【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ∵ BFCFAF 2?? ，且59?BF， ∴ 518545545 21 ??????? ???????? ? xx， 即 821 ??xx ． （ 2）因?yàn)榫€(xiàn)段 AC 的中點(diǎn)為 ?????? ?24 21 yy，所以它的垂直平分線(xiàn)方程為 ? ?42 21 2121 ?????? xyy xxyyy． 又∵點(diǎn) T 在 x 軸上，設(shè)其坐標(biāo)為 ? ?00，x ，代入上式，得 ? ?2122210 24 xx yyx ???? 又∵點(diǎn) ? ?11 yxA ， ， ? ?22 yxB ， 都在橢圓上， ∴ ? ?2121 25259 xy ?? ? ?2222 25259 xy ?? ∴ ? ?? ?21212221 259 xxxxyy ?????． 將此式代入①，并利用 821 ??xx 的結(jié)論得 253640 ???x ∴ 4540590???? xkBT ． 15 / 41 典型例題五 例 5 已知橢圓 134 22 ??yx ， 1F 、 2F 為兩焦點(diǎn)，問(wèn)能否在橢圓上找一點(diǎn) M ，使 M 到左準(zhǔn)線(xiàn) l 的距離 MN 是 1MF 與 2MF 的等比中項(xiàng)？若存在，則求出點(diǎn) M 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解： 假設(shè) M 存在，設(shè) ? ?11 yxM ， ，由已知條件得 2?a ， 3?b ，∴ 1?c ， 21?e ． ∵左準(zhǔn)線(xiàn) l 的方程是 4??x ， ∴ 14 xMN ?? ． 又由焦半徑公式知： 111 212 xexaMF ????， 112 212 xexaMF ????． ∵ 212 MFMFMN ?? ， ∴ ? ? ?????? ??????? ??? 1121 2122124 xxx． 整理得 048325 121 ??? xx ． 解之得 41 ??x 或 5121 ??x． ① 另一方面 22 1 ??? x ． ② 則①與②矛盾，所以滿(mǎn)足條件的點(diǎn) M 不存在． 說(shuō)明： （ 1）利用焦半徑公式解?？珊?jiǎn)化解題過(guò)程． （ 2）本例是存在性問(wèn)題，解決存在性問(wèn)題，一般用分析法，即假設(shè)存在，根據(jù) 已知條件進(jìn)行推理和運(yùn)算．進(jìn)而根據(jù)推理得到的結(jié)果，再作判斷． （ 3）本例也可設(shè) ? ??? sin3cos2 ，M 存在，推出矛盾結(jié)論（讀者自己完成）． 典型例題六 16 / 41 例 6 已知橢圓 12 22 ??yx，求過(guò)點(diǎn) ?????? 2121，P且被 P 平分的弦所在的直線(xiàn)方程． 分析一： 已知一點(diǎn)求直線(xiàn)，關(guān)鍵是求 斜率，故設(shè)斜率為 k ，利用條件求 k ． 解法一： 設(shè)所求直線(xiàn)的斜率為 k ，則直線(xiàn)方程為 ?????? ??? 2121 xky．代入橢圓方程，并整理得 ? ? ? ? 023212221 2222 ??????? kkxkkxk ． 由韋達(dá)定理得2221 21 22 k kkxx ? ???． ∵ P 是弦中點(diǎn)，∴ 121 ??xx ．故得 21??k ． 所以所求直線(xiàn)方程為 0342 ??? yx ． 分析二： 設(shè)弦兩端坐標(biāo)為 ? ?11 yx， 、 ? ?22 yx， ，列關(guān)于 1x 、 2x 、 1y 、 2y 的方程組，從而求斜率：2121 xx yy?? ． 解法二： 設(shè)過(guò) ?????? 2121，P的直線(xiàn)與橢圓交于 ? ?11 yxA ， 、 ? ?22 yxB ， ，則由題意得 ?????????????????④1.③1②12①12212122222121yyxxyxyx，， ①－②得 02 22212221 ???? yyxx ． ⑤ 將③、④代入⑤得2121 21 ????xx yy，即直線(xiàn)的 斜率為 21? ． 所求直線(xiàn)方程為 0342 ??? yx ． 說(shuō)明： （ 1）有關(guān)弦中點(diǎn)的問(wèn)題，主要有三種類(lèi)型：過(guò)定點(diǎn)且被定點(diǎn)平分的弦；平行弦的中點(diǎn)軌跡；過(guò)定點(diǎn)的弦中點(diǎn)軌跡． 17 / 41 （ 2）解法二是“點(diǎn)差法”，解決有關(guān)弦中點(diǎn)問(wèn)題的題較方便，要點(diǎn)是巧代斜率． （ 3）有關(guān)弦及弦中點(diǎn)問(wèn)題常用的方法是：“韋達(dá)定理應(yīng)用”及“點(diǎn)差法”．有關(guān)二次曲線(xiàn)問(wèn)題也適用． 