【正文】 屬于，有兩種；第二步， 2 也有兩種，?，第 10步， 0也有兩種，由乘法原理，子集共有 1024210 ? 個(gè)，非空真子集有 1022 個(gè)。 來(lái)源： 08 年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一 題型：解答題，難度：較難 集合 A， B， C 是 I={1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 0}的子集，（ 1）若 IBA ?? ，求有序集合對(duì)（ A， B）的個(gè)數(shù)；（ 2）求 I 的非空真子集的個(gè)數(shù)。（ 1）若 0?b ，則④不成立；（ 2）若 1?b ，則④仍不成立；（ 3）若 2?b ，由⑤式得 4)1( 2 ??k ，所以 1?k 或 2，又當(dāng) 2?k 時(shí)④式不成立。 2 ?????? bk 。ⅱ）若 0?k ，則③無(wú)解，所以?0441 2 ????? kb ④。 答案： 假設(shè)存在這樣的 Nbk ?, ，則 ??CBA ?? )( ，所以 ???? ??? ?? 012 xybkxy ①與???? ?? ???? bkxy yxx 05224 2 ②均無(wú)解，由①得 ?01)12( 222 ????? bxkbxk ③。 答案： 先證 MBA ?)( ? ，若 )( BAx ?? ，因?yàn)?BAMA ?? ? ，所以 MxMAx ?? ,? ，所以 MBA ?)( ? ； 再證 )( BAM ?? ，若 Mx? ，則 .BAMBAx ??? ?? 1）若 Ax? ，則BAMAx ?? ?? ； 2）若 Bx? ，則 BAMBx ?? ?? 。滿足題設(shè)要求。 類似地，作出 B 的 2k 個(gè)二元子集構(gòu)成的分劃，包含 B的全部二元子集，讓其中每個(gè)分劃與 C 的一個(gè)元素搭配作出 k 個(gè) X 的三元子集；作出 C 的 2k 個(gè)二元子集構(gòu)成的分劃，包含 C 的全部二元子集，讓其中每個(gè)分劃與 A的一個(gè)元素搭配作出 k 個(gè) X 的三元子集。由引理可知， A的全部二元子集可分為 2k1組，每組是 A的一個(gè)分劃。 下面來(lái)做滿足題設(shè)的子集族。 連接 2n 與 1，作 n1 條以 2n1 邊形頂點(diǎn)為端點(diǎn)且垂直于 1 與2n 連線的線段，便得到 X1 的 n 個(gè)二元子集構(gòu)成 X1的 n 個(gè)二元子集。 引理：對(duì)于 n∈ N+，集合 X1={1， 2，?， 2n}的全部二元子集可分成 2n1組，且每組是X1的一個(gè)分劃。 2? 。amp。滿足： （ 1） X 的任意一個(gè)二元子集至少被族 amp。 這個(gè)矛盾表明有兩個(gè) S 中的人，他們的公共朋友數(shù)為偶數(shù)。因此，所有 2m個(gè)這 樣的朋友集的元素個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)。 事實(shí)上，對(duì)每個(gè) Fi∈ M，考慮它在 M 中的朋友數(shù)，所有這 k 個(gè) Fi的這些朋友數(shù)之和為偶數(shù)（因?yàn)榕笥咽窍嗷サ模?，而?duì) A， Fi而言，其公共朋友數(shù)為奇數(shù)，故每個(gè) Fi的這樣的朋友數(shù)為奇數(shù)，故 k 為偶數(shù)。 答案： 證明：用反證法：設(shè) S 為一個(gè)由 2n 個(gè)人組成的集合， S 中每?jī)蓚€(gè)人的公共朋友數(shù)為奇數(shù)， S 中的任意一個(gè)人 A，記 M={F1，?， Fn}為 A的朋友集。 來(lái)源： 08 年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一 題型：解答題，難度：較難 設(shè) S 是由 n2 個(gè)人組成的集合。 來(lái)源： 08 年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一 題型：解答題，難度：較難 集合 {1， 2，?， 3n}可以劃分成 n 個(gè)互不相交的三元集合 },{ zyx ，其中 zyx 3?? ，求滿足條件的最小正整數(shù) 答案： 設(shè)其中第 i 個(gè)三元集為 ,2,1},{ nizyx ii ?? 則 1+2+? + ???ni izn 1 ,43 所以 ???? ni iznn142)13(3 。設(shè) T 為這樣的 i組成的集合，易知 s中有 220C 對(duì)（ b,c）滿足 bc，有 20 對(duì)（ b,c）滿足 b=c,所以 ?? ???Ti i Cs 21020220 ，于是? ?? ? ???Ti Ti iii sss )55()1(21 =5（ 210201）。 