【正文】 22 21 ??? PFPFa ．即 5?a ． 從 21 PFPF ? 知 2PF 垂 直 焦 點(diǎn) 所 在 的 對(duì) 稱(chēng) 軸 ， 所 以 在 12FPFRt? 中，21s i n 1221 ??? PFPFFPF， 可求出 621 ??? FPF，3526c os2 1 ??? ?PFc，從而 310222 ??? cab ． ∴所求橢圓方程為 11035 22 ?? yx 或 15103 22 ?? yx ． 例 5 已知橢圓方程 ? ?012222 ???? babyax ，長(zhǎng)軸端點(diǎn)為 1A ， 2A ，焦點(diǎn)為 1F ， 2F ， P 是橢圓上一點(diǎn)， ??? 21PAA ， ??? 21PFF ．求： 21PFF? 的面積（用 a 、 b 、 ? 表示）． 分析： 求面積要結(jié)合余弦定理及定義求角 ? 的兩鄰邊，從而利用 CabS sin21??求面積． 解： 如圖，設(shè) ? ?yxP ， ，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè) ? ?yxP ， ，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè) P 在第一象限．由余弦定理知： 221FF 2221 PFPF ?? 12PF? 22 4cos cPF ?? ．① 3 / 41 由橢圓定義知： aPFPF 221 ?? ②，則 －①② 2 得 ?c os1 2 221 ??? bPFPF． 故 ?s in21 2121 PFPFS PFF ??? ?? sincos1 221 2?? b 2tan2 ?b?． 例 6 已知?jiǎng)訄A P 過(guò)定點(diǎn) ? ?03，?A ，且在定圓 ? ? 643 22 ??? yxB： 的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心 P 的軌跡方程． 分析： 關(guān)鍵是根據(jù)題意，列出點(diǎn) P 滿足的關(guān)系式． 解： 如圖所示，設(shè)動(dòng)圓 P 和定圓 B 內(nèi)切于點(diǎn) M ．動(dòng)點(diǎn) P 到兩定點(diǎn)， 即定點(diǎn) ? ?03，?A 和 定圓圓心 ? ?03，B 距離之和恰好等于定圓半徑， 即 8????? BMPBPMPBPA ．∴點(diǎn) P 的軌跡是以 A ， B 為兩焦點(diǎn)， 半長(zhǎng)軸為 4，半短軸長(zhǎng)為 734 22 ???b 的橢圓的方程： 1716 22 ??yx ． 說(shuō)明： 本題是先根據(jù)橢圓的定義，判定軌跡是橢圓，然后根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求軌跡的方程．這是求軌跡方程的一種重要思想方法． 例 7 已知橢圓 12 22 ??yx ，（ 1）求過(guò)點(diǎn) ?????? 2121，P且被 P 平分的弦所在直線的方程； （ 2）求斜率為 2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程； （ 3）過(guò) ? ?12，A 引橢圓的割線，求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程； （ 4）橢圓上有兩點(diǎn) P 、 Q ， O 為原點(diǎn)，且有直線 OP 、 OQ 斜率滿足 21???OQOP kk， 求線段 PQ 中點(diǎn) M 的軌跡方程． 分析： 此題中四問(wèn)都跟弦中點(diǎn)有關(guān)，因此可考慮設(shè)弦端坐標(biāo)的方法． 解： 設(shè)弦兩端點(diǎn)分別為 ? ?11 yxM ， ， ? ?22 yxN ， ，線段 MN 的中點(diǎn) ? ?yxR ， ，則 ???????????????④，③，②，①，yyyxxxyxyx222222212122222121 ①－②得 ? ?? ? ? ?? ? 02 21212121 ?????? yyyyxxxx ． 由題意知 21 xx? ，則上式兩端同除以 21 xx? ，有 ? ? ? ? 0221212121 ????? xx yyyyxx ， 將③④代入得 022121 ???? xx yyyx ．⑤ 4 / 41 （ 1）將21?x，21?y代入⑤，得2121 21 ????xx yy，故所求直線方程為： 0342 ??? yx ． ⑥ 將⑥代入橢圓方程 22 22 ?? yx 得 04166 2 ??? yy， 0416436 ??????符合題意，0342 ??? yx 為所求． （ 2）將 22121 ???xx yy 代入⑤得所求軌跡方程為： 04 ?? yx ．（橢圓內(nèi)部分） （ 3）將2121 21 ????? xyxx yy代入⑤得所求軌跡方程為： 0222 22 ???? yxyx ．（橢圓內(nèi)部分） （ 4）由①＋②得 ： ? ? 22 22212221 ???? yyxx ， ⑦， 將③④平方并整理得 2122221 24 xxxxx ??? ， ⑧， 2122221 24 yyyyy ??? ， ⑨ 將⑧⑨代入⑦得： ? ? 224424212212 ???? yyyxxx ， ⑩ 再將2121 21 xxyy ??