典型例題七 例 7 求適合條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． （ 1）長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的 2 倍，且過(guò)點(diǎn) ? ?62?， ； （ 2）在 x 軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的聯(lián)機(jī)互相垂直，且焦距為 6． 分析： 當(dāng)方程有兩種形式時(shí)，應(yīng)分別求解，如（ 1）題中由 12222 ??byax 求出 1482?a ，372?b ，在得方程 137148 22 ?? yx 后，不能依此寫(xiě)出另一方程 137148 22 ??xy ． 解： （ 1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 12222 ??byax 或 12222 ??bxay ． 由已知 ba 2? ． ① 又過(guò)點(diǎn) ? ?62?， ，因此有 ? ? 162 2 222 ??? ba 或 ? ? 126 222 2 ??? ba ． ② 由①、②，得 1482?a ， 372?b 或 522?a ， 132?b ．故所求的方程為 137148 22 ?? yx 或 11352 22 ??xy ． （ 2）設(shè)方程為 12222 ??byax ．由已知， 3?c ， 3??cb ，所以 182?a ．故所求方程為 1918 22 ??yx ． 說(shuō)明： 根據(jù)條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的思路是“選標(biāo)準(zhǔn)，定參數(shù)”．關(guān)鍵在于焦點(diǎn)的位置是否確定，若不能確定，應(yīng)設(shè)方程 12222 ??byax 或 12222 ??bxay ． 18 / 41 典型例題八 例 8 橢圓 11216 22 ??yx 的右焦點(diǎn)為 F ，過(guò)點(diǎn) ? ?31，A ，點(diǎn) M 在橢圓上，當(dāng) MFAM 2?為最小值時(shí)，求點(diǎn) M 的坐標(biāo)． 分析： 本題的關(guān)鍵是求出離心率21?e，把 MF2 轉(zhuǎn)化為 M 到右準(zhǔn)線(xiàn)的距離，從而得最小值．一般地，求 MFeAM 1?均可用此法． 解： 由已知： 4?a ， 2?c ．所以 21?e ，右準(zhǔn)線(xiàn)8?xl： ． 過(guò) A 作 lAQ? ，垂足為 Q ，交橢圓于 M ，故MFMQ 2? ．顯然 MFAM 2? 的最小值為 AQ ，即 M為所求點(diǎn)，因此 3?My ，且 M 在橢圓上．故 32?Mx ．所以 ? ?332 ，M ． 說(shuō)明： 本題關(guān)鍵在于未知式 MFAM 2? 中的“ 2”的處理．事實(shí)上，如圖， 21?e ，即 MF 是 M 到右準(zhǔn)線(xiàn)的距離的一半，即圖中的 MQ ，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求橢圓上一點(diǎn) M ，使 M到 A 的距離與到右準(zhǔn)線(xiàn)距離之和取最小值． 典型例題九 例 9 求橢圓 13 22 ??yx 上的點(diǎn)到直線(xiàn) 06???yx 的距離的最小值． 分析： 先寫(xiě)出橢圓的參數(shù)方程，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離建立三角函數(shù)關(guān)系式，求出距離的最小值． 解： 橢圓的參數(shù)方程為????? .sincos3? ?yx ，設(shè)橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)為 ? ??? sincos3 ， ，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為 263s i n226s i nc o s3 ??????? ????? ????d ． 19 / 41 當(dāng) 13sin ???????? ???時(shí)， 22?最小值d ． 說(shuō)明： 當(dāng)直接設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)不易解決問(wèn)題時(shí)，可建立曲線(xiàn)的參數(shù)方程． 典型例題十 例 10 設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在 x 軸上，離心率 23?e ，已知點(diǎn) ?????? 230，P到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是 7 ，求這個(gè)橢圓的方程，并求橢圓上的點(diǎn) P 的距離等于 7的點(diǎn)的坐標(biāo)． 