【文章內(nèi)容簡介】 于 100 的集合 S={a1, a2,? ,a10}，我們計算 S 的“好子集” {x,y,z,w}的個數(shù)，這里 xy≤ zw， 且 x+w=y+z. 對 S 中滿足 bc 的數(shù)對（ b,c）（共 190 對），考慮它們的差 bc，由于至多有 99 個不同的差（這里用反證法假設），故必須至少 91 個數(shù)對（ b, c），使得存在 b’, c’ ∈ S， 滿足 b’b, c’c, 且 bc=b’c’，對這樣的 91 個數(shù)對（ b, c），它與其相應的 b’, c’ 形成 S 的一個 4 元集 {b, c, b’, c’}，可得到 S的一個“好子集” {x, y, z, w}，且至多兩個數(shù)對（ b, c）形成相同的子集 {x, y ,z, w}（只能是（ b,c） =(w, z)和（ w, y）），故 S 的“好子集”至少有 46 個。 另一方面， S 的“好子集” {x, y, z,w}的個數(shù)等于 ? ? )1(21ii ss，這里的 si為 S中滿足b+c=I, b≤ c 的數(shù)對（ b, c）的個數(shù)，其中 i 為正整數(shù)。 注意到，對于每個 i, S中的每個元素 s 至多出現(xiàn)在上面的一個數(shù)對（ b, c）中（事實上，當 s≤ is 時， s 出現(xiàn)在數(shù)對（ s, is）中，其余情況出現(xiàn)在（ is, s）中），于是 si≤ 0?is時 1 ≤ si≤ 10，故 55)1(21 ???iii sss，由于集合 {ai+aj|1≤ i≤ j≤ 20}中有 201 個不同的元素，故使得 si≥ 1 的正數(shù) i有 201 個。設 T 為這樣的 i組成的集合，易知 s中有 220C 對（ b,c）滿足 bc，有 20 對（ b,c）滿足 b=c,所以 ?? ???Ti i Cs 21020220 ，于是? ?? ? ???Ti Ti iii sss )55()1(21 =5（ 210201）。這與 s 的“好子集”至少有 46 個矛盾，所以，所給集合中至少有 100 個不同的元素。 來源： 08 年數(shù)學競賽專題一 題型：解答題，難度：較難 集合 {1， 2，?， 3n}可以劃分成 n 個互不相交的三元集合 },{ zyx ，其中 zyx 3?? ，求滿足條件的最小正整數(shù) 答案： 設其中第 i 個三元集為 ,2,1},{ nizyx ii ?? 則 1+2+? + ???ni izn 1 ,43 所以 ???? ni iznn142)13(3 。當 n 為偶數(shù)時，有 n38 ，所以 8?n ，當 n 為奇數(shù)時，有138 ?n ，所以 5?n ，當 5?n 時，集合 {1， 11， 4}， {2， 13， 5}， {3， 15， 6}， {9， 12，7}， {10， 14， 8}滿足條件，所以 n 的最小值為 5。 來源： 08 年數(shù)學競賽專題一 題型：解答題，難度：較難 設 S 是由 n2 個人組成的集合。求證：其中必定有兩個人，他們的公共朋友的個數(shù)為偶數(shù)。 答案： 證明：用反證法：設 S 為一個由 2n 個人組成的集合， S 中每兩個人的公共朋友數(shù)為奇數(shù)， S 中的任意一個人 A，記 M={F1，?， Fn}為 A的朋友集?？梢宰C明：每個 A， k 都為偶數(shù)。 事實上，對每個 Fi∈ M，考慮它在 M 中的朋友數(shù)，所有這 k 個 Fi的這些朋友數(shù)之和為偶數(shù)（因為朋友是相互的），而對 A， Fi而言，其公共朋友數(shù)為奇數(shù)，故每個 Fi的這樣的朋友數(shù)為奇數(shù)，故 k 為偶數(shù)。 設 k=2m，現(xiàn)在考慮每個 Fi∈ M，他的所有朋友集不包括 A，但不局限于 M 中他的這樣的朋友數(shù)為奇數(shù)（因為 Fi的朋友數(shù)為偶數(shù)，而 A不算在內(nèi)）。因此，所有 2m個這 樣的朋友集的元素個數(shù)之和為偶數(shù)。