【正文】 b2)） ，cos1(sincos1222 xx???且|sinx|≤1≤ ，所以 0≤s inx+ ≤2，2所以當(dāng) =sinx，即 x=2kπ+ (k∈Z)時(shí), y max=2，cos?2?當(dāng) =sinx，即 x=2kπ (k∈Z)時(shí), y min=0。又 0≤ ≤π，解得 = ，?2?因?yàn)?f(x)圖象關(guān)于 對(duì)稱，所以 =0。??求證：AP所以 DE=EF=DF，由正弦定理，CDsin ACB=APsin BAC=BPsin ABC，兩邊同時(shí)乘以△ABC 的外?接圓直徑 2R，得 CP22sincbaC??8. 在 中，已知內(nèi)角 ，邊 ．設(shè)內(nèi)角 ，周長為 ．AB△ A???23BCBx?y（1）求函數(shù) 的解析式和定義域；()yfx?（2）求 的最大值．第六講 平面向量一、知識(shí)要點(diǎn)；； 與向量 的積: ?a?⑴ 當(dāng) 時(shí), 與 同向；⑵ 當(dāng) 時(shí), 與 反向；⑶ 當(dāng) 時(shí), .0?0?a?0??a: 設(shè)兩個(gè)非 0 向量 , ( )是 與 的夾角,12(),()xyb??018?b則= .cosab????12xy?,定理：江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）20⑴ 平面向量基本定理:如果 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量 ,有12e a且只有一對(duì)實(shí)數(shù) ,使 .12?a???⑵ 兩個(gè)非 0 向量的平行與垂直的充要條件:① (或 )；② (或 )./ab?1210xy?0ab????120xy??⑶ 線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式:設(shè) , , ,且 ,則(p1()xy2)pp??? , 中點(diǎn)公式 .12xy???????12y??????⑷ 平移公式:如果點(diǎn) 按向量 平移至點(diǎn) ,即 =(,)px(,)ahk39。如圖所示，設(shè)各邊中點(diǎn)分別為 D，E，F(xiàn)，延長 AD 至 P，使 DP=GD，?又因?yàn)?BC 與 GP 互相平分，所以 BPCG 為平行四邊形，所以 BG PC，所以 /.CB?所以 .OPGCGB??充分性。所以 a???x所以 ，即 F ，3239。二、知識(shí)要點(diǎn)（一）、數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)1．?dāng)?shù)列{a n}的通項(xiàng) an 與前 n 項(xiàng)的和 Sn 的關(guān)系它包括兩個(gè)方面的問題：一是已知 Sn 求 an，二是已知 an 求 Sn； 已知 Sn 求 an對(duì)于這類問題，可以用公式 an= .??????)2(11nS 已知 an 求 Sn這類問題實(shí)際上就是數(shù)列求和的問題。故 a70,a80,所以 S7 最大。分析：本題的關(guān)鍵是求 An 與 Bn，如果能注意到 1，a1,a2,a3,…,an，2 成等比數(shù)列，1，b1,b2,b3,…,bn，2 成等差數(shù)列， 則就容易想到利用 這兩類數(shù)列的性質(zhì)。故符合條件的數(shù)列共有 4 個(gè)?！窘狻?）a n=n21；2）a n=3n2n；3）a n=n22n.例 2 已知數(shù)列{a n}滿足 a1= ,a1+a2+…+an=n2an, n≥1，求通項(xiàng) an.【解】 因?yàn)?a1= ,又 a1+a2=22an+1+ (pan+1+an+2)+ =an+2數(shù)列求和法主要有倒寫相加、裂項(xiàng)求和法、錯(cuò)項(xiàng)相消法等。2 n1，其中 ，??????)(63??所以 α=3，β=0 ，所以 an=3 … 又2 2Xn+1 = = , ①?nn)(Xn+1+ = = , ②22?xx2由①247。1, 則 =_________.!)1(2207n???11．若{a n}是無窮等比數(shù)列，a n 為正整數(shù)，且滿足 a5+a6=48, log2a2 ，所以 ，1l??nnl ???nx12???????n解得 …3]。 ②15432?nn a?由①②得 ，1211??????????nnnS?所以 。 即可.)(12ac??q綜上，結(jié)論成立。2．迭代法。三、例題賞析1．不完全歸納法。解 記 b1=S10,b2=S20S10,b3=S30S20,b4= q 是{a n}的公比，則 b1,b2,b3,b4 構(gòu)成以 r=q10為公比的等比數(shù)列。分析：顯然，只要能把 f(1)=n2,f(1)=n 轉(zhuǎn)化為關(guān)于首項(xiàng)和公差的兩個(gè)方程即可。qbn??11??nb2．通項(xiàng)公式與前 n 項(xiàng)和公式：數(shù)列{a n}為等差數(shù)列，則通項(xiàng)公式 an=a1+(n1)d, 前 n 項(xiàng)和 Sn= =2)(1na?.2)1(1da??數(shù)列{a n}為等比數(shù)列，則通項(xiàng)公式 an=a1qn1, 前 n 項(xiàng)和 Sn= .???????)1(1(qan3．