【正文】 分析：本題的關(guān)鍵是求 An 與 Bn，如果能注意到 1，a1,a2,a3,…,an，2 成等比數(shù)列，1，b1,b2,b3,…,bn，2 成等差數(shù)列， 則就容易想到利用 這兩類數(shù)列的性質(zhì)。解：(1)因?yàn)?1，a1,a2,a3,…,an，2 成等比數(shù)列，所以 a1an=a2an1=a3an2=…=1 2,從而 An2= ?(a1a2a3…an )(a1a2a3…an)=(a1an)(a2an1)(a3an2)…(ana1)=2n,故 An= .因?yàn)?1，b1,b2,b3,…,bn，2 成等差數(shù)列，所以 b1+bn=1+2=3, 從而 Bn= .??2)(1n3(2)∵An= , Bn= .∴An2=2n,Bn2= 當(dāng) n≥7時(shí)，A n2=2n=(1+1)n= nnn CCC?????123310?≥2( )=2[1+n+ + ]310nC?2)(?6)(=2+2n+n2n+ n3n2+ n= n3+ n+2 n3=n2( n), 當(dāng) n≥7時(shí)， n .1513149所以當(dāng) n≥7時(shí)，A n2 Bn2，故 An Bn評(píng)說(shuō)：對(duì)于 An 與 Bn 的大小，也可以用數(shù)學(xué)歸納法證明。例 5 已知數(shù)列{a n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且前 n 項(xiàng)之和 Sn 滿足 6Sn=an2+3an+ a2，a 4,a9 成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）28解：當(dāng) n=1 時(shí) ，由題意有 6a1=a12+3a+2于是　 a1=1 或 a1=2當(dāng) n＞2 時(shí)，有 6Sn=an2+3an+2，6Sn1=an12+3an1+2兩式相減得：(a n+an1) (anan13)=0由題意知{ an}各項(xiàng)為正，所以 anan1=3當(dāng) a1=1 時(shí)，a n=1+3(n1)=3n2此時(shí) a42=a2a9 成立當(dāng) a1=2 時(shí)，a n=2+3(n1)=3n1此時(shí) a42=a2a9 不成立，故 a1=2 舍去所以 an=3n2例 6 各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的等比數(shù)列{a n}的前 n 項(xiàng)之和為 Sn，若 S10=10，S30=70，求 S40。解 記 b1=S10,b2=S20S10,b3=S30S20,b4= q 是{a n}的公比，則 b1,b2,b3,b4 構(gòu)成以 r=q10為公比的等比數(shù)列。于是70=S30=b1+b2+b3=b1(1+r+r2)=10(1+r+r2)即 r2+r6=0. 　解得 r=2 或 r=3由于 r=q100 , 所以 r=2故　 S40=10(1+2+22+23例 ，項(xiàng)數(shù)不少于 3，且各項(xiàng)之和為 972，這樣的數(shù)列共有多少個(gè)？解　 設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為 a，公差為 d，依 題意有江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）29即　 [2a+(n1)d]n=2972, (3)因?yàn)?n 為不小于 3 的自然數(shù)，97 為素?cái)?shù)，故 n 的值只可能為 97，2180。97,972,2972 四者之一。若 d0,則由(3)知故只可能有 n=(3)化為 a+48d=97.此時(shí)可得 n=97,d=1,a=49 或 n=97,d=2,a=1.若 d=0 時(shí)，則由(3)得 na=972,此時(shí) n=97,a=97 或 n=972,a=1。故符合條件的數(shù)列共有 4 個(gè)。例 x,y 滿足|x|1,| y|1,求證： (第 19 屆莫斯科數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)證明：∵| x|1,|y|1，∴x21,y21，故=(1+x2+ x4+ x6+…)+(1+ y2+ y4+ y6+…)=2+(x2+y2) (x4+y4)+ (x6+y6)+…　　　　　　 ≥2+2xy+2x2y2+2x3y3+…=四、學(xué)生練習(xí)1 數(shù)列｛ an｝的 前 n 項(xiàng) 和 Sn＝a 2n + b（n?N），則｛a n｝為等比數(shù)列的充要條件是________．2 設(shè)等差數(shù)列｛a n｝的前 n 項(xiàng)和為 Sn，若 S7＝56， Sn＝420， an－3 ＝34，則 n＝________．,a 3+a7a10=8,a11a4=4, S13 {an} 的前 n 項(xiàng)之和為 Sn，若 S10=10，S30=70， S40= 5 （2022 年全國(guó)）設(shè){a n}是首項(xiàng)為 1 的正項(xiàng)數(shù)列，且(n+1)a n+12nan2+an+1an=0，(n=1,2,3,…),則它的通項(xiàng)公式是 an= .