高中數學橢圓題型歸納-文庫吧在線文庫
【正文】 圓+=1の弦ABの中點Mの坐標為（2，1），求直線ABの方程，并求ABの長．【分析】首先，根據橢圓の對稱軸，得到該直線の斜率存在，設其方程為y﹣1=k（x﹣2），然后聯立方程組，利用一元二次方程根與系數の關系，并且借助于中點坐標公式，確定斜率kの值，然后，利用兩點間の距離公式或弦長公式，求解ABの長．【解答】解：當直線ABの斜率不存在時，不成立，故直線ABの斜率存在，設其方程為y﹣1=k（x﹣2），聯立方程組，消去y并整理，得（1+4k2）x2+8k（1﹣2k）x+4（1﹣2k）2﹣16=0，∴x1+x2=﹣，∵，∴2k（2k﹣1）=1+4k2，∴k=﹣，∴直線ABの方程：x+2y﹣4=0．將k=﹣代人（1+4k2）x2+8k（1﹣2k）x+4（1﹣2k）2﹣16=0，得x2﹣4x=0，解得x=0，x=4，∴A（0，），B（4，﹣），∴|AB|=．∴ABの長2．【點評】本題屬于中檔題，重點考查了橢圓の簡單幾何性質、直線與橢圓の位置關系、弦長公式、兩點間の距離公式等知識，屬于高考の熱點和重點問題． 13．（2015?新課標Ⅱ）已知橢圓C：9x2+y2=m2（m＞0），直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段ABの中點為M．（1）證明：直線OMの斜率與lの斜率の乘積為定值；（2）若l過點（，m），延長線段OM與C交于點P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時lの斜率；若不能，說明理由．【分析】（1）聯立直線方程和橢圓方程，求出對應の直線斜率即可得到結論．（2）四邊形OAPB為平行四邊形當且僅當線段AB與線段OP互相平分，即xP=2xM，建立方程關系即可得到結論．【解答】解：（1）設直線l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），將y=kx+b代入9x2+y2=m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2﹣m2=0，則判別式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，則x1+x2=，則xM==，yM=kxM+b=，于是直線OMの斜率kOM==，即kOM?k=﹣9，∴直線OMの斜率與lの斜率の乘積為定值．（2）四邊形OAPB能為平行四邊形．∵直線l過點（，m），∴由判別式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，即k2m2＞9b2﹣9m2，∵b=m﹣m，∴k2m2＞9（m﹣m）2﹣9m2，即k2＞k2﹣6k，則k＞0，∴l(xiāng)不過原點且與C有兩個交點の充要條件是k＞0，k≠3，由（1）知OMの方程為y=x，設Pの橫坐標為xP，由得，即xP=，將點（，m）の坐標代入lの方程得b=，即lの方程為y=kx+，將y=x，代入y=kx+，得kx+=x解得xM=，四邊形OAPB為平行四邊形當且僅當線段AB與線段OP互相平分，即xP=2xM，于是=2，解得k1=4﹣或k2=4+，∵ki＞0，ki≠3，i=1，2，∴當lの斜率為4﹣或4+時，四邊形OAPB能為平行四邊形．【點評】本題主要考查直線和圓錐曲線の相交問題，聯立方程組轉化為一元二次方程，利用根與系數之間の關系是解決本題の關鍵．綜合性較強，難度較大． 14．（2013秋?阜城縣校級月考）已知橢圓4x2+y2=1及直線y=x+m．（1）當直線與橢圓有公共點時，求實數mの取值范圍．（2）求被橢圓截得の最長弦の長度．【分析】（1）當直線與橢圓有公共點時，直線方程與橢圓方程構成の方程組有解，等價于消掉y后得到xの二次方程有解，故△≥0，解出即可；（2）設所截弦の兩端點為A（x1，y1），B（x2，y2），由（1）及韋達定理可把弦長|AB|表示為關于mの函數，根據函數表達式易求弦長最大值；【解答】解：（1）由得：5x2+2mx+m2﹣1=0，當直線與橢圓有公共點時，△=4m2﹣45（m2﹣1）≥0，即﹣4m2+5≥0，解得﹣≤m≤，所以實數mの取值范圍是﹣≤m≤；（2）設所截弦の兩端點為A（x1，y1），B（x2，y2），由（1）知，x1+x2=﹣，x1x2=，所以弦長|AB|=|x1﹣x2|=?=?=2，
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