從而在 2n1 個人（ A除外）中，必有一個人在偶數(shù)個這樣的朋友集中出現(xiàn)，但與 A的公共朋友數(shù)為偶數(shù)。 這個矛盾表明有兩個 S 中的人，他們的公共朋友數(shù)為偶數(shù)。 來源： 08 年數(shù)學競賽專題一 題型：解答題，難度：較難 集合 ??? NkkX },6,2,1{ ? ，試作出 X 的三元子集族 amp。，滿足： （ 1） X 的任意一個二元子集至少被族 amp。中的一個三元子集包含； （ 2） ）k 的元素個數(shù)表示 amp。amp。(6amp。 2? 。 答案： 先證明下面的引理。 引理：對于 n∈ N+，集合 X1={1， 2，?， 2n}的全部二元子集可分成 2n1組，且每組是X1的一個分劃。 引理的證明：如圖所示，將 1， 2，?， 2n1個數(shù)按順時針方向放到一個正 2n1 邊形的頂點上，數(shù) 2n 放在外接圓圓心上。 連接 2n 與 1，作 n1 條以 2n1 邊形頂點為端點且垂直于 1 與2n 連線的線段，便得到 X1 的 n 個二元子集構成 X1的 n 個二元子集。這樣， X1 的全部 )12(22 ?? nnC n 個二元子集被分成 2n1 組，且每組 n 個集合構成 X1的一個分劃。 下面來做滿足題設的子集族。 令 A={1， 2，?， 2k}， B={2k+1,2k+2,? ,4k}， C={4k+1,4k+2,? ,6k}。由引理可知， A的全部二元子集可分為 2k1組，每組是 A的一個分劃。將其中一組重復一次，得到 A的 2k個分劃，讓其中每個分劃與 B 的一個元素搭配作出 k 個 X 的三元子集。 類似地，作出 B 的 2k 個二元子集構成的分劃，包含 B的全部二元子集，讓其中每個分劃與 C 的一個元素搭配作出 k 個 X 的三元子集；作出 C 的 2k 個二元子集構成的分劃，包含 C 的全部二元子集，讓其中每個分劃與 A的一個元素搭配作出 k 個 X 的三元子集。 上面得到的 k2k3=6k2個 X 的三元子集組成的族 amp。滿足題設要求。 來源： 08 年數(shù)學競賽專題一 題型：解答題，難度：較難 設 A， B是兩個集合，又設集合 M滿足 BAMBMA ??? ?? ， BAMBA ??? ?求集合 M（用 A， B 表示）。 答案： 先證 MBA ?)( ? ，若 )( BAx ?? ，因為 BAMA ?? ? ，所以 MxMAx ?? ,? ，所以 MBA ?)( ? ； 再證 )( BAM ?? ，若 Mx? ，則 .BAMBAx ??? ?? 1）若 Ax? ，則BAMAx ?? ?? ； 2）若 Bx? ，則 BAMBx ?? ?? 。所以 ).( BAM ?? 綜上， 來源： 08 年數(shù)學競賽專題一 題型：解答題，難度：較難 設集合 A= },01),{( 2 ??? xyyx B={ 05224),( 2 ???? yxxyx }C= }),{( bkxyyx ?? ， 問：是否存在 Nbk ?, ，使得 ??CBA ?? )( ，并證明你的結論。 答案： 假設存在這樣的 Nbk ?, ，則 ??CBA ?? )( ，所以 ???? ??? ?? 012 xybkxy ①與???? ?? ???? bkxy yxx 05224 2 ②均無解，由①得 ?01)12( 222 ????? bxkbxk ③。 ⅰ）若 0?k ，則③有實根，所以 0?k 。ⅱ）若 0?k ，則③無解，所以?0441 2 ????? kb ④。由②得 05)(224 2 ????? bkxxx ，即025)1(24 2 ????? bxkx 無解，所以 0)25(16)1(439。 2 ?????? bk ?；喌?208)1( 2 ??? bk ⑤，所以 2?b 。（ 1）若 0?b ，則④不成立；（ 2）若 1?b ，則④仍不成立；（ 3）若 2?b ，由⑤式得 4)1( 2 ??k ，所以 1?k 或 2，又當 2?k 時④式不成立。所以 1?k ，反之 2,1 ?? bk 時，④，⑤均成立，從而①，②無解，所以存在 2,1 ?? bk 滿足條件。 