【正文】 解來完成的。與 21,21237 ???? bb 所以必有21?b，此時(shí)當(dāng)21??y時(shí)， 2d （從而 d ）有最大值， 所以 22 )7(34 ??b ，解得 .4,1 22 ?? ab 于是所求橢圓的方程為 .14 22 ??yx 例 10 求xxy 22 cos8sin2 ??的最小值 錯解 1 |c o ss in| 8c o s 8s in 22c o s 8s in 2 2222 xxxxxxy ?????? .16,.16|2s in| 16 m i n ???? yx 錯解 2 .261182221)c osc os 8()s ins in 2( 2222 ??????????? xxxxy 錯誤分析 在解法 1中， 16?y 的充要條件是 .1|2s in|c os8s in 222 ?? xxx 且 即 .1|sin|21|| ?? xtgx 且 這是自相矛盾的。由當(dāng) 21??y 時(shí)， 2d 有最大值，這步推理是錯誤的，沒有考慮 y 到的取值范圍。 例 9 設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸 x 在軸上，離心率 23?e ，已知點(diǎn))23,0(P 到這個(gè)橢圓上的最遠(yuǎn)距離是 7 ，求這個(gè)橢圓的方程。所以 MHN? 是二面角 ?? 軸－y? 的平面角，依題意， MHN? ??60 . 在 .2160c o s, xHMHNM N HRt ?????? 中 又知 xHM ?// 軸（或 M 與 O重合）， xHN// 軸（或 H 與 O重合），設(shè) ),( yxN ， 則 ?????????????????.221yyxxyyxx 因?yàn)?點(diǎn) ),( yxM ?? 在曲線 )0(22 ??? pxpy 上，所以 ).2(22 xpy ? 即所求射影的方程為 ).0(42 ?? ppxy (3) 推理的訓(xùn)練 數(shù)學(xué)推理是由已知的數(shù)學(xué)命題得出新命題的基本思維形式，它是數(shù)學(xué)求解的核心。 圖 3－ 2因?yàn)槎娼??? 軸－y? 等于 ?60 ， 且 軸，軸軸，軸 yxyx ??? 所以 .60???? xxo 設(shè)焦點(diǎn) F? 在 ?內(nèi)的射影是 ),( yxF ，那么， F 位于 x 軸上， 從而 ,90,60,0 ????????? FOFOFFy 所以 .421260c os ppFOOF ???????所以點(diǎn) )0,4(pF是所求射影的焦點(diǎn)。 ④避免直觀代替論證 我們知道直觀圖形常常為我們解題帶來方便。 例 7 設(shè)等比數(shù)列 ??na 的全 n 項(xiàng)和為 nS .若 963 2SSS ?? ，求數(shù)列的公比 q . 錯誤解法 ,2 963 SSS ??? qqaqqaqqa ?????????? 1 )1(21 )1(1 )1(916131 從動圓與已知圓內(nèi)切，可以發(fā)現(xiàn)以 x 軸正半軸上任一點(diǎn)為圓心，此 點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為半徑（不等于 3）的圓也符合條件，所以 )30(0 ??? xxy 且 也是所求的方程。 正確解法 要使原不等式成立，則 ????????????2)3(10301xxxx 或??? ?? ?? 03 01xx 53 ??? x ，或 .31 ??x ?原不等式的解集為 }51|{ ?? xx 例 6（軌跡問題）求與 y 軸相切于右側(cè)，并與 ⊙ 06: 22 ??? xyxC 也相切的圓的圓心 的軌跡方程。 充分條件和必要條件中我們的學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到。隨意增加、遺漏題設(shè)條件，都會產(chǎn)生錯誤解法。一元二次方程根的判別式是對實(shí)系數(shù)一元二次方程而言的，而此題目盲目地把它推廣到復(fù)系數(shù)一元二次方程中，造成解法錯誤。 ①注意定理、公式成立的條件 數(shù)學(xué)上的定理和公式都是在一定條件下成立的。 第三，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立后得一個(gè)一元二次方程，要考慮它的判別式，所以它的二次項(xiàng)系數(shù)不能為零，即 ,0?k 而上述解法沒作考慮，表現(xiàn)出思維不嚴(yán)密。 正確解法 122 ??x? ?????????????????2342302304232222xxxxxxxx ???????????????????2231231313131xxxxxx或或或 .22 ???? xx 或 例 求過點(diǎn) )1,0( 的直線，使它與拋物線 xy 22? 僅有一個(gè)交點(diǎn)?！