【正文】 試題的重點(diǎn)，究其原因，應(yīng)該有三條：這里是知識(shí)的交匯處，這里是導(dǎo)數(shù)的主陣地，這里是思維的制高點(diǎn) .此類問題的一般步驟都能掌握，但重要的是求導(dǎo)后的細(xì)節(jié)問題 參數(shù)的取值范圍是否影響了函數(shù)的單調(diào)性？因而需要進(jìn)行分類討論判斷：當(dāng)參數(shù)給出了明確的取值范圍后，應(yīng)根據(jù) ()fx導(dǎo)函數(shù)的特點(diǎn)迅速判斷 39。 (I)通過判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來確定函數(shù)的單調(diào)性是 39。 （ III） 當(dāng) 1b?? 時(shí)， 2( ) ln ( 1).f x x x? ? ? 令 3 3 2( ) ( ) l n ( 1 ) ,h x x f x x x x? ? ? ? ? ?則 3239。()fx在 ? ? ? ?121, , ,xx? ??都大于 0 ， 39。 （ 3）當(dāng) 12b? 時(shí)，解 39。 ( ) 0,fx? 1 ,2x ??? ? ??????時(shí)， 39。 （ II）分以下幾種情形討論：（ 1）由（ I）知當(dāng) 12b? 時(shí)函數(shù) ()fx無極值點(diǎn) . （ 2）當(dāng) 12b? 時(shí)， 212( )239。( ) 2 11b x x bf x x xx ??? ? ???， 令 2( ) 2 2g x x x b? ? ?，則 ()gx在 1,2??? ??????上遞增，在 11,2????????上遞減， m in 11( ) ( )22g x g b? ? ? ? ?.當(dāng) 12b? 時(shí)，m in 1( ) 02g x b? ? ? ?， 2( ) 2 2 0g x x x b? ? ? ?在 ? ?1,? ?? 上恒成立 . 39。 3 設(shè)函數(shù) f(x)= ,22 aaxx c ?? 其中 a 為實(shí)數(shù) . (Ⅰ )若 f(x)的定義域?yàn)?R,求 a 的取值范圍 。2 2 2f x f f x??，原不等式成立。 0gx? ， ??gx單調(diào)遞增， 所以在 1x? 處 ??gx有極小值 1，故當(dāng) 1x? 時(shí)， ? ? ? ?11g x g??， 12 從而有 ln 1xx??，亦即 ln 1 lnx x x? ? ? ，故有 111 ln 1nn? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?恒成立。 111 xgx xx?? ? ?，由 1 0xx? ? ，得 1x? 因?yàn)楫?dāng) 01x??時(shí)， ? ?39。 112 2 1 ln 1nfxnn? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?，故只需對(duì) 11n???????和 1ln 1n???????進(jìn)行比較。若不存在 ,請(qǐng)說明理由 . （Ⅰ）解：展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第 4項(xiàng)，這項(xiàng)是 3356 31 201C nn??????? （Ⅱ）證法一： 因 ? ? ? ? 22112 2 1 1nf x fnn? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?2 1 1n? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?112 1 1nnn? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?121nn???????? 112 1 ln 1 2nn? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?39。 (Ⅱ )對(duì)任意的實(shí)數(shù) x,證明 2 )2()2( fxf ? ＞ )。 9 （天津理） 設(shè) 3()3xfx? ，對(duì)任意實(shí)數(shù) t ，記 23 2() 3tg x t x t??． （ I）求函數(shù) ( ) ( )ty f x g x??的單調(diào)區(qū)間； （ II）求證：（ ⅰ ）當(dāng) 0x? 時(shí)， ()f xg ( ) ( )tf x g x≥ 對(duì)任意正實(shí)數(shù) t 成立； （ ⅱ ）有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù) 0x ，使得 00( ) ( )xtg x g x≥ 對(duì)任意正實(shí)數(shù) t 成立． （ I）解： 3 16433xyx? ? ? ．由 2 40yx?? ? ? ，得 2x?? ． 因?yàn)楫?dāng) ( 2)x? ?? ?， 時(shí)， y??0 ，當(dāng) ( 22)x??， 時(shí)， 0y?? ，當(dāng) (2 )x? ??， 時(shí)， 0y?? ， 故所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 ( 2)???