江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）30第八講 數(shù)學(xué)歸納法競(jìng)賽常用定理定理 1 第一數(shù)學(xué)歸納法：給定命題 p(n)，若：（1）p(n 0)成立；（2）當(dāng) p(n)時(shí) n=k 成立時(shí)能推出 p(n)對(duì)n=k+1 成立，則由（1） ， （2）可得命題 p(n)對(duì)一切自然數(shù) n≥n 0 成立。定理 2 第二數(shù)學(xué)歸納法：給定命題 p(n)，若：（1）p(n 0)成立；（2）當(dāng) p(n)對(duì)一切 n≤k 的自然數(shù) n都成立時(shí)（k≥n 0）可推出 p(k+1)成立，則由（1） ， （2）可得命題 p(n)對(duì)一切自然數(shù) n≥n 0 成立。三、例題賞析1．不完全歸納法。這種方法是從特殊情況出發(fā)去總結(jié)更一般的規(guī)律，當(dāng)然結(jié)論未必都是正確的，但卻是人類探索未知世界的普遍方式。通常解題方式為：特殊→猜想→數(shù)學(xué)歸納法證明。例 1 試給出以下幾個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)（不要求證明） ；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）1， 0，3，8，15，…?！窘狻?）a n=n21；2）a n=3n2n；3）a n=n22n.例 2 已知數(shù)列{a n}滿足 a1= ,a1+a2+…+an=n2an, n≥1，求通項(xiàng) an.【解】 因?yàn)?a1= ,又 a1+a2=22a2,所以 a2= ，a 3= ,猜想 (n≥1).?4????? )1??n證明；1）當(dāng) n=1 時(shí)，a 1= ，猜想正確。2）假設(shè)當(dāng) n≤k 時(shí)猜想成立。當(dāng) n=k+1 時(shí)，由歸納假設(shè)及題設(shè)，a 1+ a1+…+a1=[(k+1)21] ak+1,，所以 =k(k+2)ak+1, )(23?????即 =k(k+2)ak+1,1???所以 =k(k+2)ak+1,所以 ak+1=?.)21由數(shù)學(xué)歸納法可得猜想成立，所以 .(??n例 3 設(shè) 0a1，數(shù)列{a n}滿足 an=1+a, an1=a+ ，求證：對(duì)任意 n∈N+,有 an1.【證明】 證明更強(qiáng)的結(jié)論：1a n≤1+a.1)當(dāng) n=1 時(shí)，1 a1=1+a，①式成立；2)假設(shè) n=k 時(shí)， ①式成立，即 1an≤1+a，則當(dāng) n=k+1 時(shí)，有 .111 21 ????????? ak江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）31由數(shù)學(xué)歸納法可得①式成立，所以原命題得證。2．迭代法。數(shù)列的通項(xiàng) an 或前 n 項(xiàng)和 Sn 中的 n 通常是對(duì)任意 n∈N 成立，因此可將其中的 n 換成 n+1 或 n1 等，這種辦法通常稱迭代或遞推。例 4 數(shù)列{a n}滿足 an+pan1+qan2=0, n≥3，q 0，求證：存在常數(shù) c，使得 an+?121???ncq【證明】 an+1+ (pan+1+an+2)+ =an+2(qan)+ =1?np22??n 21?q21q+an(pqn+1+qan)]=q( ).222[)(??n 1p若 =0，則對(duì)任意 n, + =0，取 c=0 n?2若 0，則{ + }是首項(xiàng)為 ，公式為 q 的等比2q?121? 212ap?數(shù)列。所以 + = ?2)(22apa取 即可.)(12ac??q綜上，結(jié)論成立。例 5 已知 a1=0, an+1=5an+ ，求證：a n 都是整數(shù)，n∈ N+.24?n【證明】 因?yàn)?a1=0, a2=1，所以由題設(shè)知當(dāng) n≥1 時(shí) an+1an.又由 an+1=5an+ 移項(xiàng)、平方得n ①.00121?????當(dāng) n≥2 時(shí)，把①式中的 n 換成 n1 得 ，即00212????nna ②.211?n因?yàn)?an1an+1，所以 ①式和② 式說(shuō)明 an1, an+1 是方程 x210anx+ 1=0 的兩個(gè)不等根。由韋達(dá)定理得2an+1+ an1=10an(n≥2).再由 a1=0, a2=1 及③式可知，當(dāng) n∈N+時(shí)，a n 都是整數(shù)。3．?dāng)?shù)列求和法。數(shù)列求和法主要有倒寫(xiě)相加、裂項(xiàng)求和法、錯(cuò)項(xiàng)相消法等。例 6 已知 an= (n=1, 2, …)，求 S99=a1+a2+…+?