性質(zhì)：等差數(shù)列若 m+n=p+q，則 am+an=ap+aq每 連續(xù) m 項(xiàng)的和仍組成等差數(shù)列,即Sm,S2mSm,S3mS2m組成等差數(shù)列等比數(shù)列若 m+n=p+q，則 aman=apaq每 連續(xù) m 項(xiàng)的和仍組成等比數(shù)列，即Sm,S2mSm,S3mS2m組成等比數(shù)列（4）函數(shù)的思想：等差數(shù)列可以看作是一個(gè)一次函數(shù)型的函數(shù)；等比數(shù)列可以看作是一個(gè)指數(shù)函數(shù)型的函數(shù)。ABOCAOB與 的夾角為 30176?！咀C明】 如圖所示，以 CD 所在的直線為 x 軸，以 C 為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形邊長為 1，則A，B 坐標(biāo)分別為（1，1）和（0，1） ，設(shè) E 點(diǎn)的坐標(biāo)為（x, y） ，則 =(x, y1), BE，因?yàn)?，所以x(y1)=0.),(??CACBE/又因?yàn)?，所以 x2+y2=2.||由①，②解得 .31,???yx所以 .24|,2,3????????AEAE設(shè) ，則 。b+b2=a22a39。cos 2β|.因?yàn)?1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca),AB CP江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）18所以 a2+b2+c2+4abc=12(ab+bc+ca2abc).又 ab+bc+ca2abc=c(a+b)+ab(12c)=sin2βcos 2β+sin 2αcos 2α【證明】 過點(diǎn) P 作 PD BC，PE AC，PF AB，垂足分別為 D，E，F(xiàn)，??則 P，D，C，E；P，E，A，F(xiàn)；P，D，B，F(xiàn) 三組四點(diǎn)共圓，所以 EDF= PDE+ PDF= PCA+ PBA= BPC BAC。2?CA8?C又 0，所以 。xycosin1??【解】 設(shè) t=sinx+cosx= ).4sin(2coin2??????????xx因?yàn)?,1)4in(1????所以 .2t又因?yàn)?t2=1+2sinxcosx,所以 sinxcosx= ，所以 ，1?t 212???txy所以 .22?因?yàn)?t 1，所以 ，所以 y 1.?1??t所以函數(shù)值域?yàn)?.21,2????????????????y注：換元法的關(guān)鍵是保持換元前后變量取值范圍的一致性。由于三角公式很多，并且存在著聯(lián)系，因此一定要注意選擇公式的目的性與簡單性。 (4+3x)(ff例 是連續(xù)的偶函數(shù),且當(dāng) 時(shí) 是單調(diào)函數(shù),則滿足 的所有 之和)f 0?(f 3())4fx??為 ( ) A. B. C. ?8?【答案】C【解析】：本小題主要考查函數(shù)的奇偶性性質(zhì)的運(yùn)用。af?)xf(f)2a?ax? ⑷ 與 = 關(guān)于 軸對(duì)稱； 與 =? 關(guān)于 軸對(duì)稱；)y??y(xf?y)(f江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）4 與 =? 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； 與 = 關(guān)于 對(duì)稱。事實(shí)上，若 ab，則 f(b)f(a)=b3a3+1997(ba)=(ba)(b2+ba+a2+1997)0，所以 f(t)遞增。)(2fxf??),0?例 3. 已知 f ( x )=－x 2 + 2x + 8，g ( x ) = f ( 2－x 2 )，求 g ( x )的單調(diào)增區(qū)間． 【講解】很明顯這是一個(gè)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，所以應(yīng)“分層剝離”為兩個(gè)函數(shù) t=－x 2+2 ① y = f ( t ) =－t 2 + 2t + 8 ②對(duì)于②f ( t ) = +9,可知當(dāng) 時(shí)是增函數(shù)，當(dāng) 時(shí)是減函數(shù)。)1(?1,??t ),1(??對(duì)于①由 t=－x 2+2＞1 得 ，當(dāng) 時(shí)是增函數(shù)，當(dāng) 時(shí)是減函數(shù)。由題設(shè) f(x1)=1=f(1y)，所以 x1=1y，所以 x+y=2.例 6． 已知函數(shù) 的定義域?yàn)?R，且對(duì)任意 ∈R 都有 ，當(dāng)?12,1212()()fxfxf??時(shí)， ， ，試判斷在區(qū)間[ －3,3]上 是否有最大值或最小值，若有，求出0x?)0f?1f ()f其最大值或最小值，若沒有，說明理由.【講解】： 設(shè) ∈R 且 ，則 ，所以 .12,x2x10x??210??∴ ＝1()[()]()ffff??1)()fxffx＝ . ∴0f?所以 在 R 上為減函數(shù)，在 [－3,3]上， .f maxmin3,yfyf?因?yàn)?，令 則 ，(3)2)()3(ff?120,()?江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）3令 ，則 ，所以 ，所以 為12,xx??