， ， (2 )??， ；單調(diào)遞減區(qū)間是 ( 22)?， ． （ II）證明：（ i）方法一：令 23 3 2( ) ( ) ( ) ( 0 )33t xh x f x g x t x t x? ? ? ? ? ?， 則 22 3()h x x t? ??，當(dāng) 0t? 時(shí)，由 ( ) 0hx? ? ，得 13xt? ，當(dāng) 13()xx? ??， 時(shí)， ( ) 0hx? ? ， 所以 ()hx 在 (0 )??， 內(nèi)的最小值是 13( ) 0ht? ．故當(dāng) 0x? 時(shí)， ( ) ( )tf x g x≥ 對(duì)任意正實(shí)數(shù) t 成立． 方法二：對(duì)任意固定的 0x? ，令 23 2( ) ( ) ( 0 )3th t g x t x t t? ? ? ?，則 11332( ) ( )3h t t x t?? ??， 由 () 0ht? ? ，得 3tx? ．當(dāng) 30 tx?? 時(shí) ， () 0ht? ? ．當(dāng) 3tx? 時(shí)， () 0ht? ? ， 所以當(dāng) 3tx? 時(shí)， ()ht 取得最大值 331()3h x x? ．因此當(dāng) 0x? 時(shí)， ( ) ( )f x g x≥ 對(duì)任意正實(shí)數(shù) t 成立． （ ii）方法一： 8(2) (2)3tfg??．由（ i）得， (2) (2)ttgg≥ 對(duì)任意正實(shí)數(shù) t 成立． 即存在正實(shí)數(shù) 0 2x? ，使得 (2) (2)xtgg≥ 對(duì)任意正實(shí)數(shù) t 成立． 下面證明 0x 的唯一性：當(dāng) 0 2x? ， 0 0x? ， 8t? 時(shí)， 300()3xfx?，0016( ) 4 3xg x x??， 由（ i）得， 300 16433x x??， 再取 30tx? ，得30300() 3x xgx?，所以30300 0 016( ) 4 ( )33x xxg x x g x? ? ? ?， 即 0 2x? 時(shí)，不滿足 00( ) ( )xtg x g x≥ 對(duì)任意 0t? 都成立． 故有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù) 0 2x? ，使得 00( )0 ( )xtg x g x≥ 對(duì)任意正實(shí)數(shù) t 成立． 方法二：對(duì)任意 0 0x? ，0016( ) 4 3xg x x??，因?yàn)?0()tgx 關(guān)于 t 的最大值是 3013x，所以要使 00( ) ( )xtg x g x≥ 10 對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立的充分必要條件是： 30016 14 33xx? ≥， 即 200( 2) ( 4) 0xx??≤， ①又因?yàn)?0 0x? ，不 等式①成立的充分必要條件是 0 2x? ， 所以有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù) 0 2x? ，使得 00( ) ( )xtg x g x≥ 對(duì)任意正實(shí)數(shù) t 成立． 3 已知函數(shù) 2221( ) ( )1a x af x xx????? R，其中 a?R ． （ Ⅰ ）當(dāng) 1a? 時(shí)，求曲線 ()y f x? 在點(diǎn) (2 (2))f， 處的切線方程； （ Ⅱ ）當(dāng) 0a? 時(shí)，求函數(shù) ()fx的單調(diào)區(qū)間與極值． （ Ⅰ ）解：當(dāng) 1a? 時(shí)，22() 1xfx x? ?， 4(2) 5f ? ，又 222 2 2 22 ( 1 ) 2 2 2 2() ( 1 ) ( 1 )x x x xfx xx? ? ?? ???? xaxxf ??，要使 ??xf 在區(qū)間 ? ???,2 是增函數(shù)，只需當(dāng) 2?x 時(shí)， ? ? 039。 解：（ 1）當(dāng) 0?a 時(shí)， ? ? 2xxf ? 為偶函數(shù)；當(dāng) 0?a 時(shí)， ??xf 既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) . （ 2）設(shè) 212 ??xx ， ? ? ? ?22212121 xaxxaxxfxf ????? ? ?? ?axxxxxx xx ???? 21212121 ， 由 212 ??xx 得 ? ? 162121 ?? xxxx ， 0,0 2121 ??? xxxx 要使 ??xf 在區(qū)間 ? ???,2 是增函數(shù)只需 ? ? ? ? 021 ?? xfxf ， 即 ? ? 02121 ??? axxxx 恒成立，則 16?a 。 )(3 Rxx ? 7 2 已知函數(shù) ? ? ? ?xgxf , 分別由下表給出： 則 ??? ?1gf 的值 ；滿足 ? ?? ? ? ?? ?xfgxgf ? 的 x 的值 . 1， 2 2 （ 07北京） 已知 a是實(shí)數(shù)，函數(shù) ? ? axaxxf ???? 322 2 ，如果函數(shù) ? ?xfy? 