【文章內(nèi)容簡介】 為函數(shù)問題來求解，如解方程f(x)＝0，就是求函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)。(2) 函數(shù)與不等式也可以相互轉(zhuǎn)化，對于函數(shù)y＝f(x)，當(dāng)y0時，就轉(zhuǎn)化為不等式f(x)0，借助于函數(shù)圖像與性質(zhì)解決有關(guān)問題，而研究函數(shù)的性質(zhì)，也離不開解不等式。(3) 數(shù)列的通項(xiàng)或前n項(xiàng)和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點(diǎn)處理數(shù)列問題十分重要。(4) 函數(shù)f(x)＝（n∈N*）與二項(xiàng)式定理是密切相關(guān)的，利用這個函數(shù)用賦值法和比較系數(shù)法可以解決很多二項(xiàng)式定理的問題。(5) 解析幾何中的許多問題，例如直線和二次曲線的位置關(guān)系問題，需要通過解二元方程組才能解決，涉及到二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論。(6) 立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計算，經(jīng)常需要運(yùn)用布列方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決。二、例題解析Ⅰ．運(yùn)用函數(shù)與方程、表達(dá)式相互轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)解決函數(shù)、方程、表達(dá)式問題。例1 已知，（a、b、c∈R），則有（ ）(A) (B) (C) (D) 解析 法一：依題設(shè)有 a5－b＋c＝0∴是實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個實(shí)根；∴△＝≥0 ∴ 故選(B)法二：去分母，移項(xiàng)，兩邊平方得：≥10ac＋25ac＝20ac∴ 故選(B)點(diǎn)評解法一通過簡單轉(zhuǎn)化，敏銳地抓住了數(shù)與式的特點(diǎn)，運(yùn)用方程的思想使問題得到解決；解法二轉(zhuǎn)化為b2是a、c的函數(shù)，運(yùn)用重要不等式，思路清晰，水到渠成。練習(xí)1 已知關(guān)于的方程 －（2 m－8）x +－16 = 0的兩個實(shí)根 、 滿足 ＜＜，則實(shí)數(shù)m的取值范圍_______________。答案：；x21y02 已知函數(shù) 的圖象如下，則（ ）（A） (B)(C) (D)答案：A. 3 求使不等式≤對大于1的任意x、y恒成立的a的取值范圍。Ⅱ：構(gòu)造函數(shù)或方程解決有關(guān)問題：例2 已知，t∈[，8]，對于f(t)值域內(nèi)的所有實(shí)數(shù)m，不等式恒成立，求x的取值范圍。解析∵t∈[，8]，∴f(t)∈[，3]原題轉(zhuǎn)化為：0恒成立，為m的一次函數(shù)（這里思維的轉(zhuǎn)化很重要）當(dāng)x＝2時，不等式不成立。∴x≠2。令g(m)＝，m∈[，3]問題轉(zhuǎn)化為g(m)在m∈[，3]上恒對于0，則：；解得：x2或x－1評析 首先明確本題是求x的取值范圍，這里注意另一個變量m，不等式的左邊恰是m的一次函數(shù)，因此依據(jù)一次函數(shù)的特性得到解決。在多個字母變量的問題中，選準(zhǔn)“主元”往往是解題的關(guān)鍵。例3 為了更好的了解鯨的生活習(xí)性，某動物保護(hù)組織在受傷的鯨身上裝了電子監(jiān)測裝置，從海洋放歸點(diǎn)A處，如圖（1）所示，把它放回大海，并沿海岸線由西向東不停地對它進(jìn)行了長達(dá)40分鐘的跟蹤觀測，每隔10分鐘踩點(diǎn)測得數(shù)據(jù)如下表（設(shè)鯨沿海面游動），然后又在觀測站B處對鯨進(jìn)行生活習(xí)性的詳細(xì)觀測，已知AB＝15km，觀測站B的觀測半徑為5km。觀測時刻t（分鐘）跟蹤觀測點(diǎn)到放歸點(diǎn)的距離a（km）鯨位于跟蹤觀測點(diǎn)正北海岸西東圖1AB方向的距離b（km）101202303404(1)據(jù)表中信息：①計算出鯨沿海岸線方向運(yùn)動的速度；②試寫出a、b近似地滿足的關(guān)系式并畫出鯨的運(yùn)動路線草圖；AByx圖2（2）若鯨繼續(xù)以（1）－②運(yùn)動的路線運(yùn)動，試預(yù)測，該鯨經(jīng)過多長時間（從放歸時開設(shè)計時）可進(jìn)入前方觀測站B的觀測范圍？并求出可持續(xù)觀測的時間及最佳觀測時刻。（注：≈；精確到1分鐘）解析（1）由表中的信息可知：①鯨沿海岸線方向運(yùn)動的速度為：（km/分鐘）②a、b近似地滿足的關(guān)系式為：運(yùn)動路線如圖（2）以A為原點(diǎn)，海岸線AB為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)鯨所在位置點(diǎn)P（x，y），由①、②得：，又B（15，0），依題意：觀測站B的觀測范圍是：≤5 （y≥0） 又∴≤25 解得：≤x≤由①得：∴該鯨經(jīng)過t＝＝113分鐘可進(jìn)入前方觀測站B的觀測范圍 持續(xù)時間：＝64分鐘∴該鯨與B站的距離d＝＝當(dāng)d最小時為最佳觀測時刻，這時x＝＝，t＝145分鐘。