另一方面， S 的“好子集” {x, y, z,w}的個(gè)數(shù)等于 ? ? )1(21ii ss，這里的 si為 S中滿足b+c=I, b≤ c 的數(shù)對(duì)（ b, c）的個(gè)數(shù)，其中 i 為正整數(shù)。 下面用反證法證明：所給集合的不同元素的個(gè)數(shù)不小于 100。 答案： 所給集合的元素個(gè)數(shù)的最小值為 100。因?yàn)?|T|=38，所以所求最小自然數(shù) k≥ 39. 另一方面，下列 12 個(gè)滿足題中要求的數(shù)對(duì)互不相交：（ 6， 3），（ 12， 4），（ 20， 5），（ 42，7），（ 24， 8），（ 18， 9），（ 40， 10），（ 35， 14），（ 30， 15），（ 48， 16），（ 28， 21），（ 45， 36），對(duì)于 S 中任一 39 元子集 R，它只比 S少 11 個(gè)元素，而這 11 個(gè)元素至多屬于上述 12 個(gè)數(shù)對(duì)中的 11 個(gè)，因此必有 12 對(duì)中的 1 對(duì)屬于 R。令 T=SM。由此可知， S 中滿足 (a+b)|ab 的不同數(shù)對(duì)（ a, b）共有 23對(duì)：當(dāng) a1+b1=3 時(shí)，有（ 6， 3），（ 12，6），（ 18， 9），（ 24， 12），（ 30， 15），（ 36， 18），（ 42， 21），（ 48， 24）；當(dāng) a1+b1=4 時(shí)，有（ 12， 4），（ 24， 8），（ 36， 12），（ 48， 16），當(dāng) a1+b1=5時(shí)，有（ 20， 5） ，（ 40， 10），（ 15，10），（ 30， 20），（ 45， 30）；當(dāng) a1+b1=6 時(shí)，有（ 30， 6）；當(dāng) a1+b1=7 時(shí)，有（ 42， 7），（ 35，14），（ 28， 21）；當(dāng) a1+b1=8 時(shí)，有（ 40， 24）；當(dāng) a1+b1=9 時(shí)，有（ 45， 36）。又由于（ a1+b1, a1） =1, （ a1+b1, b1） =1, 因此 a1+b1|c。 答案： 設(shè)有 a,b∈ S滿足 (a+b)|ab，記 c=(a, b)，于是 a=ca1, b=cb1，其中 a1, b1∈ N+且有（ a1,b1）=1, a1? b1，不妨設(shè) a1b1。 來(lái)源： 08 年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一 題型：解答題，難度：較難 某人寫了 n 封信，同時(shí)寫了 n 個(gè)信封，然后將信任意裝入信封，問(wèn)：每封信都裝錯(cuò)的情況有多少種？ 答案： 本題使用錯(cuò)位排列，因此每封信都裝錯(cuò)的情況有 n! ?????? ?????? n ?。。?！ n 1)1(3121111 ?種。事實(shí)上，若將這兩段數(shù)中的數(shù)順次相加，則其和為 {177， 180， 183， 186，?， 522， 525}。 答案： 將集合 {1， 2，?， 1989}中的數(shù)從小到大順次分成 17 段，每段含 117 個(gè)數(shù)，從第 4 段數(shù)開(kāi)始，將偶數(shù)段的數(shù)從小到大依次放入 A1， A2， ?， A117 中，并將奇數(shù)段的數(shù)從大到小依次放入這 117 個(gè)子集中，易見(jiàn)，所有集合中的 14 個(gè)數(shù)之 和都相等，于是問(wèn)題歸結(jié)為如何將前三段數(shù) {1， 2，?， 351}的每 3 個(gè)一組分別放入每個(gè)集中，且使每組 3 個(gè)數(shù)之和都相等。 任取 x∈ S1，由于 0∈ S2，故 x0=x∈ S3，所以 21 SS ? ，同理 13 SS ? ，故 31 SS ? 。 當(dāng)三個(gè)集合中的元素都為零時(shí)，命題顯然成立。求證： 321 , SSS 中必有兩個(gè)相等。 所以由抽屜原理可知必有 1 個(gè)元素出現(xiàn)在三個(gè)五元子集中，不 妨設(shè) 1 出現(xiàn)在 A1， A2，A3中，則 0， 1 同時(shí)出現(xiàn)在 3 個(gè)子集中，不滿足題意，故五元子集數(shù) ≤8。 來(lái)源： 08 年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一 題型：解答題，難度：較難 集合 S={1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 0}的若干個(gè)五元子集滿足： S 中的任何兩個(gè)元素至多出現(xiàn)在兩個(gè)不同的五元子集中，問(wèn)：至多有多少個(gè)五元子集？ 