代入⑩式得： 221242 212212 ??????? ???? xxyxxx， 即 12122 ??yx ． 此即為所求軌跡方程．當(dāng)然，此題除了設(shè)弦端坐標(biāo)的方法，還可用其它方法解決． 例 8 已知橢圓 14 22 ??yx 及直線 mxy ?? ． （ 1）當(dāng) m 為何值時(shí)，直線與橢圓有公共點(diǎn)？ （ 2）若直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為 5102 ，求直線的方程． 解： （ 1）把直線方程 mxy ?? 代入橢圓方程 14 22 ??yx 得 ? ? 14 22 ??? mxx ， 即 0125 22 ???? mmxx ． ? ? ? ? 020201542 222 ?????????? mmm ， 解 得2525 ??? m ． 5 / 41 （ 2）設(shè)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 1x ， 2x ，由（ 1）得5221 mxx ???，5 1221 ?? mxx． 根據(jù)弦長(zhǎng)公式得 ：51025 145211222 ?????????? ??? mm． 解得 0?m ．方程為xy? ． 說(shuō)明： 處理有關(guān)直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題及有關(guān)弦長(zhǎng)問(wèn)題，采用的方法與處理直線和圓的有所區(qū)別． 這里解決直線與橢圓的交點(diǎn)問(wèn)題，一般考慮判別式 ? ；解決弦長(zhǎng)問(wèn)題，一般應(yīng)用弦長(zhǎng)公式． 用弦長(zhǎng)公式，若能合理運(yùn)用韋達(dá)定理（即根與系數(shù)的關(guān)系），可大大簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程． 例 9 以橢圓 1312 22 ??yx 的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，過(guò)直線 09 ??? yxl： 上一點(diǎn) M 作橢圓，要使所作橢圓的長(zhǎng)軸最短，點(diǎn) M 應(yīng)在何處？并求出此時(shí)的橢圓方程． 分析： 橢圓的焦點(diǎn)容易求出，按照橢圓的定義，本題實(shí)際上就是要在已知直線上找一點(diǎn)，使該點(diǎn)到直線同側(cè)的兩已知點(diǎn)（即兩焦點(diǎn)）的距離 之和最小，只須利用對(duì)稱(chēng)就可解決． 解： 如圖所示，橢圓 1312 22 ??yx 的焦點(diǎn)為 ? ?031 ，?F ， ? ?032 ，F(xiàn) ． 點(diǎn) 1F 關(guān)于直線 09 ??? yxl： 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) F 的坐標(biāo)為（－ 9， 6），直線 2FF 的方程為032 ??? yx ． 解方程組??? ??? ??? 09 032yx yx得交點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（－ 5， 4）．此時(shí) 21 MFMF ? 最?。? 所求橢圓的長(zhǎng)軸： 562 221 ???? FFMFMFa ，∴ 53?a ，又 3?c ， ∴ ? ? 36353 22222 ????? cab ．因此，所求橢圓的方程為 13645 22 ??yx ． 6 / 41 例 10 已知方程 135 22 ????? kykx表示橢圓，求 k 的取值范圍 ． 解： 由????????????,35,03,05kkkk 得53 ??k ，且 4?k ． ∴滿足條件的 k 的取值范圍是 53 ??k ，且 4?k ． 說(shuō)明： 本題易出現(xiàn)如下錯(cuò)解：由??? ?? ?? ,03 ,05kk得 53 ??k ，故 k 的取值范圍是 53 ??k ． 出錯(cuò)的原因是沒(méi)有注意橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中 0??ba 這個(gè)條件，當(dāng) ba? 時(shí)，并不表示橢圓． 例 11 已知 1co ssin 22 ?? ?? yx )0( ???? 表示焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓，求 ? 的取值范圍． 分析： 依據(jù)已知條件確定 ? 的三角函數(shù)的大小關(guān)系．再根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性，求出 ? 的取值范圍． 解： 方程可化為 1cos1sin122 ????yx ．因?yàn)榻裹c(diǎn)在 y 軸上，所以 0sin1cos1 ??? ?? ． 因此 0sin ?? 且 1tan ??? 從而 )43,2( ???? ． 說(shuō)明： (1)由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知 0sin1 ?? ， 0cos1 ?? ? ，這是容易忽視的地方． (2)由焦點(diǎn)在 y 軸上，知 ?cos12 ??a ， ?sin12 ?b ． (3)求 ? 