練習(xí)4．已知關(guān)于的方程－2= 0有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍。（答案：0≤≤4－）Ⅲ：運(yùn)用函數(shù)與方程的思想解決數(shù)列問題例4設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知，0，0，（1）求公差d的取值范圍；（2）指出、…，中哪一個最大，并說明理由。解析（1）由得：，∵＝0 ＝0∴d－3（2）∵d0，是關(guān)于n 的二次函數(shù)，對稱軸方程為：x＝∵d－3 ∴6 ∴當(dāng)n＝6時，最大。三、強(qiáng)化練習(xí)1．展開式中的系數(shù)為____________.2．已知方程的四個根組成一個首項(xiàng)為的等差數(shù)列,則( )A 1 B C D ，兩條漸近線為，則該雙曲線的離心率（ ）A 5 B C D 4．已知銳角三角形ABC中。 Ⅰ.求證； Ⅱ.設(shè)，求AB邊上的高。5．甲、乙、丙三臺機(jī)床各自獨(dú)立地加工同一種零件，已知甲機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為，乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為，甲、丙兩臺機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為。Ⅰ.分別求甲、乙、丙三臺機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率；Ⅱ.從甲、乙、丙加工的零件中各取一個進(jìn)行檢驗(yàn),求至少有一個是一等品的概率。6．設(shè)，曲線在點(diǎn)處切線的傾斜角的取值范圍為，則點(diǎn)Ｐ到曲線對稱軸距離的取值范圍是（　?。　　　　　　　　　　　　　　　　　　。号c直線相交于兩個不同的點(diǎn)A、B。Ⅰ.求雙曲線C的離心率的取值范圍；Ⅱ.設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為P，且，求的值。（四）數(shù)形結(jié)合的思想方法《2009年新課標(biāo)考試大綱》明確指出“數(shù)學(xué)知識是指《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》中所規(guī)定的必修課程、選修課程系列2和系列4中的數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理以及由其內(nèi)容反映的數(shù)學(xué)思想方法”。其中數(shù)學(xué)思想方法包括： 函數(shù)與方程的思想方法、 數(shù)形結(jié)合的思想方法 、 分類整合的思想方法、 特殊與一般的思想方法、 轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法、 必然與或然的思想方法。數(shù)學(xué)思想方法是對數(shù)學(xué)知識內(nèi)容和方法的本質(zhì)認(rèn)識，是對數(shù)學(xué)的規(guī)律性的理性認(rèn)識。高考通過對數(shù)學(xué)思想方法的考查，能夠最有效地檢測學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解和掌握程度，能夠最有效地反映出學(xué)生對數(shù)學(xué)各部分內(nèi)容的銜接、綜合和滲透的能力?！犊荚嚧缶V》對數(shù)學(xué)考查的要求是“數(shù)學(xué)學(xué)科的系統(tǒng)性和嚴(yán)密性決定了數(shù)學(xué)知識之間深刻的內(nèi)在聯(lián)系，包括各部分知識的縱向聯(lián)系和橫向聯(lián)系，要善于從本質(zhì)上抓住這些聯(lián)系，進(jìn)而通過分類、梳理、綜合，構(gòu)建數(shù)學(xué)試卷的框架結(jié)構(gòu)” 。而數(shù)學(xué)思想方法起著重要橋梁連接和支稱作用，“對數(shù)學(xué)思想方法的考查是對數(shù)學(xué)知識在更高層次上的抽象和概括的考查，考查時必須要與數(shù)學(xué)知識相結(jié)合，通過數(shù)學(xué)知識的考查，反映考生對數(shù)學(xué)思想方法的掌握程度” ?！?數(shù)學(xué)科的命題，在考查基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上，注重對數(shù)學(xué)思想方法的考查，注重對數(shù)學(xué)能力的考查，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價值和人文價值，同時兼顧試題的基礎(chǔ)性、綜合性和現(xiàn)實(shí)性，重視試題間的層次性，合理調(diào)控綜合程度，堅持多角度、多層次的考查，努力實(shí)現(xiàn)全面考查綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)的要求?！?