在區(qū)間 ? ?1,1? 上有零點(diǎn)， 求 a的取值范圍 . 解：若 0a? , ( ) 2 3f x x?? ,顯然在 ? ?1,1? 上沒有零點(diǎn) , 所以 0a? . 令 ? ? 24 8 3 8 2 4 4 0a a a a? ? ? ? ? ? ? ?, 解得 372a ??? ①當(dāng) 372a ??? 時(shí) , ? ?y f x? 恰有一個(gè)零點(diǎn)在 ? ?1,1? 上 。 ? ?0,1? 2 （ 07全國 ）設(shè)函數(shù) ? ? ? ?? ?x axxxf ??? 1 為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù) ?a 。因?yàn)?2 1 0x?? ,所以定義域?yàn)?1( , )2? ?? , 由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知 :函數(shù) )12(log)( 5 ?? xxf 的單調(diào)增區(qū)間是 1( , )2? ?? . 12． (11 安徽 、 江蘇 11)已知實(shí)數(shù) 0?a ，函數(shù)??? ??? ??? 1,2 1,2)( xax xaxxf， 若 )1()1( afaf ??? ，則 a 的值為 _______ 答案 ： 12? 解 ： 因?yàn)?)1()1( afaf ??? ,所以 1x? 是函數(shù) ()fx的對(duì)稱軸 ,所以 31( ) ( )22ff? , 所以 a 的值為 12? . 13． (2020 年北京 13)已知函數(shù)32 ,2()( 1) , 2xfx xxx? ??? ?????若關(guān)于 x 的方程 f(x)=k 有兩個(gè)不同的實(shí)根， 則數(shù) k 的取值范圍是 _______ 答案 ： （ 0， 1） 解 ： 畫出函數(shù)圖象與直線 y=k,觀察 ,可得結(jié)果 ,考查了函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想 . 1． (11江西 9)若曲線 1C ： 2220x y x? ? ? 與曲線 2C ： ( ) 0y y mx m? ? ?有四個(gè)不同的交點(diǎn)， 則實(shí)數(shù) m的取值范圍是 ( 33? ， 0)∪(0， 33 ) 3 解：曲線0222 ??? xyx表示以? ?0,1為圓心，以 1 為半徑的圓，曲線? ? 0??? mmxy表示 0,0 ???? mmxyy 或過定點(diǎn)?0,?，?y與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，故0?? mmxy也應(yīng)該與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖可以知道，臨界情況即是與圓相切的時(shí)候，經(jīng)計(jì)算可得，兩種相切分別對(duì)應(yīng)3333 ??? mm 和，由圖可知， m 的取值范圍應(yīng)是?????????????????? 33,00,33 2.(11重慶 8)（ 8）在圓 22 2 6 0x y x y? ? ? ?內(nèi)，過點(diǎn) ? ?0,1E 的最長弦和最短弦分別為 AC 和 BD， 則四邊形 ABCD 的面積為 102 3. (11廣東 19)設(shè)圓 C 與兩圓 2 2 2 25 4 , 5 4x y x y? ? ? ? ?（ + ） （ ）中的一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切 . （ 1）求 C 的圓心軌跡 L 的方程 . （ 2）已知點(diǎn) 3 5 4 5( ) 555MF， ， （ ， 0 ） ，且 P 為 L 上動(dòng)點(diǎn)，求 MP FP? 的最大值及此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo) . 解： （ 1）設(shè) C 的圓心的坐標(biāo)為 (, )xy ，由題設(shè)條件知 2 2 2 2| ( 5 ) ( 5 ) | 4 ,x y x y? ? ? ? ? ? 4 化簡得 L 的方程為 2 2 1.4x y?? （ 2）過 M， F 的直線 l 方程 為 2( 5)yx? ? ? ，將其代入 L 的方程得 21 5 3 2 5 8 4 0 .xx? ? ? 解得1 2 1 26 5 14 5 6 5 2 5 14 5 2 5, , ( , ) , ( , ) .5 15 5 5 15 15x x l L T T? ? ?故 與 交 點(diǎn) 為 因 T1 在線段 MF 外， T2在線段 MF 內(nèi)，故 11| | | | | | 2 ,M T F T M F? ? ? 22| | | | | | 2 .M T F T M F? ? ?，若 P 不在直線 MF 上，在 MFP? 中有 | | | | | | 2 .M P F P M F? ? ? 故 | | | |MP FP? 只在 T1點(diǎn)取得最大值 2。由圖像，選項(xiàng)中 ()fx是增函數(shù)的顯然只有 ④ 8． (11 全國 9)設(shè) ()fx是周期為 2 的奇函數(shù)，當(dāng) 0≤x≤1 時(shí)