來源： 08 年數(shù)學競賽專題一 題型：解答題，難度：較難 集合 A， B， C 是 I={1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 0}的子集，（ 1）若 IBA ?? ，求有序集合對（ A， B）的個數(shù)；（ 2）求 I 的非空真子集的個數(shù)。 答案： （ 1）集合 I可劃分為三個不相交的子集； A\B， B\A， IBA ,? 中的每個元素恰屬于其中一個子集， 10 個元素 共有 310 種可能，每一種可能確定一個滿足條件的集合對，所以集合對有 310個。 （ 2） I 的子集分三類：空集，非空真子集，集合 I 本身，確定一個子集分十步，第一步，1 或者屬于該子集或者不屬于，有兩種；第二步， 2 也有兩種，?，第 10步， 0也有兩種，由乘法原理，子集共有 1024210 ? 個，非空真子集有 1022 個。 來源： 08 年數(shù)學競賽專題一 題型：解答題，難度：較難 設 A={1， 2， 3， 4， 5， 6}， B={7， 8， 9，??， n}，在 A中取三個數(shù)， B 中取兩個數(shù)組成五個元素的集合 iA ， .201,2,20,2,1 ????? jiAAi ji ?? 求 n 的最小值。 答案： .16min ?n 設 B 中每個數(shù)在所有 iA 中最多重復出現(xiàn) k 次，則必有 4?k 。若不然，數(shù) m 出現(xiàn) k 次（ 4?k ），則 .123 ?k 在 m 出現(xiàn)的所有 iA 中，至少有一個 A中的數(shù)出現(xiàn) 3 次，不妨設它是 1，就有集合 {1， 121 , bmaa } },1{},,1{ 365243 bmaabmaa ，其中 61, ??? iAai ，為滿足題意的集合。 ia 必各不相同，但只能是 2， 3， 4， 5， 6 這 5 個數(shù)，這不可能，所以 .4?k 20 個 iA 中， B 中的數(shù)有 40 個，因此至少是 10 個不同的，所以 16?n 。當 16?n 時，如下 20 個集合滿足要求： {1， 2， 3， 7， 8}， {1， 2， 4， 12， 14}， {1， 2， 5， 15， 16}， {1， 2， 6， 9，10}， {1， 3， 4， 10， 11}， {1， 3， 5， 13， 14}， {1， 3， 6， 12， 15}， {1， 4， 5， 7，9}， {1， 4， 6， 13， 16}， {1， 5， 6， 8， 11}， {2， 3， 4， 13， 15}， {2， 3， 5， 9，11}， {2， 3， 6， 14， 16}， {2， 4， 5， 8， 10}， {2， 4， 6， 7， 11}， {2， 5， 6， 12，13}， {3， 4， 5， 12， 16}， {3， 4， 6， 8， 9}， {3， 5， 6， 7， 10}， {4， 5， 6， 14，15}。 來源： 08 年數(shù)學競賽專題一 題型：解答題，難度：較難 給定集合 },3,2,1{ nI ?? 的 k 個子集： kAAA , 21 ? ，滿足任何兩個子集的交集非空，并且再添加 I 的任何一個其他子集后將不再具有該性質，求 k 的值。 答案： 將 I 的子集作如下配對：每個子集和它的補集為一對，共得 12?n 對，每一對不能同在這k 個子集中，因此， 12?? nk ；其次，每一對中必有一個在這 k 個子集中出現(xiàn)，否則，若有一對子集未出現(xiàn)，設為 C1A與 A，并設 ??1AA? ，則 ACA 11 ? ，從而可以在 k 個子集中再添加 AC1 ，與已知矛盾，所以 12?? nk 。綜上， 12?? nk 。 來源： 08 年數(shù)學競賽專題一 題型：解答題，難度：較難 求所有自然數(shù) )2( ?nn ，使得存在實數(shù) naaa , 21 ? 滿足： }.2 )1(,2,1{}1}{ ?????? nnnjiaa ji ? 答案：