數(shù)學(xué)的思想方法滲透到數(shù)學(xué)的各個角落，無處不在，有些題目還要考查多個數(shù)學(xué)思想。在高考復(fù)習(xí)時，要充分認(rèn)識數(shù)學(xué)思想在提高解題能力的重要性，在復(fù)習(xí)中要有意識地滲透這些數(shù)學(xué)思想，提升數(shù)學(xué)思想。數(shù)形結(jié)合的思想方法數(shù)形結(jié)合思想是一種很重要的數(shù)學(xué)思想，是數(shù)學(xué)研究的對象是數(shù)量關(guān)系和空間形式，即數(shù)與形兩個方面，把數(shù)量關(guān)系的研究轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的研究，或者把 圖形性質(zhì)的研究轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的研究，這種解決問題過程中“數(shù)”與“形”相互轉(zhuǎn)化的研究策略，就是數(shù)形結(jié)合的思想。數(shù)形結(jié)合思想就是要使抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維與形象思維結(jié)合起來。在使用的過程中，由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化，往往比較明顯，而由“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化卻需要轉(zhuǎn)化的意識，因此，數(shù)形結(jié)合的思想的使用往往偏重于由“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化。在一維空間，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)建立一一對應(yīng)關(guān)系；在二維空間，實(shí)數(shù)對與坐標(biāo)平面上的點(diǎn)建立一一對應(yīng)關(guān)系。特別是在集合、函數(shù)、不等式、數(shù)列、向量、解析幾何、導(dǎo)數(shù)與積分等能夠用圖形表述的知識點(diǎn)，就要用數(shù)形結(jié)合形象化，高考在選擇題、填空題側(cè)重突出考查數(shù)到形的轉(zhuǎn)化，在解答題中，考慮推理論證嚴(yán)密性，突出形到數(shù)的轉(zhuǎn)化。1．集合問題中的數(shù)形結(jié)合例1.（2008北京卷,理1）已知全集，集合，那么集合等于（ ）A． B．C． D．分析:不等式表示的集合通過數(shù)軸解答.2 1 3 4 x解:在數(shù)軸上先畫出,再畫出集合,取其公共部分如圖所示陰影部分就是集合,故選D答案:D評注:對于不等式表示的集合,可在數(shù)軸上表示并進(jìn)行集合的交、并、補(bǔ)的運(yùn)算例2．(07浙江)設(shè)，是二次函數(shù)，若的值域是，則的值域是（ ）A. B. C. D. 分析：本題為復(fù)合函數(shù)，相當(dāng)于中的的值，結(jié)合函數(shù)的圖象，可以求得的值域。1 0 1 xy解：作出函數(shù)的圖象如圖所示，由圖知當(dāng)時，函數(shù)的值域?yàn)椋鵀閺?fù)合函數(shù)，相當(dāng)于中的的值，所以的值域是，故選B。答案：B評注：本題中的復(fù)合函數(shù)要轉(zhuǎn)化為原函數(shù)和的信息，結(jié)合函數(shù)的圖象更為直觀地找到它們之間的關(guān)系。而不必探究二次函數(shù)的解析式。例3．（2008廣東深圳中學(xué)）若的圖象必不經(jīng)過 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限解析:由知函數(shù)圖象單調(diào)遞增,選B.答案:B10評注:對于指數(shù)函數(shù)的圖象必須熟悉,并能夠進(jìn)行圖象的平移變換.例4．（寧夏區(qū)銀川一中2008）函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù)是 （ ） A．3個 B．2個 C．1個 D．0個分析：函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù)就是方程的解的個數(shù)，要通過數(shù)形結(jié)合，畫出函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的個數(shù)。解： 的零點(diǎn)，即使，作函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象如圖所示，有兩個交點(diǎn)，所以函數(shù)有兩個零點(diǎn)，故選答案：評注：對于象本題這樣的超越函數(shù)的解的個數(shù)問題常常用數(shù)形結(jié)合的思想解答例5．