1+(2n+1)3n②,①②得:2Tn=31+2(3+32+…+3n1)(2n+1)3n,所以Tn=n3n,所以n3n60n,即3n60,當(dāng)n≤3時,3n60,當(dāng)n≥4時,3n60,所以存在n的最小值為4.課時提升作業(yè) 1.(2014北京高考)設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列,則“q1”是“{an}為遞增數(shù)列”的 ( ) 【解析】0,q1時,{an}是遞減數(shù)列。當(dāng){an}為遞增數(shù)列時,a10,0q1或a10,q1.因此,“q1”是“{an}為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件.【加固訓(xùn)練】(2016南昌模擬)在公差不為0的等差數(shù)列{an}中,2a3a72+2a11=0,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,且b7=a7,則b6b8= ( ) 【解析】{an}是等差數(shù)列,所以a3+a11=2a7,所以2a3a72+2a11=4a7a72=0,解得a7=0或4,因為{bn}為等比數(shù)列,所以bn≠0,所以b7=a7=4,b6b8=b72=16.=f(x)是一次函數(shù),若f(0)=1,且f(1),f(4),f(13)成等比數(shù)列,則f(2)+f(4)+…+f(2n)等于 ( )(2n+3) (n+4)(2n+3) (n+4)【解析】(x)=kx+1(k≠0),則(4k+1)2=(k+1)(13k+1),解得k=2,f(2)+f(4)+…+f(2n)=(22+1)+(24+1)+…+(22n+1)=2n2+3n=n(2n+3).3.(2016聊城模擬)已知a,1,c成等差數(shù)列,a2,1,c2成等比數(shù)列,則log(a+c)(a2+c2)= ( ) 【解析】+c=2,a2c2=1,ac=177。1,所以log(a+c)(a2+c2)=log2(42ac)=1或log26.4.(2016煙臺模擬)《萊因德紙草書》:把100個面包分給5個人,使每人所得成等差數(shù)列,且使較大的三份之和的17是較小的兩份之和,問最小的一份為 ( ) 【解析】,ad,a,a+d,a+2d(其中d0),則(a2d)+(ad)+a+(a+d)+(a+2d)=5a=100,所以a=20,由17(a+a+d+a+2d)=a2d+ad,解得d=556,所以最小1份為a2d=201106=53.5.(2016濟寧模擬)已知a,b,c成等比數(shù)列,a,m,b和b,n,c分別成兩個等差數(shù)列,則am+等于 ( ) 【解析】=ac,2m=a+b,2n=b+c,則am+=an+cmmn=ab+c2+ca+b2a+b2b+c2=ab+ac+ac+bcab+ac+b2+bc2=2.【一題多解】解答本題,還有以下解法:特殊值法:,b,c成等比數(shù)列,所以令a=2,b=4,c=8,又a,m,b和b,n,c分別成兩個等差數(shù)列,則m=a+b2=3,n=b+c2=6,因此am+=23+86=2.{an}滿足3an+1+an=4(n≥1),且a1=9,其前n項
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