【正文】 A????? 如表 2，第 i行的數(shù)即為子集 Ai中的元素，這時(shí) |Ai|=4(i=1,2,? ,13)， |A14|=3。顯然， 14個子集中每一個都不存在兩個元素滿足題中不等式。所以 m≥ 56. 另一方面，若 m=56，則對 A的任意分劃 A1， A2，?， A14，數(shù) 42， 43，?， 56 中必有兩個數(shù)屬于同一個 A，取此二數(shù)為 a 和 b，則 42≤ ab≤ 56=34 42≤ 34 a. 綜上所述，所求 m 的最小正整數(shù)為 56。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題一 題型：解答題，難度：較難 已知 S 是由實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，且滿足 1） 2。1 S? ）若 Sa ? ，則 Sa ??1 1 。如果 ??S ，S 中至少含有多少個元素？說明理由。 答案： 首先aa ??11（否則 012 ???aa ，但 041 ???? ），由 SaSa ??? 1 1,得Saa?????11111 1，且 aa??11（理由同上）。所以aaa 11,1 1, ??互不相同，所以 S至少含有 3 個元 素。另一方面， }21,1,2{ ??S 滿足條件，故 S 至少含有 3 個元素。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題一 題型：解答題，難度：中檔 集合 A和 B 各含有 12個元素， BA? 含有 4 個元素，試求同時(shí)滿足下列條件的集合 C的個數(shù)： 1） BAC ?? 且 C 中含有 3 個元素； 2） ??AC? 。 答案： 若 1?AC? ，則有 741212 28 ???? C 種；若 2?AC? ，則有 411128212 ????C種；若 3?AC? ，則有 21011312 ???C 種，故滿足條件的 C 共有 1084 個。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題一 題型：解答題，難度：較難 S 是 Q 的子集且滿足：若 Qr? ，則 0, ???? rSrSr 恰有一個成立，并且若SbSa ?? , ，則 SbaSab ??? , ，試確定集合 S。 答案： 若 1∈ S，則 (1)2=1∈ S 與已知矛盾，所以 1? S， 1∈ S。 所以 1+1=2∈ S， 1+2=3∈ S， … ，依次類推， 所以 Sm??1 ，所以 Sm?1 。 所以若 r∈ Q,則設(shè) ,mnr? m,n∈ N+. 因?yàn)?n∈ S， m1 ∈ S，所以 r∈ S，所以 Q+? S。 由已知若 r∈ S，因?yàn)?0?r ，若 r0，則 r∈ Q+,所以 r∈ S 矛盾。 所以 r∈ Q+,所以 S? Q+，所以 S=Q+. 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題一 題型：解答題，難度：較難 求集合 B 和 C，使得 }10,2,1{ ?? ?CB ，并且 C 的元素乘積等于 B 的元素和。 答案： 因?yàn)?1+2+…+10=55120=12345 ，所以集合 C 至多有 4 個元素，下面對 |C|分 4 種情況討論。 （ 1） C由一個元素構(gòu)成，因?yàn)?C 的元素乘積不超過 10， B 的元素和至少為 5510=45。故此情況不成立。 （ 2） C由兩個元素 x,y構(gòu)成，設(shè) xy，則有 xy=55xy,即（ x+1） (y+1)=56，因?yàn)?x+1y+1≤11，解得 x=6,y=1,故 C={6， 7}， B={1， 2， 3， 4， 5， 8， 9， 10}。 （ 3） C 由三個元素 xyz 構(gòu)成，由題設(shè)得 xyz=55xyz. 當(dāng) x=1 時(shí)，解得 y=4,z=10,因此 C={1， 4， 10}， B={2， 3， 5， 6， 7， 8， 9}； 當(dāng) x=2 時(shí)，有 2yz+y+z=53,即 (2y+1)(2z+1)=107 為質(zhì)數(shù)，無解； 若 x≥3，顯然有 xyz≥345=6055xyz，無解。 （ 4） C 由四個元素 xyzt 構(gòu)成，必有 x=1,否則 xyzt≥2345=120yzt=54yzt,2≤yzt。