【正文】 12．2516 歷屆高考中的“雙曲線”試題精選（自我測(cè)試） 參 考 答 案 一、選擇題： 1 2 3 4 5 6 7 8C A C A D C B D題 號(hào)答 案 二、填空題： 9. 4 ； 10． 2219 16xy?? 11． 516 ； 12． __ 2___． 歷屆高考中的“拋物線”試題精選 （自我測(cè)試 ）。則 n ＝ 10． （ 2020上海文） 已知 雙曲線 中心在原點(diǎn)，一個(gè) 頂點(diǎn)的坐標(biāo) 為 (3,0) ,且 焦距與虛 軸長 之比為 5:4 ，則 雙曲線 的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ____________________. 11． （ 2020廣東、 全國文、理 ） 雙曲線 1169 22 ?? yx 的兩個(gè)焦點(diǎn)為 Ｆ １ 、 Ｆ ２ ，點(diǎn) P在雙曲線上，若 ＰＦ １ ⊥ ＰＦ ２ ，則點(diǎn) P到 ｘ 軸的距離為 ___________ 奎屯王新敞 新疆 12． （ 2020 浙江文、理） 過雙曲線 ? ?22 1 0 , 0xy abab? ? ? ?的左焦點(diǎn)且垂直于 x軸的直線 34 / 41 與雙曲線相交于 M、 N兩點(diǎn)，以 MN為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點(diǎn)，則雙曲線的離心率等于 _____ ___． 歷屆高考中的“拋物線”試題精選（自我測(cè)試 ） 一、選擇題： 1 2 3 4 5 6 7 8題 號(hào)答 案 1． （ 2020 浙江文） 拋物線 2 8yx? 的準(zhǔn)線方程是（ ） (A) 2x?? (B) 4x?? (C) 2y?? (D) 4y?? 2.（ 2020江蘇） 拋物線 24xy? 上的一點(diǎn) M 到焦點(diǎn)的距離為 1，則點(diǎn) M 的縱坐標(biāo)是（ ） A．1617 B．1615 C．87 D． 0 3.(2020 春招北京文 )在拋物線 y px2 2? 上橫坐標(biāo)為 4 的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為 5，則 p 的值為（ ） A. 12 B. 1 C. 2 D. 4 4． （ 2020 湖北理） 與直線 2xy+4=0 平行的拋物線 y=x2的切線方程是（ ） (A) 2xy+3=0 (B) 2xy3=0 (C) 2xy+1=0 (D) 2xy1=0 5． （ 2020 江西、山西、天津文、理） 設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為 O，拋物線 xy 22 ? 與過焦點(diǎn)的直線交于 A、 B 兩點(diǎn)，則 ??OBOA （ ） （ A） 43 （ B） － 43 （ C） 3 （ D）－ 3 6． (2020海南、寧夏理 )已知點(diǎn) P 在拋物線 y2 = 4x上，那么點(diǎn) P 到點(diǎn) Q（ 2，－ 1）的距離與點(diǎn) P 到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ ） A. （ 41 ，－ 1） B. （ 41 ， 1） C. （ 1， 2） D. （ 1，－ 2） 7．（ 2020 全國Ⅰ文、理） 拋物線 y2=4x的焦點(diǎn)為 F，準(zhǔn)線為 l,經(jīng)過 F 且斜率為 3 的直線與拋物線在 x軸上方的部分相交于點(diǎn) A， AK⊥ l,垂足為 K，則△ AKF 的面積是 （ ） （ A） 4 （ B） 3 3 (C) 4 3 (D)8 8． （ 2020 江蘇） 已知兩點(diǎn) M（－ 2， 0）、 N（ 2， 0），點(diǎn) P為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足| | | |M N M P M N NP? ? ? ＝ 0，則動(dòng)點(diǎn) P（ x， y）的軌跡方程為（ ） （ A） xy 82? （ B） xy 82 ?? （ C） xy 42? （ D） xy 42 ?? 二 .填空題 : 9． ( 2020廣東文 )在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知拋物線關(guān)于 x軸對(duì)稱，頂點(diǎn)在原點(diǎn) O，且過點(diǎn)P(2,4)，則該拋 物線的方程是 ． 10． (2020 上海文 )若直線 10ax y? ? ? 經(jīng)過拋物線 2 4yx? 的焦點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a? ． 11．（ 2020春招上海） 過拋物線 xy 42? 的焦點(diǎn) F 作垂直于 x 軸的直線，交拋物線于 A 、 B 兩點(diǎn)，則以 F 為圓心、 AB 為直徑的圓方程是 ________________. 12． （ 2020 山東文、理） 已知拋物線 xy 42 ? ，過點(diǎn) P(4,0)的直線與拋物線相交于A( ),(), 2211 yxByx 、 兩點(diǎn)，則 y 2221 y? 