【正文】 35. 例 {a n}中，a 1＝a，a 2＝b， 且 an＋2 ＝a n＋1 －a n(n∈N ＋ ) ①求 a100； ②求 S100. 6. .設(shè) f(x)是一個(gè)從實(shí)數(shù)集 R 到 R 的一個(gè)映射,對(duì)于任意的實(shí)數(shù) x,都有| f(x)|≤1,并且 ，求證:f (x)是周期函數(shù). )7()6()423???xff競(jìng)賽講座二 三角函數(shù)第四講 三角函數(shù)的性質(zhì) 一、知識(shí)要點(diǎn)三角運(yùn)算的基本含義是應(yīng)用同角公式、誘導(dǎo)公式、加法定理（和、差、倍、半角公式等的統(tǒng)稱） ，對(duì)三角式作各種有目的的變形（主要指恒等變形） ，有時(shí)表現(xiàn)為計(jì)算求值、有時(shí)表現(xiàn)為推理證明。3．換元法的使用例 4 求 的值域。32coscos4???A解得 或 。AB。AC，得證：2．一個(gè)常用的代換：在△ABC 中，記點(diǎn) A，B，C 到內(nèi)切圓的切線長(zhǎng)分別為 x, y, z，則 a=y+z, b=z+x, c=x+y.例 3 在△ABC 中，求證：a 2(b+ca)+b2(c+ab)+c2(a+bc) ≤3abc.【證明】 令 a=y+z, b=z+x, c=x+y，則abc=(x+y)(y+z)(z+x)=8xyz=(b+ca)(a+cb)(a+bc)zxyx??8=a2(b+ca)+b2(c+ab)+c2(a+bc)2abc.所以 a2(b+ca)+b2(c+ab)+c2(a+bc) ≤3abc.3．三角換元例 4 在△ABC 中，若 a+b+c=1，求證: a 2+b2+c2+4abc .1【證明】 設(shè) a=sin2αcos 2β, b=cos 2αcos 2β, c=sin 2β, β .???????,0?因?yàn)?a, b, c 為三邊長(zhǎng)，所以 c , c|ab|，1從而 ，所以???????4,0??sin2β|cos 2α(,)pahk???39。所以 ,ECAH?所以 ，OCBAEOAO?????所以 ，G3所以 與 共線，所以 O，G，H 共線.所以 OG：GH=1：2.3．利用數(shù)量積證明垂直例 4 給定非零向量 a, b. 求證：|a+b|=|ab|的充要條件是 a b.?【證明】|a+b|=|ab| (a+b)2=(ab)2 a2+2a例 6 已知四邊形 ABCD 是正方形，BE//AC，AC=CE，EC 的延長(zhǎng)線交 BA 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F，求證：AF=AE。CBAO6. 在平行四邊形 中， 與 交于點(diǎn) 是線段 的中點(diǎn)， 的延長(zhǎng)線與 交于ABCDBOE， DAECD點(diǎn) ．若 ， ，則 ???a?bF???7. 直角坐標(biāo)系 中， 分別是與 軸正方向同向的單位向量．在直角三角形 中，若xOyij， xy， B，則 ???3,28．如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量 、 、 ,其中與 與 的夾角為 120176。（二）、等差數(shù)列與等比數(shù)列1．定義：數(shù)列{a n}為等差數(shù)列 an+1an=d an+1an=anan1；?數(shù)列{b n}為等比數(shù)列 。例 3 已知 f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，且 a1,a2,a3,…,an組成等差數(shù)列（n 為正偶數(shù)），又f(1)=n2,f(1)=n；（1）求數(shù)列{a n}的通項(xiàng) an；（2）試比較 f()與 3 的大小，并說(shuō)明理由。江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）28解：當(dāng) n=1 時(shí) ，由題意有 6a1=a12+3a+2于是　 a1=1 或 a1=2當(dāng) n＞2 時(shí)，有 6Sn=an2+3an+2，6Sn1=an12+3an1+2兩式相減得：(a n+an1) (anan13)=0由題意知{ an}各項(xiàng)為正，所以 anan1=3當(dāng) a1=1 時(shí)，a n=1+3(n1)=3n2此時(shí) a42=a2a9 成立當(dāng) a1=2 時(shí)，a n=2+3(n1)=3n1此時(shí) a42=a2a9 不成立，故 a1=2 舍去所以 an=3n2例 6 各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的等比數(shù)列{a n}的前 n 項(xiàng)之和為 Sn，若 S10=10，S30=70，求 S40。定理 2 第二數(shù)學(xué)歸納法：給定命題 p(n)，若：（1）p(n 0)成立；（2）當(dāng) p(n)對(duì)一切 n≤k 的自然數(shù) n都成立時(shí)（k≥n 0）可推出 p(k+1)成立，則由（1） ， （2）可得命題 p(n)對(duì)一切自然數(shù) n≥n 0 成立。