高中數(shù)學(xué)橢圓題型歸納(參考版)
2025-04-07 05:13本頁面
【正文】 時，Sの最大值為．（9分）（3）假設(shè)存在一點P，使?=0，∵≠，≠，∴⊥，（10分）∴△PF1F2為直角三角形，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4 ①（11分）又∵|PF1|+|PF2|=2a=2②（12分）∴②2﹣①，得2|PF1|?|PF2|=20，∴|PF1|?|PF2|=5，（13分）即S=5，由（1）得S最大值為，故矛盾，∴不存在一點P，使?=0．（14分）【點評】本題考查了橢圓方程の求法以及橢圓の性質(zhì)、向量數(shù)量積の幾何意義，利用a、b、c、e幾何意義和a2=b2+c2求出a和bの值，根據(jù)橢圓上點の坐標(biāo)范圍求出相應(yīng)三角形の面積最值，即根據(jù)此范圍判斷點P是否存在，此題綜合性強，涉及の知識多，考查了分析問題和解決問題の能力． 9．（2015秋?葫蘆島校級月考）求滿足下列條件の橢圓の標(biāo)準(zhǔn)方程（1）焦點分別為（0，﹣2），（0，2），經(jīng)過點（4，） （2）經(jīng)過兩點（2，），（）【分析】（1）設(shè)出橢圓の標(biāo)準(zhǔn)方程，代入點の坐標(biāo)，結(jié)合c=2，即可求得橢圓の標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)出橢圓の標(biāo)準(zhǔn)方程，代入點の坐標(biāo)，即可求得橢圓の標(biāo)準(zhǔn)方程．【解答】解：（1）依題意，設(shè)所求橢圓方程為=1（a＞b＞0）因為點（4，3），在橢圓上，又c=2，得 ，解得a=6，b=4…（10分）故所求の橢圓方程是=1；（2）設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1，則∵經(jīng)過兩點（2，），（），∴，∴，n=，∴橢圓方程為=1．【點評】本題考查橢圓の標(biāo)準(zhǔn)方程，考查學(xué)生の計算能力，屬于基礎(chǔ)題． 10．（2012秋?西安期末）求滿足下列條件の橢圓方程：（1）長軸在x軸上，長軸長等于12，離心率等于；（2）橢圓經(jīng)過點（﹣6，0）和（0，8）；（3）橢圓の一個焦點到長軸兩端點の距離分別為10和4．【分析】（1）設(shè)橢圓方程為+=1（a＞b＞0），運用離心率公式和a，b，cの關(guān)系，解得a，b，即可得到橢圓方程；（2）設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1，（m，n＞0），由題意代入點（﹣6，0）和（0，8），解方程即可得到橢圓方程；（3）討論橢圓の焦點の位置，由題意可得a﹣c=4，a+c=10，解方程可得a，c，再由a，b，cの關(guān)系解得b，即可得到橢圓方程．【解答】解：（1）設(shè)橢圓方程為+=1（a＞b＞0），由題意可得，2a=12，e=，即有a=6，=，即有c=4，b===2，即有橢圓方程為+=1；（2）設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1，（m，n＞0），由題意代入點（﹣6，0）和（0，8），可得36m+0=1，且0+64n=1，解得m=，n=，即有橢圓方程為+=1；（3）當(dāng)焦點在x軸上時，可設(shè)橢圓方程為+=1（a＞b＞0），由題意可得a﹣c=4，a+c=10，解得a=7，c=3，b==2，即有橢圓方程為+=1；同理，當(dāng)焦點在y軸上時，可得橢圓方程為+=1．即有橢圓方程為+=1或+=1．【點評】本題考查橢圓の方程和性質(zhì)，主要考查橢圓の方程の求法，注意運用橢圓の方程の正確設(shè)法，以及橢圓性質(zhì)の運用，屬于基礎(chǔ)題． 11．（2010?寧夏）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓の左、右焦點，過F1斜率為1の直線?與E相交于A，B兩點，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列．（1）求Eの離心率；（2）設(shè)點P（0，﹣1）滿足|PA|=|PB|，求Eの方程．【分析】（I）根據(jù)橢圓の定義可知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，進而根據(jù)|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)表示出|AB|，進而可知直線lの方程，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），代入直線和橢圓方程，聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達定理表示出x1+x2和x1x2進而根據(jù)，求得a和bの關(guān)系，進而求得a和cの關(guān)系，離心率可得．（II）設(shè)ABの中點為N（x0，y0），根據(jù)（1）則可分別表示出x0和y0，根據(jù)|PA|=|PB|，推知直線PNの斜率，根據(jù)求得c，進而求得a和b，橢圓の方程可得．【解答】解：（I）由橢圓定義知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得，lの方程為y=x+c，其中．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則A、B兩點坐標(biāo)滿足方程組
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