高中數(shù)學(xué)數(shù)列經(jīng)典題型總結(jié)-文庫(kù)吧資料
2024-12-25 15:19本頁(yè)面
【正文】 na 滿足 321?a，nn anna 11 ???，求 na 。 例 :已知數(shù)列 ??na 滿足 211?a， nnaann ???? 21 1，求 na 。 例 7 數(shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和 12 ?? nn aS ，數(shù)列 {bn}滿 )(,3 11 ?? ???? Nnbabb nnn . （Ⅰ）證明數(shù)列 {an}為等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列 {bn}的前 n 項(xiàng)和 Tn。下列求和：?? ??ni ii aa1 11 也可用裂項(xiàng)求和法。( ) 6 2f x x??，數(shù)列 {}na 的前 n 項(xiàng)和為 nS ，點(diǎn) ( , )( )nn S n N?? 均在函數(shù) ()y f x? 的圖像上。求,),()3()2()1( *nn SNnnnfnfnfnfS ??????? （ III）略 （ I）∵ )(21 21 OPOPOP ??,且點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為21. ∴ P 是12PP的中點(diǎn)，且121xx?? ? ? ? ?? ?? ? ? ?1 2 2 11212 22121122222 24214212 2 2 22222 22222px x x xxxxx xxxxxyyy? ? ?? ? ? ??? ??? ? ????? 由（ I）知， 121xx?? ? ? ? ? ? ?12 1 , 1 2 2f f fxx? ? ? ?且 ? ?? ?1 2 1 11 2 1 2nnnnf f f fn n n nnnf f f fn n n nSS?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?又，（ 1） +（ 2）得：? ? ? ?? ?1 1 2 2 12 1 12 1 1 1 1 3 2 23 2 22nnn n nf f f f f f f fn n n n n nfnnSS? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ????? 四、裂項(xiàng)求和法 這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用 . 裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的 . 通項(xiàng)分解 （裂項(xiàng)）如： （ 1）111)1( 1 ????? nnnna n （ 2） )12 112 1(211)12)(12( )2( 2 ???????? nnnn na n 6 （ 3） ])2)(1( 1)1( 1[21)2)(1( 1 ???????? nnnnnnna n等。下面介紹數(shù)列求和的幾種常用方法： 一、直接（或轉(zhuǎn)化）由等差、等比數(shù)列的求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法 . 等差數(shù)列求和公式： dnnnaaanS nn 2 )1(2 )( 11 ????? 等比數(shù)列求和公式：????? ???????? )1(11)1()1(111qq qaaqqaqnaS nnn )1(211 ??? ?? nnkS nkn )12)(1(611 2 ???? ?? nnnkS nkn 213 )]1(21[ ??? ?? nnkSnkn 例 1（ 07 高考山東文 18）設(shè) {}na 是公比大于 1 的等比數(shù)列， nS 為數(shù)列 {}na 的前 n 項(xiàng)和．已知 3 7S? ，且 1 2 33 3 4a a a??， ， 構(gòu)成等差數(shù)列． （ 1）求數(shù)列 {}na 的等差數(shù)列． （ 2）令 31ln 1 2nnb a n???， ， ， ，求數(shù)列 {}nb 的前 n 項(xiàng)和 T ． 解：（ 1）由已知得 1 2 313 27: ( 3 ) ( 4) 3.2a a aaa a? ? ???? ? ? ? ???，解得2 2a? ． 設(shè)數(shù)列 {}na 的公比為 q ，由 2 2a? ，可得132 2a a qq??，． 又 3 7S? ，可知 2 2 2 7qq? ? ?，即 22 5 2 0qq? ? ? ， 解得1212 2qq??，．由題意得 12qq???， ． 1 1a??．故數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)為 12nna ?? ． 2 （ 2）由于 31ln 1 2nnb a n???， ， ， ，由（ 1）得 3312nna ? ? 3ln 2 3 ln 2nnbn? ? ? ， 又 1 3ln 2n n nbb? ?? {}nb? 是等差數(shù)列． 12nnT b b b? ? ? ? ? 1()2(3 ln 2 3 ln 2)23 ( 1) ln 2.2nn b bnnn?????? 故 3 ( 1) ln 22n nnT ??． 練習(xí)：設(shè) Sn＝ 1+2+3+…+n ， n∈ N*,求1)32()( ??? nn Sn Snf 的最大值 . 解：由等差數(shù)列求和公式得 )1(21 ?? nnSn， )2)(1(21 ??? nnSn （利用常用公式） ∴ 1)32()( ??? nn Sn Snf ＝ 64342 ?? nn n
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