當(dāng) n=k+1 時(shí)，由歸納假設(shè)及題設(shè)，a 1+ a1+…+a1=[(k+1)21] ak+1,，所以 =k(k+2)ak+1, )(23?????即 =k(k+2)ak+1,1???所以 =k(k+2)ak+1,所以 ak+1=?.)21由數(shù)學(xué)歸納法可得猜想成立，所以 .(??n例 3 設(shè) 0a1，數(shù)列{a n}滿足 an=1+a, an1=a+ ，求證：對(duì)任意 n∈N+,有 an1.【證明】 證明更強(qiáng)的結(jié)論：1a n≤1+a.1)當(dāng) n=1 時(shí)，1 a1=1+a，①式成立；2)假設(shè) n=k 時(shí)， ①式成立，即 1an≤1+a，則當(dāng) n=k+1 時(shí)，有 .111 21 ????????? ak江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）31由數(shù)學(xué)歸納法可得①式成立，所以原命題得證。?2)(22apa取 因?yàn)?， ①nnS8532164?????所以 。(1) n，其中 ，????????963解得 α= ，β ，4??江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）33所以 C2????????2lgnx????????2lg所以 log2a3+ 。②得 。 2n1.例 10 已知數(shù)列{a n}滿足 a1=3, a2=6, an+2=2an+1+3an，求通項(xiàng) an.【解】 由特征方程 x2=2x+3 得 x1=3, x2=1,所以 an=α例 6 已知 an= (n=1, 2, …)，求 S99=a1+a2+…+?【解】 因?yàn)?an+a100n= + = ，02022??n 1010102)4(4????nn所以 S99= .9)(21911?????n例 7 求和： +…+432.)2(n【解】 一般地， )1()(???kk，?????????2)1()(21k江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）32所以 Sn=???k1)2( ?????? ?????? )2(1)(4312 nn???????)(例 8 已知數(shù)列{a n}滿足 a1=a2=1，a n+2=an+1+an, Sn 為數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和，求證：S n2。(qan)+ =1?np22??n 21?q21q+an(pqn+1+qan)]=q( ).222[)(??n 1p若 =0，則對(duì)任意 n, + =0，取 c=0 n?2若 0，則{ + }是首項(xiàng)為 ，公式為 q 的等比2q?121? 212ap?數(shù)列。a2,所以 a2= ，a 3= ,猜想 (n≥1).?4????? )1??n證明；1）當(dāng) n=1 時(shí)，a 1= ，猜想正確。例 x,y 滿足|x|1,| y|1,求證： (第 19 屆莫斯科數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)證明：∵| x|1,|y|1，∴x21,y21，故=(1+x2+ x4+ x6+…)+(1+ y2+ y4+ y6+…)=2+(x2+y2) (x4+y4)+ (x6+y6)+…　　　　　　 ≥2+2xy+2x2y2+2x3y3+…=四、學(xué)生練習(xí)1 數(shù)列｛ an｝的 前 n 項(xiàng) 和 Sn＝a 解：(1)因?yàn)?1，a1,a2,a3,…,an，2 成等比數(shù)列，所以 a1an=a2an1=a3an2=…=1 2,從而 An2= ?(a1a2a3…an )(a1a2a3…an)=(a1an)(a2an1)(a3an2)…(ana1)=2n,故 An= .因?yàn)?1，b1,b2,b3,…,bn，2 成等差數(shù)列，所以 b1+bn=1+2=3, 從而 Bn= .??2)(1n3(2)∵An= , Bn= .∴An2=2n,Bn2= 當(dāng) n≥7時(shí)，A n2=2n=(1+1)n= nnn CCC?????123310?≥2( )=2[1+n+ + ]310nC?2)(?6)(=2+2n+n2n+ n3n2+ n= n3+ n+2 n3=n2( n), 當(dāng) n≥7時(shí)， n .1513149所以當(dāng) n≥7時(shí)，A n2 Bn2，故 An Bn評(píng)說(shuō)：對(duì)于 An 與 Bn 的大小，也可以用數(shù)學(xué)歸納法證明。評(píng)說(shuō)：(1)本題 也可以利用函數(shù)的思想來(lái)解，即把 Sn 表示成某一變量的函數(shù)（比如 n），然后再求這個(gè)函數(shù)的最大值。數(shù)列求和一般有三種方法：顛倒相加法、錯(cuò)位相減法和通項(xiàng)分解法。???),32?所以 =4+ ，所以 AF=AE。(bc)=0. 所以 OE CD。若 ，延長(zhǎng) AG 交 BC 于 D，A?使 GP=AG，連結(jié) CP，則 因?yàn)?，.P??則 ，所以 GB CP，所以 AG 平分 ?/ P AB CF GD E江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）21同理 BG 平分 CA.