答案： 假設(shè)有 9 個(gè)五元子集，重復(fù)計(jì)數(shù)共 59=45 個(gè)元素。如（ 3），當(dāng) y≥3時(shí)無(wú)解，故 y=2,2zt+z+t= (2z+1)(2t+1)=105，解得z=3,t=7,從而 C={1， 2， 3， 7}， B={4， 5， 6， 8， 9， 10}。 （ 3） C 由三個(gè)元素 xyz 構(gòu)成，由題設(shè)得 xyz=55xyz. 當(dāng) x=1 時(shí)，解得 y=4,z=10,因此 C={1， 4， 10}， B={2， 3， 5， 6， 7， 8， 9}； 當(dāng) x=2 時(shí)，有 2yz+y+z=53,即 (2y+1)(2z+1)=107 為質(zhì)數(shù)，無(wú)解； 若 x≥3，顯然有 xyz≥345=6055xyz，無(wú)解。故此情況不成立。 答案： 因?yàn)?1+2+…+10=55120=12345 ，所以集合 C 至多有 4 個(gè)元素，下面對(duì) |C|分 4 種情況討論。 由已知若 r∈ S，因?yàn)?0?r ，若 r0，則 r∈ Q+,所以 r∈ S 矛盾。 所以 1+1=2∈ S， 1+2=3∈ S， … ，依次類推， 所以 Sm??1 ，所以 Sm?1 。 來(lái)源： 08 年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一 題型：解答題，難度：較難 S 是 Q 的子集且滿足：若 Qr? ，則 0, ???? rSrSr 恰有一個(gè)成立，并且若SbSa ?? , ，則 SbaSab ??? , ，試確定集合 S。 來(lái)源： 08 年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一 題型：解答題，難度：中檔 集合 A和 B 各含有 12個(gè)元素， BA? 含有 4 個(gè)元素，試求同時(shí)滿足下列條件的集合 C的個(gè)數(shù)： 1） BAC ?? 且 C 中含有 3 個(gè)元素； 2） ??AC? 。所以aaa 11,1 1, ??互不相同，所以 S至少含有 3 個(gè)元 素。如果 ??S ，S 中至少含有多少個(gè)元素？說(shuō)明理由。 來(lái)源： 08 年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一 題型：解答題，難度：較難 已知 S 是由實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，且滿足 1） 2。所以 m≥ 56. 另一方面，若 m=56，則對(duì) A的任意分劃 A1， A2，?， A14，數(shù) 42， 43，?， 56 中必有兩個(gè)數(shù)屬于同一個(gè) A，取此二數(shù)為 a 和 b，則 42≤ ab≤ 56=34 表 1 表 2 ????????????564228145541271354402612453117344301624329151141312321AAAAAA 4228145541271354402612453117344301624329151141312321AAAAAA????? 如表 2，第 i行的數(shù)即為子集 Ai中的元素，這時(shí) |Ai|=4(i=1,2,? ,13)， |A14|=3。 故 f(n)= 16 13 12 1 ??????? ???????? ???????? ? nnn 來(lái)源： 08 年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題一 題型：解答題，難度：較難 設(shè)集合 }21{ ，m，A ?? ，求最小的正整數(shù) m ，使得對(duì) A的任意一個(gè) 14分劃1421 , AAA ? ，一定存在某個(gè)集合 )141( ?? iAi ，在 iA 中有兩個(gè)元素 a 和 b 滿 足bab 34?? 。 綜上所述，假設(shè)不成立。 （ 3）若 r=6，從 m, m+1 中的奇數(shù)開(kāi)始連續(xù) 6個(gè)整數(shù)為一組，最后余下以奇數(shù)開(kāi)頭的至少 5 個(gè)整數(shù)，連同第一個(gè)數(shù)（如果第一個(gè)數(shù)為偶數(shù)）作為一組，共分 k+1組。以奇數(shù)開(kāi)頭的連續(xù) 3 個(gè)正整數(shù)兩兩互質(zhì)，從而必有 1 個(gè)沒(méi)被取出。 用反證法，若不然，對(duì)于給定的 S，因?yàn)?m, m+1 中必有 1 個(gè)奇數(shù)，從這個(gè)奇數(shù)開(kāi)始，連續(xù) 6 個(gè)整數(shù)為一組，設(shè) n=6k+r, 1≤ r≤ 6. （ 1）若 r=1,2,3,則由引