的最小值是 歷屆高考中的“橢圓”試題精選（自我測(cè)試） 35 / 41 參 考 答 案 一、選擇題： 1 2 3 4 5 6 7 8A D B C D A B C題 號(hào)答 案 二、填空題： 9． 12 ． 10． 1416 22 ?? yx 。由①，②得 M 點(diǎn)的 坐標(biāo)為 )3,( mm ?? ．以下同解法 2. 說明： 涉及橢圓上兩點(diǎn) A ， B 關(guān)于直線 l 恒對(duì)稱，求有關(guān)參數(shù)的取值范圍問題，可以采用列參數(shù)滿足的不等式： (1)利用直線 AB 與橢圓恒有 兩個(gè)交點(diǎn)，通過直線方程與橢圓方程組成的方程組，消元后得到的一元二次方程的判別式 0?? ，建立參數(shù)方程． (2)利用弦 AB 的中點(diǎn) ),( 00 yxM 在橢圓內(nèi)部，滿足 12020 ?? byax ，將 0x ， 0y 利用參數(shù)表示，建立參數(shù)不等式． 例 17 在面積為 1的 PMN? 中， 21tan ?M ， 2tan ??N ，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出以 M 、N 為焦點(diǎn)且過 P 點(diǎn)的橢圓方程． 11 / 41 解： 以 MN 的中點(diǎn)為原點(diǎn)， MN 所在直線為 x 軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè) ),( yxP ． 則???????????????.1,21,2cycxycxy∴??????????233435ccycx且即 )32,325(P∴???????????,43,13412252222baba 得???????.3,41522ba ∴所求橢圓方程為 13154 22 ?? yx 例 18 已知 )2,4(P 是直線 l 被橢圓 1936 22 ??yx 所截得的線段的中點(diǎn)，求直線 l 的方程． 分析： 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系問題．通常將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去 y (或 x )，得到關(guān) 于 x (或 y )的一元二次方程，再由根與系數(shù)的關(guān)系，直接求出 21 xx? ， 21xx (或21 yy? ， 21yy )的值代 入計(jì)算即得． 并不需要求出直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，這種“設(shè)而不求”的方法，在解析幾何中是經(jīng)常采用的． 解： 方法一： 設(shè)所求直線方程為 )4(2 ??? xky ．代入橢圓方程，整理得 036)24(4)24(8)14( 222 ??????? kxkkxk ① 設(shè)直線與橢圓 的交點(diǎn)為 ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB ，則 1x 、 2x 是 ①的兩根， ∴14 )24(8 221 ???? k kkxx ∵ )2,4(P 為 AB 中點(diǎn)，∴ 14 )24(424221 ????? k kkxx， 21??k ．∴所求直線方程為082 ??? yx ． 方法二： 設(shè)直線與橢圓交點(diǎn) ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB ．∵ )2,4(P 為 AB 中點(diǎn)，∴ 821 ??xx ，421 ??yy ． 又∵ A ， B 在 橢 圓 上 ， ∴ 364 2121 ?? yx ， 364 2222 ?? yx 兩 式 相 減 得0)(4)( 22212221 ???? yyxx ， 12 / 41 即 0))((4))(( 21212121 ?????? yyyyxxxx ．∴21)(4 )( 21 2121 21 ???????? yy xxxx yy．∴直線方程為 082 ??? yx ． 方法三： 設(shè)所求直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為 ),( yxA ，另一個(gè)交點(diǎn) )4,8( yxB ?? ． ∵ A 、 B 在橢圓上，∴ 364 22 ?? yx ①?！?13821 nxx ?? ．于是 1342 210 nxxx ??? ，131241 00 nnxy ???? ， 即點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 )1312,134( nn ．∵點(diǎn) M 在直線 mxy ??4 上，∴ mnn ??? 1344 ．解得mn 413?? ． ② 將式②代入式①得 0481692613 22 ???? mmxx ③ ∵ A ， B 是 橢 圓 上 的 兩 點(diǎn) ， ∴ 0)481 6 9(134)26( 22 ?????? mm ．解得1313213132 ??? m ． 10 / 41 (法 2)同解法 1 得出 mn413??