(0)()fxf???()(fxf??()fx奇函數(shù)，所以在區(qū)間[－3,3]上， .ma min33,3yaya?例 7 已知函數(shù) 的定義域?yàn)?，且同時(shí)滿足：（1） （2） 恒成立（3）若()f[,]1f0f?，則有 . 12120,???212()()fff?求函數(shù) 的最大值和最小值 .fx【講解】：設(shè) ，∴ ，由（2）知 .?0x??1()x?則 21211()[()]()ff???21(fffx?＝ ，即 ，所以 在 ??[0,]故函數(shù) 在 的最大值和最小值分別為 和 .x,]f()在(3)中令 ，得 ，∴ ，根據(jù)（ 2）知120()0ff?(0)f?∴ ，所以函數(shù) 的最大值和最小值分別為 3 和 0.(0)f?x四．課后練習(xí)：（1）函數(shù) 的遞增區(qū)間是___ __ _．142?y（2）函數(shù) 遞減區(qū)間是__ _．)3(log?a f(x)在定義域（1，1）內(nèi)是減函數(shù)，又 f(1a)+f(1a2)0，求 a 的取值范圍。)(xfy?)(xf?)(xfy?)(yfx?三．例題講解例 1．函數(shù) 的圖像關(guān)于（ ）1fA． 軸對(duì)稱 B． 直線 對(duì)稱 yxyC． 坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 D． 直線 對(duì)稱?【答案】C【解析】 是奇函數(shù)，所以圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。依題當(dāng)滿足 時(shí)，即3())4xf??時(shí)，得 ，此時(shí) 又 是連續(xù)的偶函數(shù)，4x??230x????()fx∴ ，∴另一種情形是 ，即 ，得 ，∴()ff?()4ff?2530x∴滿足 的所有 ()4fx?x(5)8.??例 R 上的函數(shù) 滿足：對(duì)任意 ，有 ,則下列12,R?1212()fxff?說法一定正確的是 （ ）(A) 為奇函數(shù) （B） 為偶函數(shù)()f ()f(C) 為奇函數(shù) （D） 為偶函數(shù)1x?x【答案】C【解析】令 ，得 ， ，0?()201ff?()f??所以 ， ，()fx??()10fx??江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）5即 ，所以 為奇函數(shù),選 C()1[()1]fxfx???()1fx?例 6 函數(shù) y = f ( x ) 對(duì)任意實(shí)數(shù) x，總有 （1）f (a－x ) = f ( b + x )，這里 a，b 是常數(shù)，問函數(shù)的圖像有什么性質(zhì)，證明你的結(jié)論； （2）f (a－x ) =－f ( b + x )，這里 a，b 是常數(shù)，問函數(shù)的圖像有什么性質(zhì)，證明你的結(jié)論． 【解（1） 】 設(shè) y = f (a－x ) = f ( b + x )則點(diǎn) P (a－x，y )，Q ( b + x， y) 都在函數(shù) y = f (x)的圖像上． ∵ ，且 P、Q 兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，2)???∴ PQ 垂直直線 ，且被其平分， ∴ P、Q 兩點(diǎn)關(guān)于直線 對(duì)稱 ，2ba??而 P、Q 又是曲線 y = f (x)上的動(dòng)點(diǎn)， ∴ 函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于直線 對(duì)稱．2ba??問題:當(dāng) a=0,b=0 函數(shù) f(x)具有什么性質(zhì) ? 特別地，若 f（a+x）＝f（a－x） ，函數(shù) f（x）的圖象關(guān)于直線 x＝a 對(duì)稱；【解（2） 】設(shè) y= f (a－x )=－f (b + x ) 則點(diǎn) R (a－x，y)， S ( b+x，－y)都在函數(shù) y = f (x) 的圖像上． ∴ ∴線段 RS 的中點(diǎn)是定點(diǎn) M（ ） ． ???????022b 0,2?即 R、S 兩點(diǎn)關(guān)于定點(diǎn) M 對(duì)稱，而 R、S 是曲線 y = f (x)上的動(dòng)點(diǎn)．∴ 函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于點(diǎn) M（ ）對(duì)稱．0,2ba?特別地，若 f（a+x ）＝－f（a－x） ，則函數(shù) f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，0）中心對(duì)稱.例 f（x ）的定義域?yàn)?R，則下列命題中:①若 f（x－2）是偶函數(shù)，則函數(shù) f（x）的圖象關(guān)于直線 x＝2 對(duì)稱；②若 f（x+2）＝－f（x －2） ，則函數(shù) f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；③函數(shù) y＝f（2+x）與函數(shù) y＝f （2－x）的圖象關(guān)于直線 x＝2 對(duì)稱；④函數(shù) y＝f（x－2）與函