罢_理解數(shù)學(xué)概念是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的前提。在由 xx 1? 推導(dǎo) 12?x 時(shí)，沒有討論 x 的正、負(fù)，理由不充分，所以出錯。 推理錯誤 推理是運(yùn)用已知判斷推導(dǎo)出新的判斷的思維形式。 判斷錯誤 判斷是對思維對象的性質(zhì)、關(guān)系、狀態(tài)、存在等情況有所斷定的一種思維形式。但是，由于認(rèn)知水平和心里特征等因素的影響，中學(xué)生的思維過程常常出現(xiàn)不嚴(yán)密現(xiàn)象，主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面： 概念模糊 概念是數(shù)學(xué)理論體系中十分重要的組成部分。如果能以反思性的態(tài)度考察各個(gè)選擇答案的來源和它們之間的區(qū)別，就能從中選出正確答案。8)(。 例 6 解方程 .cos322 xxx ??? 考察方程兩端相應(yīng)的函數(shù) xyxy c o s,2)1( 2 ???? ，它們的圖象無交點(diǎn)。 例 5 30支足球隊(duì)進(jìn)行淘汰賽，決出一個(gè)冠軍，問需要安排多少場比賽？ 解 因?yàn)槊繄鲆蕴?1個(gè)隊(duì)， 30個(gè)隊(duì)要淘汰 29個(gè)隊(duì)才能決出一個(gè)冠軍。 養(yǎng)成驗(yàn)算的習(xí)慣，可以有效地增強(qiáng)思維反思性。 錯誤解法 將圓 012 222 ????? aaxyx 與拋物線 xy 212 ? 聯(lián)立，消去 y ， 得 ).0(01)212( 22 ?????? xaxax ① 因?yàn)橛袃蓚€(gè)公共點(diǎn)，所以方程①有兩個(gè)相等正根，得?????????????.01021202aa 解之，得 .817?a 錯誤分析 （如圖 2－ 2－ 1； 2－ 2－ 2）顯然，當(dāng) 0?a 時(shí)，圓與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)。 (2) 驗(yàn)算的訓(xùn)練 驗(yàn)算是解題后對結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)的過程。循環(huán)論證的錯誤是在不知不覺中產(chǎn)生的，而且不易發(fā)覺。 正確解法 由題意有 ?????????22)2()1(bafbaf 解得： )],2()1(2[32)],1()2(2[31 ffbffa ???? ).1(95)2(91633)3( ffbaf ????? 把 )1(f 和 )2(f 的范圍代入得 .337)3(316 ?? f 在本題中能夠檢查出解題思路錯誤，并給出正確解法，就體現(xiàn)了思維具有反思性。 錯誤解法 由 條件得 ????????????622303baba ②① ②179。在解決問題時(shí)能不斷地驗(yàn)證所擬定的假設(shè)，獲得獨(dú)特的解決問題的方法，它和創(chuàng)造性思維存在著高度相關(guān)。通過一題多解訓(xùn)練，可使學(xué)生認(rèn)真觀察、多方聯(lián)想、恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，提高數(shù)學(xué)思維的變通性。當(dāng)要證結(jié)論中有“至少”等字樣，或以否定形式給出時(shí)，一般可考慮采用反證法。將（ 2）代入（ 1）得： .024)47( 22 ????? ppxpx （ 3） 確定 p 的范圍，實(shí)際上就是求（ 3）有兩個(gè)不等正根的充要條件，解不等式組： ?????????????????0470240)24(4)47(222pppppp 在 0?p 的條件下，得 .130 ??p 本題在解題過程中，不斷地把問題化歸為標(biāo)準(zhǔn)問題：解方程組和不等式組的問題。 思維障礙 很多學(xué)生只在已知條件上下功夫，左變右變，還是不知如何證明三者中至少有一個(gè)為 1，其原因是不能把要證的結(jié)論“翻譯”成數(shù)學(xué)式子，把陌生問題變?yōu)槭煜栴}。 思路分析 結(jié)論沒有用數(shù)學(xué)式子表示，很難直接證明。 （ 3） 問題轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練 我們所遇見的數(shù)學(xué)題大都是生疏的、復(fù)雜的。但是，如果注意觀察已知條件的特點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)它與一元二次方程的判別式相似。 （ 2） 聯(lián)想能力的訓(xùn)練 例 4 在 ABC? 中，若 C? 為鈍角，則 tgBtgA? 的值 (A) 等于 1 (B)小于 1 (C) 大于 1 (D) 不能確定 思路分析 此題是在 ABC? 