【文章內(nèi)容簡介】 ③ [2,3] ④ [1,4]25. 設(shè)函數(shù) f(x)＝x 2＋2bx ＋c (cb1)，f (1)＝0，方程 f(x)＋1＝0 有實根．(1) 證明：－3c≤－1 且 b≥0；(2) 若 m 是方程 f(x)＋1＝0 的一個實根，判斷 f(m－4) 的正負(fù)并加以證明．26. (2022 年安徽合肥模擬)設(shè)函數(shù) f(x)＝ax 2＋bx ＋c，且 f(1)＝－ ，3a2 c2b，求證：a2(1) a0 且－3 － ；ba 34(2) 函數(shù) f(x)在區(qū)間 (0,2)內(nèi)至少有一個零點；(3) 設(shè) xx 2 是函數(shù) f(x)的兩個零點，則 ≤|x1－x 2| .257427. 已知函數(shù) f(x)＝ax 2＋4x＋b( a0，a、b∈R)，設(shè)關(guān)于 x 的方程 f(x)＝0 的兩實根為xx 2，方程 f(x)＝x 的兩實根為 α、β.(1) 若|α－β|＝1，求 a、b 的關(guān)系式；(2) 若 a、b 均為負(fù)整數(shù)，且|α－β| ＝1，求 f(x)的解析式；(3) 若 α1β2，求證：(x 1＋1)(x 2＋1)7.28. 已知函數(shù) ,設(shè)2)1(2)(,)()2 ????????axgaf max)(1?H, , 表示 中的較大值, 表示??()xgf??min2xfH??qp??inpq中的較小值,記 的最小值為 , 的最大值為 ,則 = ． 4pq??1A2HBA29. 設(shè) ， 且 ，則 的最小值為 ． 0x?yxy??3xy?30. 已知函數(shù) f(x)=x2+ax+b 的值域為[4,+??,若關(guān)于 x 的不等式 f(x)c 的解集為( m,m+6),則實數(shù) c 的值為 31. 對于區(qū)間 ，若函數(shù) 同時滿足下列兩個條件：①函數(shù) 在 上是單[,]a()fx()f[,]ab調(diào)函數(shù)；②函數(shù) 當(dāng)定義域為 時，值域也為 ，則稱區(qū)間 為函數(shù)()fx[,]ab[,]ab的“保值區(qū)間” ．()fx（1）寫出函數(shù) 的保值區(qū)間；2yx?（2）函數(shù) 是否存在保值區(qū)間？若存在，求出相應(yīng)的實數(shù) 的取值范(0)m?? m圍；若不存在，試說明理由．解：（1） ??0,（2）由題易得： 或者??,0ab?????,0+ab??，（i）當(dāng) 時，此時 ，則可將 視為方程 的兩個???,0+， ()f????,20xm???非負(fù)實數(shù)根，則 ；1410,4m?????????????（ii）當(dāng) 時，???,0ab??2() 1fbamab?????????可將問題轉(zhuǎn)化為方程 有兩個非負(fù)實數(shù)解21m??????? 2x?數(shù)形結(jié)合可得 ，綜上：34???????， 3104m???????????， ，變式 1：若函數(shù) 是否存在形如 的保值區(qū)間？若存在，求出該1(),gx????,()ab?區(qū)間，若不存在，請說明理由. 先進(jìn)行局部縮小 不存在； 不成立 不存0?1ab?在變式 2：若函數(shù) 若存在實數(shù) ，使得函數(shù) 的定義域為 ，1(),gx??,()ab?()gx??,值域為 ，求實數(shù) 的取值范圍. ??,(0)mab?m104??????，32. 已知函數(shù) baxxg???12（ ?）在區(qū)間 ]3,2[上有最大值 4和最小值 1．設(shè) f)(．（1）求 a、 b的值；（2）若不等式 02)(???xxkf在 ]1,[??上有解，求實數(shù) k的取值范圍；（3）若 ??03|12||12| ?????kkfxx 有三個不同的實數(shù)解，求實數(shù) k的取值范圍．解：（1） abag?)()，因為 0?，所以 x在區(qū)間 ]3,2[上是增函數(shù)，故 ????4)3(12g，解得 ???01ba． （2）由已知可得 1)(???f，所以 02)(???xxkf可化為 xxk22??