（2008金華一中模擬）函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，且它的導(dǎo)函數(shù)的圖象是如圖所示的一條直線，則的圖象的頂點(diǎn)在（ ） 分析：由導(dǎo)函數(shù)的圖象及求導(dǎo)公式，提煉出信息得到原函數(shù)的有關(guān)信息解答。解：它的導(dǎo)函數(shù)的圖象是如圖所示的一條直線，可知原函數(shù)為二次函數(shù)，設(shè)解析式為，由于函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，所以，為減函數(shù)，∴，由的圖象可知當(dāng)時，函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，所以頂點(diǎn)在第一象限評注：要熟悉導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)之間的關(guān)系，對一次、二次函數(shù)關(guān)系及其圖象的特點(diǎn)要很熟悉。例6.（2009萊陽）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，將和的圖象畫在同一直角坐標(biāo)系中，不可能正確的是 解析:根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)之間的關(guān)系,進(jìn)行逐一判斷. A,B,C都有可能成立,排除A,B,C,選D答案:D評注:正確圖象判斷的原則為: 函數(shù)的單調(diào)增,則導(dǎo)函數(shù)值為正, 函數(shù)的單調(diào)減,則導(dǎo)函數(shù)值為負(fù).4．利用不等式表示的平面區(qū)域解答問題例7．（2008年安徽卷，理15）若為不等式組表示的平面區(qū)域，則當(dāng)從－2連續(xù)變化到1時，動直線 掃過中的那部分區(qū)域的面積為 分析：作出不等式表示的平面區(qū)域，然后再作平行線和則夾在兩平行線之間的部分即為所求。解：如圖知是斜邊為3 的等腰直角三角形，是直角邊為1等腰直角三角形，區(qū)域的面積評注：涉及到不等式表示的平面區(qū)域問題時常常要畫出圖形數(shù)形結(jié)合解答問題。例8．（2008年浙江,理17）若，且當(dāng)時，恒有，則以,b為坐標(biāo)點(diǎn)P（，b）所形成的平面區(qū)域的面積等于__________。OABxy分析：本小題主要考查線性規(guī)劃的相關(guān)知識，可考慮特殊情形，比如x＝0，可得a＝1；y＝0可得b＝，b介于0和1之間。解：不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)?，如圖，由恒成立知，當(dāng)時，恒成立，當(dāng)成立；當(dāng)時，恒成立，∴；同理，∴以,b為坐標(biāo)點(diǎn)P（，b）所形成的平面區(qū)域是一個正方形，所以面積為1。答案：1評注：線性規(guī)劃的相關(guān)知識要畫出圖形，借助圖形解答。另外對于恒成立問題，對個例一定成立，還要轉(zhuǎn)為函數(shù)的最值。例9.（2008山東省聊城市）．曲線和曲線圍成一個葉形圖(如圖所示陰影部分），其面積是 （ ） A．1 B． C． D． 分析: 兩條曲線圍成的面積用微積分求出,并且是上面的函數(shù)減去下面的函數(shù)的積分.解:兩條曲線的交點(diǎn)為,陰影部分的面積為評注:對于曲線所圍成的不規(guī)則的幾何圖形的面積,要用微積分解答,注意積分的上限和下限,有時要看圖形是否需要切分成多塊部分求出. 6．解析幾何問題常常數(shù)形結(jié)合例10.（2008海南卷，理11）已知點(diǎn)P在拋物線上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ）A． B． C． D．分析: 點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離之和取得最小值時, 點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線的距離之和也取得最小值,這樣就可以把點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)為到準(zhǔn)線的距離求出.解: 點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部,要使點(diǎn)P到點(diǎn)的FPQ距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離之和取得最小值,根據(jù)拋物線的定義知,須使點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線距離之和取得最小,.答案:A評注:拋物線的定義是到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離,做題時常常用定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化.例11