如（ 3），當(dāng) y≥3時(shí)無解，故 y=2,2zt+z+t= (2z+1)(2t+1)=105，解得z=3,t=7,從而 C={1， 2， 3， 7}， B={4， 5， 6， 8， 9， 10}。 綜上可知， B， C 有 3 組解。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題一 題型：解答題，難度：較難 集合 S={1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 0}的若干個五元子集滿足： S 中的任何兩個元素至多出現(xiàn)在兩個不同的五元子集中，問：至多有多少個五元子集？ 答案： 假設(shè)有 9 個五元子集，重復(fù)計(jì)數(shù)共 59=45 個元素。 因?yàn)?45=410+5，由抽屜原理，必有一個元素出現(xiàn)在至少 5 個五元子集中，不妨設(shè) 0出現(xiàn)在五元子集 A1， A2， A3， A4， A5中，這 5 個子集中除 0 外，重復(fù)計(jì)數(shù)還含有共 45=20個元素，因?yàn)?20=29+2。 所以由抽屜原理可知必有 1 個元素出現(xiàn)在三個五元子集中，不 妨設(shè) 1 出現(xiàn)在 A1， A2，A3中，則 0， 1 同時(shí)出現(xiàn)在 3 個子集中，不滿足題意，故五元子集數(shù) ≤8。 如下 8 個五元子集滿足題意： A1 0 2 4 6 8 A2 0 2 5 7 9 A3 0 3 4 7 9 A4 0 3 5 6 8 A5 1 2 4 6 9 A6 1 2 5 7 8 A7 1 3 4 7 8 A8 1 3 5 6 9 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽 專題一 題型：解答題，難度：較難 321 , SSS 是三個非空整數(shù)集，已知對于 1， 2， 3 的任意一個排列 kji , ，如果 iSx? ，jSy? ，則 iSyx ?? 。求證： 321 , SSS 中必有兩個相等。 答案： 證明：由已知，若 x∈ S， y∈ Sj，則 yx∈ Sk, (yx)y=x∈ Si, 所以每個集合 中均有非負(fù)元素。 當(dāng)三個集合中的元素都為零時(shí)，命題顯然成立。 否則，設(shè) S1， S2， S3 中的最小正元素為 a，不妨設(shè) a∈ S1，設(shè) b 為 S2， S3中最小的非負(fù)元素，不妨設(shè) b∈ S2，則 ba∈ S3. 若 b0, 則 0≤bab，與 b 的取法矛盾，所以 b=0。 任取 x∈ S1，由于 0∈ S2，故 x0=x∈ S3，所以 21 SS ? ，同理 13 SS ? ，故 31 SS ? 。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題一 題型：解答題，難度：較難 求證：集合 {1， 2， … ， 1989}可以劃分為 117 個互不相交的子集 )117,2,1( ??iAi ，使得（ 1）每個 iA 恰有 17 個元素；（ 2）每個 iA 中各元素之和相同。 答案： 將集合 {1， 2，?， 1989}中的數(shù)從小到大順次分成 17 段，每段含 117 個數(shù)，從第 4 段數(shù)開始，將偶數(shù)段的數(shù)從小到大依次放入 A1， A2， ?， A117 中，并將奇數(shù)段的數(shù)從大到小依次放入這 117 個子集中，易見，所有集合中的 14 個數(shù)之 和都相等，于是問題歸結(jié)為如何將前三段數(shù) {1， 2，?， 351}的每 3 個一組分別放入每個集中，且使每組 3 個數(shù)之和都相等。 把這些數(shù)中 3的倍數(shù)抽出來從大到小排好： {351， 348， 345，?， 6， 3}，共 117 個數(shù)，依次將入 A1， A2， ?， A117 中，其余的 234 個數(shù)從小到大排列并分成兩段，每段 117個數(shù)，即 {1， 2， 4， 5， 7，?， 173， 175}和 {176， 178， 179，?， 349， 350}，將這兩段數(shù)分別順次放入 A1， A2， ?， A117之中便滿足要求。事實(shí)上，若將這兩段數(shù)中的數(shù)順次相加，則其和為 {177， 180， 183， 186，?