【解】 因?yàn)?an+a100n= + = ，02022??n 1010102)4(4????nn所以 S99= .9)(21911?????n例 7 求和： +…+432.)2(n【解】 一般地， )1()(???kk，?????????2)1()(21k江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）32所以 Sn=???k1)2( ?????? ?????? )2(1)(4312 nn???????)(例 8 已知數(shù)列{a n}滿足 a1=a2=1，a n+2=an+1+an, Sn 為數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和，求證：S n2。??????na2【證明】 由遞推公式可知，數(shù)列{a n}前幾項(xiàng)為 1，1，2 ，3，5，8，13。因?yàn)?， ①nnS8532164?????所以 。 ②15432?nn a?由①②得 ，1211??????????nnnS?所以 。142??nna又因?yàn)?Sn2Sn 且 0,1所以 Sn, 所以 ，1?2?n所以 Sn2，得證。4．特征方程法。例 9 已知數(shù)列{a n}滿足 a1=3, a2=6, an+2=4n+14an，求 an.【解】 由特征方程 x2=4x4 得 x1=x2=2.故設(shè) an=(α+βn)2 n1，其中 ，??????)(63??所以 α=3，β=0 ，所以 an=32n1.例 10 已知數(shù)列{a n}滿足 a1=3, a2=6, an+2=2an+1+3an，求通項(xiàng) an.【解】 由特征方程 x2=2x+3 得 x1=3, x2=1,所以 an=α3 n+β(1) n，其中 ，????????963解得 α= ，β ，4??江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）33所以 3]。11)(3[4????nna5．構(gòu)造等差或等比數(shù)列。例 11 正數(shù)列 a0,a1,…,an,…滿足 =2an1(n≥2)且 a0=a1=1，求通項(xiàng)。212??nna【解】 由 得 =1，12??n 211nn即 .12???????????nnaa令 bn= +1，則{b n}是首項(xiàng)為 +1=2，公比為 2 的等比數(shù)列，1?01a所以 bn= +1=2n，所以 =（2 n1） 2，1a1?所以 an= … a0=?2n???k12.)(注： C1C2…Cn.??ii1例 12 已知數(shù)列{x n}滿足 x1=2, xn+1= ,n∈N+, 求通項(xiàng)。2?【解】 考慮函數(shù) f(x)= 的不動(dòng)點(diǎn)，由 =x 得 x=2 .2?因?yàn)?x1=2, xn+1= ,可知{x n}的每項(xiàng)均為正數(shù)。n2?又 +2≥ ，所以 xn+1≥ (n≥1)。又2 2Xn+1 = = , ①?nn)(Xn+1+ = = , ②22?xx2由①247。②得 。 ③1????????nn又 0，21?x由③可知對(duì)任意 n∈N+， 0 且 ,2??nx ?????????????????2lg2lg1nnxx江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）34所以 是首項(xiàng)為 ，公比為 2 的等比數(shù)列。????????2lgnx????????2lg所以 ，所以 ，1l??nnl ???nx12???????n解得 。2x 1122)()(???nn注：本例解法是借助于不動(dòng)點(diǎn)，具有普遍意義。四、學(xué)生練習(xí)基礎(chǔ)訓(xùn)練題1． 數(shù)列{x n}滿足 x1=2, xn+1=Sn+(n+1)，其中 Sn 為{x n}前 n 項(xiàng)和，當(dāng) n≥2 時(shí)，x n=_________.2. 數(shù)列{x n}滿足 x1= ，x n+1= ,則{x n}的通項(xiàng) xn=?3. 數(shù)列{x n}滿足 x1=1，x n= +2n1(n≥2)，則{ xn}的通項(xiàng) xn=?4. 等差數(shù)列{a n}滿足 3a8=5a13，且 a10, Sn 為前 n 項(xiàng)之和，則當(dāng) Sn 最大時(shí)，n=_________.5. 等比數(shù)列{a n}前 n 項(xiàng)之和記為 Sn,若 S10=10，S 30=70，則 S40=_________.6. 數(shù)列{x n}滿足 xn+1=xnxn1(n≥2) ，x 1=a, x2=b, Sn=x1+x2+…+ xn，則 S100=_________.7. 數(shù)列{a n}中，S n=a1+a2+…+an=n24n+1 則| a1|+|a2|+…+|a10|=_________.8. 若 ，并且 x1+x2+…+ xn=8，則 x1= ??????9. 等差數(shù)列{a n}，{b n}的前 n 項(xiàng)和分別為 Sn 和 Tn，若 ，則 =??nba??lim10. 若 n!=n(n1)…21, 則 =_________.!)1(2207n???11．若{a n}是無(wú)窮等比數(shù)列，a n 為正整數(shù)，且滿足 a5+a6=48, log2a2log2a3+