分析： 本題考查橢圓的性質(zhì)、距離公式、最大值以及分析問(wèn)題的能力，在求 d 的最大值時(shí)，要注意討論 b 的取值范圍．此題可以用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，也可用橢圓的參數(shù)方程，要善 于應(yīng)用不等式、平面幾何、三角等知識(shí)解決一些綜合性問(wèn)題，從而加強(qiáng)等價(jià)轉(zhuǎn)換、形數(shù)結(jié)合的思想，提高邏輯推理能力． 解法一： 設(shè)所求橢圓的直角坐標(biāo)方程是 12222 ??byax ，其中 0??ba 待定． 由22222222 1 aba baace ????? 可得 214311 2 ????? eab，即 ba 2? ． 設(shè)橢圓上的點(diǎn) ? ?yx， 到點(diǎn) P 的距離是 d ，則 493123 2222222 ??????????? ???????? ??? yybyayxd 3421349334 2222 ???????? ??????? byyyb 其中 byb ??? ． 如果 21?b ，則當(dāng) by ?? 時(shí)， 2d （從而 d ）有最大值． 由題設(shè)得 ? ? 22237 ?????? ?? b，由此得 21237 ???b ，與 21?b 矛盾． 20 / 41 因此必有21?b成立，于是當(dāng)21??y時(shí)， 2d （從而 d ）有最大值． 由題設(shè)得 ? ? 347 22 ?? b ，可得 1?b ， 2?a ． ∴所求橢圓方程是 114 22 ??yx ． 由21??y及求得的橢圓方程可得，橢圓上的點(diǎn) ?????? ?? 213，點(diǎn) ?????? ?213，到點(diǎn)?????? 230，P 的距離是 7 ． 解法二： 根據(jù)題設(shè)條件，可取橢圓的參數(shù)方程是??? ?? ??sincosby ax，其中 0??ba ，待定，?? 20 ?? ， ? 為參 數(shù)． 由 2222222 1 ??????????? aba baace可得 214311 2 ????? eab，即 ba 2? ． 設(shè)橢圓上的點(diǎn) ? ?yx， 到點(diǎn) ?????? 230，P的距離為 d ，則 22222223s i nc os23 ?????? ????????? ??? ?? bayxd 49s in3s in34 222 ???? ?? bbb 3421s in3 222 ???????? ??? bbb ? 如果 121?b ，即 21?b ，則當(dāng) 1sin ??? 時(shí)， 2d （從而 d ）有最大值． 由題設(shè)得 ? ? 22237 ?????? ?? b，由此得 21237 ???b ，與 21?b 矛盾，因此必有 121?b成立． 于是當(dāng) b21sin ??? 時(shí) 2d （從而 d ）有最大值． 由題設(shè)知 ? ? 347 22 ?? b ，∴ 1?b ， 2?a ． 21 / 41 ∴所求橢圓的參數(shù)方程是??? ?? ??sincos2yx． 由21sin ???， 23cos ??? ，可得橢圓上的是 ?????? ?? 213， ?????? ?213，． 典型例題十一 例 11 設(shè) x ， R?y ， xyx 632 22 ?? ，求 xyx 222 ?? 的最大值和最小值． 分析： 本題的關(guān)鍵是利用形數(shù)結(jié)合，觀察方程 xyx 632 22 ?? 與橢圓方程的結(jié)構(gòu)一致．設(shè) mxyx ??? 222 ，顯然它表示一個(gè)圓，由此可以畫(huà)出圖形，考慮橢圓及圓的位置關(guān)系求得最值． 解： 由 xyx 632 22 ?? ，得 123492322?????????????? ?yx 可見(jiàn)它表示一個(gè)橢圓，其中心在 ?????? 023，點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上，且過(guò)（ 0， 0）點(diǎn)和（ 3， 0）點(diǎn)． 設(shè) mxyx ??? 222 ，則 ? ? 11 22 ???? myx 它表示一個(gè)圓，其圓心為（－ 1， 0）半徑為 ? ?11 ??? mm ． 在同一坐標(biāo)系中作出橢圓及圓，如圖所示．觀察圖形可知，當(dāng)圓過(guò)（ 0， 0）點(diǎn)時(shí)，半徑最小，即 11??m ，此時(shí) 0?m ；當(dāng)圓過(guò)（ 3， 0）點(diǎn)時(shí)，半徑最大，即 41??m ，∴ 15?m ． ∴ xyx 222 ?? 的最小值為 0，最大值為 15． 22 / 41 典型例題十二 例 12 已知橢圓 ? ?012222 ???? babyaxC ： ， A 、 B 是其長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)． （ 1）過(guò)一個(gè)焦點(diǎn) F 作垂直于長(zhǎng)軸的弦 P? ，求證：不論 a