，化為 kxx????????11，令 xt1?，則 1???t，因 ]1,[??x，故???????2,t，記 ?)(th12??t，因為 ???????1,2t，故 1)(max?th， 所以 k的取值范圍是 ],(?． （3）原方程可化為 0)12(||)3(|1|2 ??????kkxx ， 令 tx??|12|，則 ,0?， tt 有兩個不同的實數(shù)解 1t，t，其中 ?， 2?t，或 1?， 2． 記 )()3()(2?ktth，則 ??????0)(kh ①或 ?????????1230)(kh ② 解不等組①，得 0?k，而不等式組②無實數(shù)解．所以實數(shù) k的取值范圍是 ),0(??． 33. 已知函數(shù) ．2()43fxax???（1）求證：函數(shù) y = f(x) 的圖象恒過兩個定點．（2）若 y = f(x)在（1，3）內(nèi)有零點，求 a 的取值范圍．（1）設(shè) ，即 ．24a???2(4)3yx???令 x2 = 4，得 x = ?2 或 2．則函數(shù) y = f(x) 的圖象恒過定點（?2，7） ， （2，?1） ． （2）∵f(? 2) = 7 0，f(2) = ?1 0，∴y = f( x)在（?2，2）內(nèi)有零點．1）若 a 0，拋物線開口向上，y = f(x)在（1，3）內(nèi)有零點，當(dāng)且僅當(dāng) f(1) 0，或 f(3) 0． 則 ， 或 ．()24a?????(3)964350faa??????∴0 ，或 ． 13a?52）若 a 0，拋物線開口向下，y = f(x)在（1，3）內(nèi)有零點，當(dāng)且僅當(dāng) f(1) 0．即 ． 24310faa????? ∴ ，結(jié)合 a 0，得 a 0． 3a?3）若 a = 0，y = f(x) 的零點為 ，在（1，3）內(nèi)．2綜合 1） ，2） ，3） ，得 a 的取值范圍為（?∞， ）∪（ ，?∞ ） ．3534. 已知二次函數(shù)的圖像頂點為 ，且圖像在 軸上截得的線段長度為 4，求二次(,4)Ax函數(shù)的解析式. 拓展：若將圖像的頂點坐標(biāo)改為 ，其他條件不變，二次函數(shù)的開口方向(,)mR?和大小是否會發(fā)生變化？并說明理由.變式 1：已知 若 則實數(shù) 的值為____________ 82(),fxa???(1)3,f?a變式 2：已知 且 則 202202()xf12()_fx??由對稱軸可得 12()(fxf變式 3：已知函數(shù) 若存在 使得 ，則實數(shù)1,ax?????0,3t?2()(ftft?的取值范圍是__________ 由對稱性可轉(zhuǎn)化為 在 21a????0,3?35. 函數(shù) 的值域為 ，若關(guān)于 的不等式2(),()fxbR?+?， x的解集為 ，則實數(shù) 的值為________ 9()fxc???,6m?c優(yōu)化：直接轉(zhuǎn)化為 ，圖像的左右平移不影響水平弦長的大小，直接得結(jié)2())fxa??論變式：函數(shù) 的值域為 ，若關(guān)于 的方程 的2(),()fbR????2+?， x()fc?解集為 ,求實數(shù) 的值. 6??1,3m?c36. 對于定義域為 D 的函數(shù) ，若同時滿足下列條件：① 在 D 內(nèi)單調(diào)遞增)(xfy?)(f或單調(diào)遞減；②存在區(qū)間[ ] ，使 在[ ]上的值域為[ ]；那么把ba,?ba,ba,（ ）叫閉函數(shù).)(xfy??（1）求閉函數(shù) 符合條件②的區(qū)間[ ]；3xy?,??1,（2）判斷函數(shù) 是否為閉函數(shù)？并說明理由；不是，不符合條件)0(14)(???f1（3）若函數(shù) 是否為閉函數(shù)，求實數(shù) 的取值范圍. 2xky k924??????，37. 設(shè) 是實數(shù)，函數(shù)a()()xfeaR????（1）求證：函數(shù) 不是奇函數(shù)；（2）當(dāng) 時，求滿足不等式 的 的取值范圍；0a?2()fxa?