中確定三角函數(shù) tgBtgA? 的值。 )()( ?? ff ?????? 思維障礙 有些同學(xué)對比較 )(f 與 )(?f 的大小，只想到求出它們的值。 有些問題的觀察要從相應(yīng)的圖像著手。 解 由 xyx 623 22 ?? 得 .20,0323,0.3232222???????????xxxyxxy? 又 ,29)3(21323 22222 ???????? xxxxyx ?當(dāng) 2?x 時(shí)， 22 yx ? 有最大值，最大值為 .429)32(21 2 ???? 思路分析 要求 22 yx ? 的最大值，由已知條件很快將 22 yx ? 變?yōu)橐辉魏瘮?shù) ,29)3(21)( 2 ???? xxf 然后求極值點(diǎn)的 x 值，聯(lián)系到 02?y ，這一條件，既快又準(zhǔn)地求出最大值。 因此， .)()( 222222 dbcadcba ??????? 思維障礙 很多學(xué)生看到這個(gè)不等式證明題，馬上想到采用分析法、綜合法等，而此題利用這些方法證明很繁。所以，必須重視觀察能力的訓(xùn)練，使學(xué)生不但能用常規(guī)方法解題，而且能根據(jù)題目的具體特征，采用特殊方法來解題。它表現(xiàn)就是記類型、記方法、套公式，使思維受到限制，它是提高思維變通性的極大的障礙，必須加以克服。 例如，已知cbacba ????? 1111, )0,0( ???? cbaabc , 求證 a 、 b 、 c 三數(shù)中必有兩個(gè)互為相反數(shù)。可見，解題過程是通過問題的轉(zhuǎn)化才能完成的。因此，解題的方法怎樣、速度如何，取決于能否由觀察到的特征，靈活運(yùn)用有關(guān)知識，做出相應(yīng)的聯(lián)想，將問題打開缺口，不斷深入。要想解決它，就必須依據(jù)題目的具體特征，對題目進(jìn)行深入的、細(xì)致的、透徹的觀察，然后認(rèn)真思考，透過表面現(xiàn)象看其本質(zhì)，這樣才能確定解題思路，找到解題方法?！陡咧袛?shù)學(xué)解題思維與思想》 大家好好看，一定會收益的 一、高中數(shù)學(xué)解題思維策略 第一講 數(shù)學(xué)思維的變通性 一、概念 數(shù)學(xué)問題千變?nèi)f化，要想既快又準(zhǔn)的解題，總用一套固定的方案是行不通的，必須具有思維的變通性 —— 善于根據(jù)題設(shè)的相關(guān)知識，提出靈活的設(shè)想和解題方案。 任何一道數(shù)學(xué)題，都包含一定的數(shù)學(xué)條件和關(guān)系。 稍具難度的問題和基礎(chǔ)知識的聯(lián)系，都是不明顯的、間接的、復(fù)雜的。 （ 3）善于將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化 數(shù)學(xué)家 G . 波利亞在《怎樣解題》中說過： 數(shù)學(xué)解題是命題的連續(xù)變換。在解題時(shí)，觀察具體特征，聯(lián)想有關(guān)問題之后 ，就要尋求轉(zhuǎn)化關(guān)系。思維定勢是指一個(gè)人用同一種思維方法解決若干問題以后，往往會 用同樣的思維方法解決以后的問題。 二、思維訓(xùn)練實(shí)例 （ 1） 觀察能力的訓(xùn)練 雖然觀察看起來是一種表面現(xiàn)象，但它是認(rèn)識事物內(nèi)部規(guī)律的基礎(chǔ)。 證明 不妨設(shè) ),(),( dcBbaA 如圖 1－ 2－ 1所示， 則 .)()( 22 dbcaAB ???? , 2222 dcOBbaOA ???? 在 OAB? 中，由三角 形三邊之間的關(guān)系知： ABOBOA ?? 當(dāng)且僅當(dāng) O在 AB上時(shí)，等號成立。 x y O ),( baA ),( dcB 圖 1－ 2－ 1 例 2 已知 xyx 623 22 ?? ，試求 22 yx ? 的最大值。因此，要注意審題，不僅能從表面形式上發(fā)現(xiàn)特點(diǎn)，而且還能從已知條件中發(fā)現(xiàn)其隱蔽條件，既要注意主要的已知條件， 又要注意次要條件，這樣，才能正確地解題，提高思維的變通性。 解 （如圖 1－ 2－ 2）由 )2()2( xfxf ??? ， 知 )(xf 是以直線 2?x 為對稱軸，開口向上的拋物線 x y O 2 圖 1－ 2－2 它與 2?x 距離越近的點(diǎn)，函數(shù)值越小。提高思維的變通性。 例 5 若 .2,0))((4)( 2 zxyzyyxxz ??????? 證明： 思路分析 此題一般是通過因式分解來證。 證明 設(shè) cba 、 所對的角分別為 A 、 B 、 .C 則 C 是直角， A 為銳角，于是 ,c os,sin cbAcaA ?? 且 ,1c o s0,1s in0 ???? AA 當(dāng) 3?n 時(shí)，有 AAAA nn