的取值范圍時(shí)，應(yīng)注意題目中的條件 ????0 ． 例 12 求中心在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過(guò) )2,3( ?A 和 )1,32(?B 兩點(diǎn)的橢圓方程． 分析： 由題設(shè)條件焦點(diǎn) 在哪個(gè)軸上不明確，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種情形，為了計(jì)算簡(jiǎn)便起見(jiàn)， 可設(shè)其方程為 122 ??nymx ( 0?m ， 0?n )，且不必去考慮焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上，直接可求出方程． 解： 設(shè)所求橢圓方程為 122 ??nymx ( 0?m ， 0?n )．由 )2,3( ?A 和 )1,32(?B 兩點(diǎn) 7 / 41 在橢圓上可得 ???????????????,11)32(,1)2()3(2222nmnm 即??? ?? ?? ,112 ,43 nm nm所以151?m，51?n．故所求的橢圓方程為1515 22 ??yx ． 例 13 知圓 122 ??yx ，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn) P向 y 軸作垂線段，求線段中點(diǎn) M 的軌跡 ． 分析： 本題是已知一些軌跡，求動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題．這種題目一般利用中間變量 (相關(guān)點(diǎn) )求軌跡方程或軌跡． 解： 設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 ),( yx ，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ),(00 yx，則20xx?，0yy?． 因?yàn)?),(00 yxP在圓 122 ??yx 上，所以 12020 ??yx． 將 xx 20?， yy ?0代入方程 12020 ??yx得 14 22 ??yx ．所以點(diǎn) M 的軌跡是一個(gè)橢圓 14 22 ??yx ． 說(shuō)明： 此題是利用相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程的方法，這種方法具體做法如下：首先設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為 ),( yx ， 設(shè)已知軌跡上的點(diǎn)的坐標(biāo)為 ),(00 yx，然后根據(jù)題目要求，使 x ， y 與0x，0y建立等式關(guān)系， 從而由這些等式關(guān)系求出0x和0y代入已知的軌跡方程，就可以求出關(guān)于 x ， y 的方程， 化簡(jiǎn)后即我們所求的方程．這種方法是求軌跡方程的最基本的方法，必須掌握． 例 14 已知長(zhǎng)軸為 12，短軸長(zhǎng)為 6，焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓，過(guò)它對(duì)的左焦點(diǎn) 1F 作傾斜解為 3?的直線交橢圓于 A ， B 兩點(diǎn)，求弦 AB 的長(zhǎng)． 分析： 可以利用弦長(zhǎng)公式 ]4))[(1(1 212212212 xxxxkxxkAB ??????? 求得， 也可以利用橢圓定義及余弦定理，還可以利用焦點(diǎn)半徑來(lái)求． 解 ： (法 1)利用直線與橢圓相交的弦長(zhǎng)公式求解． 8 / 41 2121 xxkAB ??? ]4))[(1( 212212 xxxxk ???? ．因?yàn)?6?a ， 3?b ，所以 33?c ．因?yàn)榻裹c(diǎn)在 x 軸上， 所以橢圓方程為 1936 22 ??yx，左焦點(diǎn) )0,33(?F ，從而直線方程為 93 ?? xy ． 由直線方程與橢圓方程聯(lián)立得： 083637213 2 ???? xx ．設(shè) 1x ， 2x 為方程兩根，所以13 37221 ???xx ， 1383621 ??xx ， 3?k ， 從而1348]4))[(1(1 212212212 ???????? xxxxkxxkAB ． (法 2)利用橢圓的定義及余弦定理求解 ． 由題意可知橢圓方程為 1936 22 ??yx ，設(shè) mAF?1 ， nBF?1 ，則 mAF ??122 ，nBF ??122 ． 在 21FAF? 中， 3c os22112212122 ?FFAFFFAFAF ???，即21362336)12( 22 ???????? mmm ； 所以34 6??m．同理在 21FBF? 中，用余弦定理得34 6??n，所以 1348??? nmAB ． (法 3)利用焦半徑求解． 先根據(jù)直線與橢圓聯(lián)立的方程 083637213 2 ???? xx 求出方程的兩根 1x ， 2x ，它們分別是 A ， B 的橫坐標(biāo)． 再根據(jù)焦半徑 11 exaAF ?? ， 21