， 522， 525}。由此可見，放入每個 Ai的 3 個數(shù)之和都是 528。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題一 題型：解答題，難度：較難 某人寫了 n 封信，同時(shí)寫了 n 個信封，然后將信任意裝入信封，問：每封信都裝錯的情況有多少種？ 答案： 本題使用錯位排列，因此每封信都裝錯的情況有 n! ?????? ?????? n ?。。?！ n 1)1(3121111 ?種。 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題一 題型：解答題，難度：中檔 設(shè)集合 S={1， 2， … ， 50}，求最小自然數(shù) k ，使 S 的任意一個 s 元子集中都存在兩個不同的數(shù) a 和 b，滿足 abba )( ? 。 答案： 設(shè)有 a,b∈ S滿足 (a+b)|ab，記 c=(a, b)，于是 a=ca1, b=cb1，其中 a1, b1∈ N+且有（ a1,b1）=1, a1? b1，不妨設(shè) a1b1。由于 a+b=c(a1+b1), ab=c2a1b1，因此（ a1+b1） |ca1b1。又由于（ a1+b1, a1） =1, （ a1+b1, b1） =1, 因此 a1+b1|c。 而 a+b≤ 99，即 c（ a1+b1）≤ 99，所以 3≤ a1+b1≤ 9。由此可知， S 中滿足 (a+b)|ab 的不同數(shù)對（ a, b）共有 23對：當(dāng) a1+b1=3 時(shí)，有（ 6， 3），（ 12，6），（ 18， 9），（ 24， 12），（ 30， 15），（ 36， 18），（ 42， 21），（ 48， 24）；當(dāng) a1+b1=4 時(shí)，有（ 12， 4），（ 24， 8），（ 36， 12），（ 48， 16），當(dāng) a1+b1=5時(shí)，有（ 20， 5） ，（ 40， 10），（ 15，10），（ 30， 20），（ 45， 30）；當(dāng) a1+b1=6 時(shí)，有（ 30， 6）；當(dāng) a1+b1=7 時(shí)，有（ 42， 7），（ 35，14），（ 28， 21）；當(dāng) a1+b1=8 時(shí)，有（ 40， 24）；當(dāng) a1+b1=9 時(shí)，有（ 45， 36）。 令 M={6， 12， 15， 18， 20， 21， 24， 35， 40， 42， 45， 48}，則上述 23個數(shù)對中的每一個數(shù)都至少包含 M 中的 1個元素。令 T=SM。則 T 中任何兩數(shù)都不能成為滿足要求的數(shù)對（ a,b）。因?yàn)?|T|=38，所以所求最小自然數(shù) k≥ 39. 另一方面，下列 12 個滿足題中要求的數(shù)對互不相交：（ 6， 3），（ 12， 4），（ 20， 5），（ 42，7），（ 24， 8），（ 18， 9），（ 40， 10），（ 35， 14），（ 30， 15），（ 48， 16），（ 28， 21），（ 45， 36），對于 S 中任一 39 元子集 R，它只比 S少 11 個元素，而這 11 個元素至多屬于上述 12 個數(shù)對中的 11 個，因此必有 12 對中的 1 對屬于 R。故所求的最小自然數(shù) k=39. 來源： 08 年數(shù)學(xué)競賽專題一 題型：解答題，難度：較難 設(shè) 2021 , aaa ? 是 20 個兩兩不同的整數(shù)，且整合 }201{ ???? jiaa ji 中有 201 個不同的元素，求集合 }201{ ???? jiaaji中不同元素個數(shù)的最小可能值。 答案： 所給集合的元素個數(shù)的最小值為 100。 首先，令 ai=1011+10i, a10+i=101110i(i=1,2,?， 10)，則 {ai+aj|≤ i≤ j≤ 20}中共有（ 20+19+?+1） 10+1=201 個不同的元素，而 {aiaj||1≤ i≤ j≤ 20}={210i}i=1， 2，?， 10}∪ {|10i? 10j||1≤ ij≤ 10}共有 10+2 210C =100 個不同的元素。 下面用反證法證明：所給集合的不同元素的個數(shù)不小于 100。 若存在一個使所給集合的元素個數(shù)小