（3）求函數(shù) 的值域（用 表示）.()fx38. 已知函數(shù) ，若 的定義域和值域均為 ，實數(shù) 的25(1)x????()fx??1,a值為________ 239. 已知函數(shù) 在區(qū)間 上的最大值為 4，則實數(shù) 的值為___ 22()3)9fxm??,2m9. 圖像的平移與變換1. 函數(shù) 在區(qū)間 上是增函數(shù)，那么 的單調(diào)遞增區(qū)間是 ()fx(2,)?(5)1fx??2. 若函數(shù) 是偶函數(shù)，則 的對稱軸方程為 ?yy?3. 已知 的圖象恒過 點，則 的圖象恒過 ． )(xf)1,()4(xf4. 已知 為常數(shù)，函數(shù) 在區(qū)間[0 ，3]上的最大值為 2，則 ___t ty?2t?5. 已知定義在 R 上的奇函數(shù) ，滿足 ，且在區(qū)間[0,2] 上是增函數(shù)若()fx(4)(fxfx??方程 f(x)＝m(m0)在區(qū)間 上有四個不同的根 ,則 .??8,?1234,1234x??6. 為偶函數(shù)，且在區(qū)間 上為增函數(shù)，且 ＿????0??的 解 集 為則 0)(?ff10. 雙最值問題（1）若定義運算 則函數(shù) 的值域是 _,???????ba)2()(xxf???變式 1：定義運算 則函數(shù) 的值域是,()3xf?變式 2：（09 寧夏）用 表示三個數(shù)中的最小值，設(shè)??min,abc，則 的最大值為____________??()min2,10()xf x????()fx11. 函數(shù)型不等式問題1. 函數(shù) ，若 ，實數(shù) 的取值范圍為________?????????0,2)(xxf )(2(aff??2. 12. 復(fù)合函數(shù)問題1. 已知 ，方程 的解集為_____________11()23xfx????????， 或 [()]1fx?變式：設(shè)函數(shù) 2(0)()logxf，函數(shù) [()]yf?的零點個數(shù)為__________22. 函數(shù) ， . 若 為單元素集，試求 ??2??RxfB??,0)(Bq變式 1：函數(shù) ， . 若 為單元素集，試求x)(q的值. 變式 2：（2022 年上海交大自主招生）已知函數(shù) ，且2()(0)fxabc???()fx?沒有實數(shù)根， 是否有實數(shù)根？并證明你的結(jié)論.)fx變式 3：（2022 年上海交大自主招生）定義函數(shù)的不動點，當(dāng) 時，我們稱0()fx?為0x函數(shù) 的不動點，若 有唯一不動點，則 也有唯一不動點.()fx()fx()fx變式 4：對于函數(shù) ，若 ，則稱 為 的“不動點”；若 ，則???()fx?稱 為 的“穩(wěn)定點”. 函數(shù)的“ 不動點”和“穩(wěn)定點”的集合分別記為 和 ，即x()f AB， .????|Ax????|Bfx（Ⅰ）求證： ；?（Ⅱ）若 ，且 ，求實數(shù) 的取值范圍； 21,faR??AB???a（Ⅲ）若 是 上的單調(diào)遞增函數(shù)， 是函數(shù)的穩(wěn)定點，問 是函數(shù)的不動點嗎？()x0x0x若是，請證明你的結(jié)論；若不是，請說明的理由.解：（Ⅰ）若 ，則 顯然成立；若 ，設(shè) ，A??B?A?t?， ，故 . ????,ftftft?t?B?（Ⅱ） 有實根， .又 ，所以 ，21ax????14a????21axx??即 的左邊有因式 ，3420??2x從而有 . ???211axxa??， 要么沒有實根，要么實根是方程 ??2?210ax??若 沒有實根，則 ；20ax?34?若 有實根且實根是方程 的根，則由方 ，1?210ax??2x得 ，代入 ，有 .由此解得 ，2ax??210ax??12a??再代入得 ，由此 ，故 a 的取值范圍是 . 104?34?13,4??????xyO22?1 xyO2?1)(fy?)(xgy?（Ⅲ）由題意：x 0 是函數(shù)的穩(wěn)定點, 則 ，0)(xf?① 若 ， 是 R 上的