，∴ mmx ???? )413(1340， mmmmxy 3413)(4141341 00 ?????????? ，即 M 點(diǎn)坐標(biāo)為 )3,( mm ?? ． ∵ A ， B 為橢圓上的兩點(diǎn)，∴ M 點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，∴ 13 )3(4 )( 22 ???? mm ．解得1313213132 ??? m ． (法 3)設(shè) ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB 是橢圓上關(guān)于 l 對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線 AB 與 l 的交點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 ),( 00 yx ． ∵ A ， B 在 橢 圓 上 ， ∴ 134 2121 ?? yx ， 134 2222 ?? yx ． 兩 式 相 減 得0))((4))((3 21212121 ?????? yyyyxxxx ， 即 0)(24)(23 210210 ?????? yyyxxx ．∴ )(43 210021 21 xxyxxxy ?????． 又∵直線 lAB? ，∴ 1??? lAB kk ，∴ 1443 00 ???? yx，即 00 3xy ? ①。 1 / 41 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程典型例題 例 1 已知橢圓 063 22 ??? mymx 的一個(gè)焦點(diǎn)為（ 0， 2）求 m 的值 ． 分析： 把橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由 2?c ，根據(jù)關(guān)系 222 cba ?? 可求出 m 的值． 解： 方程變形為 126 22 ?? myx ．因?yàn)榻裹c(diǎn)在 y 軸上，所以 62 ?m ，解得 3?m ． 又 2?c ，所以 2262 ??m ， 5?m 適合．故 5?m ． 例 2 已知橢圓的中心在原點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn) ? ?03，P ， ba 3? ，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 分析： 因橢圓的中心在原點(diǎn)，故其標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種情況．根據(jù)題設(shè)條件，運(yùn)用待定系數(shù)法， 求出參數(shù) a 和 b （或 2a 和 2b ）的值，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 解： 當(dāng)焦點(diǎn)在 x 軸上時(shí)，設(shè)其方程為 ? ?012222 ???? babyax ． 由橢圓過點(diǎn) ? ?03，P ，知 10922 ??ba．又 ba 3? ，代入得 12?b ， 92?a ，故橢圓的方程為 19 22 ??yx ． 當(dāng)焦點(diǎn)在 y 軸上時(shí)，設(shè) 其方程為 ? ?012222 ???? babxay ． 由橢圓過點(diǎn) ? ?03，P ，知 10922 ??ba．又 ba 3? ，聯(lián)立解得 812?a ， 92?b ，故橢圓的方程為 1981 22 ??xy ． 例 3 ABC? 的底邊 16?BC ， AC 和 AB 兩邊上中線長之和為 30，求此三角形重心 G 的軌跡和頂點(diǎn) A 的軌跡． 分析： （ 1）由已知可得 20?? GBGC ，再利用橢圓定義求解． （ 2）由 G 的軌跡方程 G 、 A 坐標(biāo)的關(guān)系，利用代入法求 A 的軌跡方程． 解： （ 1）以 BC 所在的直線為 x 軸， BC 中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系．設(shè) G 點(diǎn)坐標(biāo)為 ? ?yx， ，由 20?? GBGC ，知 G 點(diǎn)的軌跡是以 B 、 C 為焦點(diǎn)的橢圓，且除去軸上兩點(diǎn)．因 10?a ， 2 / 41 8?c ，有 6?b ， 故其方程為 ? ?0136100 22 ??? yyx． （ 2）設(shè) ? ?yxA ， ， ? ?yxG ??， ，則 ? ?0136100 22 ?????? yyx ． ① 由題意有???????????33yyxx ，代入①，得 A 的軌跡方程為 ? ?01324900 22 ??? yyx ，其軌跡是橢圓（除去 x 軸上兩點(diǎn)）． 例 4 已知 P 點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上，點(diǎn) P 到兩焦點(diǎn)的距離分別為 354 和 352 ，過 P 點(diǎn)作焦點(diǎn)所在軸的垂線，它恰好過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓方程． 解： 設(shè) 兩 焦 點(diǎn) 為 1F 、 2F ，且 3541?PF， 3522 ?PF． 從 橢 圓 定 義 知5