高中數(shù)學(xué)數(shù)列經(jīng)典題型總結(jié)(參考版)
2024-12-21 15:19本頁面
【正文】 q:公比 【例】、 已知數(shù)列 }{na 滿足 11?a ， )2(3 11 ??? ?? naa nnn ，則通項(xiàng)公式 ?na 312n? an=3^(n1)+a(n1) ana(n1)=3^(n1) 同樣 a(n1)a(n2)=3^(n2) …… a(n2(a(n3)=3^(n3) …………………… …… a3a2=3^2 …… a2a1=3^1 以上的 n 個等式的兩邊相加得到 16 Ana1=3+3^2+……+3^(n 1)=3(13^n1)/(13)=(3^n1)/2 。 例 :設(shè)數(shù)列 ??na ： )2(,123,4 11 ????? ? nnaaa nn ，求 na . 解：設(shè) BAnbaB ，Anab nnnn ?????? 則，將 1, ?nn aa 代入遞推式，得 ? ? 12)1(3 1 ???????? ? nBnAbBAnb nn)133()23(3 1 ?????? ? ABnAb n ?????? ??? ??? 133 23 ABB AA ??? ??11BA 1???? nab nn取 … （１）則 13 ?? nn bb ,又 61?b ，故 nnnb 3236 1 ???? ? 代入（１）得 132 ???? na nn 說明：（ 1）若 )(nf 為 n 的二次式，則可設(shè) CBnAnab nn ???? 2 。 (或 ()nnS f a? ) 解法：這種類型一般利用??? ???????????????????????????? )2()1(11 nSS nSannn與 )()( 11 ?? ???? nnnnn afafSSa 消去 nS )2( ?n 或與 )( 1??? nnn SSfS )2( ?n 消去 na 進(jìn)行求解。 解：由nnn aaa 3132 12 ?? ??可轉(zhuǎn)化為 )( 112 nnnn saatsaa ??? ??? 即 nnn staatsa ??? ?? 12 )(????????????3132stts?????????311ts 或????????131ts 這里不妨選用????????311ts （當(dāng)然也可選用????????131ts ，大家可以試一試），則 )(31 112 nnnn aaaa ???? ??? ? ?nn aa ?? ?1 是以首項(xiàng)為 112 ??aa ，公比為 31? 的等 13 比數(shù)列 ,所以 11 )31( ?? ??? nnn aa,應(yīng)用類型 1 的方法，分別令 )1(,3,2,1 ???????? nn ，代入上式得 )1( ?n 個等式累加之，即 2101 )31()31()31( ??????????????? nn aa311)31(1 1?????n又 11?a? ，所以 1)31(4347 ???? nna 。 32,1 21 ?? xx? ,? 1211 ?? ?? nnn BxAxa 1)32( ???? nBA 。 abbaaaba nnn 23)32)((3)]()32(33[ 11 ????????? ??。 把 nn ,3,2,1 ???? 代入，得 abaa ??? 12 ， )32()(23 ???? abaa， 234 )32()( ???? abaa ， ??? 21 )32)(( ?? ??? nnn abaa 。由 0253 12 ??? ?? nnn aaa ，得 )(32 112 nnnn aaaa ??? ??? ，且 abaa ??? 12 。若 21,xx 是特征方程的兩個根，當(dāng)21 xx? 時，數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)為 1211 ?? ?? nnn BxAxa ，其中 A， B 由 ?? ?? 21 ,aa 決定（即把 2121 , xxaa 和 2,1?n ，代入 1211 ?? ?? nnn BxAxa ，得到關(guān)于 A、 B 的方程組）；當(dāng) 21 xx? 時，數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)為 11)( ??? nn xBnAa ，其中 A， B 由 ?? ?? 21 ,aa決定（即把 2121 , xxaa 和 2,1?n ，代入 11)( ??? nn xBnAa ，得到關(guān)于 A、 B 的方程組）。 解：在 11 )21(31 ?? ?? nnn aa兩邊乘以 12?n 得： 1)2(322 11 ???? ?? nnnn aa 令 nnn ab ??2 ，則 1321 ??? nn bb,解之得： nnb )32(23??所以 nnnnn ba )31(2)21(32 ??? 類型 5 遞推公 式為 nnn qapaa ?? ?? 12 （其中 p， q 均為常數(shù)）。 解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊 同除 以 1?nq ，得：qqaqpqa nnnn 111 ?????引入輔助數(shù) 11 列 ??nb （其中nnn qab ?），得：qbqpb nn 11 ???再待 定系數(shù)法 解決。 解法：只需 構(gòu)造數(shù)列 ??nb ， 消去 ??nf 帶來的 差異 ． 類型 4 nnn qpaa ???1 （ 其 中 p ， q 均 為 常 數(shù) ， )0)1)(1(( ??? qppq ）。 解法（待定系數(shù)法）：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為： )(1 tapta nn ???? ，其中pqt ??1，再利用換元法 轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。 123 13223 1232)2(3 1)2(32)1(3 1)1(3 annnna n ????? ????????? ????? ??? 3 4 3 7 5 2 633 1 3 4 8 5 3 1nnn n n??? ? ? ? ? ?? ? ?。 例 :已知數(shù)列 ??
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