所以 G 為重心. 2．證利用定理證明共線例 3 △ABC 外心為 O，垂心為 H，重心為 ：O，G，H 為共線，且 OG：GH=1：2.【證明】 首先 AMA32??= )(1)(31CBCB?.O?其次設(shè) BO 交外接圓于另一點(diǎn) E，則連結(jié) CE 后得 CE .?又 AH BC，所以 AH//CE。39。BA=APBC=BP??????0,43M)43()(xfxf???取 x=0，得 =0，所以 sin)?f .02??????????所以 (k∈Z)，即 = (2k+1) (k∈Z).243???3又 0，取 k=0 時(shí)，此時(shí) f(x)=sin(2x+ )在[0 ， ]上是減函數(shù)；2?取 k=1 時(shí)， =2，此時(shí) f(x)=sin(2x+ )在[0 ， ]上是減函數(shù)；取 k=2 時(shí)， ≥ ，此時(shí) f(x)=sin( x+ )在[0， ]上不是單調(diào)函數(shù)，?310?2?綜上， = 或 5．三角公式的應(yīng)用例 6 已知△ABC 的三個(gè)內(nèi)角 A，B，C 成等差數(shù)列，且 ，試求BCAcos21cos???的值。x21例 3 若 A，B，C 為△ABC 三個(gè)內(nèi)角，試求 sinA+sinB+sinC 的最大值。 福建) f（x ）是定義在 R 上的以 3 為周期的奇函數(shù)，且 f（2）＝0，則方程f（x）＝0 在區(qū)間（ 0，6）內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值是 ( )A．2 B．3 C．4 D．5第三講 函數(shù)的周期性一．學(xué)習(xí)目標(biāo)能求周期函數(shù)的周期，能利用函數(shù)的周期性及圖像的對(duì)稱性等性質(zhì)解決與函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題提高學(xué)生的綜合能力，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)。 (4+3x)【解析】設(shè) x＜0，則? x ＞0，∴f ( ?x ) = ?x y：若函數(shù) 對(duì)定義域內(nèi)的一切 有：)(xfy?x⑴ = ，則函數(shù)圖像關(guān)于 軸對(duì)稱。?,a????（1）如果函數(shù) 在 上是減函數(shù)，在 上是增函數(shù)，求 的值。江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）1競(jìng)賽講座一 函數(shù)的性質(zhì)第一講 函數(shù)的單調(diào)性一．學(xué)習(xí)目標(biāo)會(huì)判斷較復(fù)雜的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，能利用函數(shù)的單調(diào)性解決最值問(wèn)題及解不等式、解方程。,例 4. 已知函數(shù) 有如下性質(zhì)：如果常數(shù) ，那么該函數(shù)在 上是減函數(shù)，在ayx??a??,a??江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）2上是增函數(shù)。 ，偶函數(shù)的圖像關(guān)于 軸對(duì)稱。 (4－3x )，那么 x＜0 時(shí) f ( x ) = _______．【答案】x 四．課后練習(xí)1. 設(shè) 是 R 上的任意函數(shù) ,則下列敘述正確的是 （ ）()fx (A) 是奇函數(shù) (B) 是奇函數(shù) ()f?()fx?(C) 是偶函數(shù) (D) 是偶函數(shù)x()fx?2. 已知函數(shù) f ( x ) 對(duì)任意實(shí)數(shù) a，b 都有 ，且)2()(2baffba?????f（0）≠0，則 f ( x )是 （ ）（A）奇函數(shù)非偶函數(shù)（B）偶函數(shù)非奇函數(shù)（C）是奇函數(shù)也是偶函數(shù)（D）既非奇函數(shù)也非偶函數(shù) y＝f(x) 的圖像與函數(shù) g(x)＝log 2x(x＞0)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則 f(x)的表達(dá)式為(A)f(x)＝ (x＞0) (B)f(x)＝log 2(－x)(x＜0)1log 2x(C)f(x)＝－log 2x(x＞0) (D)f(x)＝－log 2(－x)( x＜0)江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）74..定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù) f(x)，對(duì)一切實(shí)數(shù) x 都有 f(x＋1)＝f(2－x) 成立，若 f(x)＝0 僅有 101 個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，那么所有實(shí)數(shù)根的和為( ) B. D. 23023055 函數(shù) y = f ( x )在 (∞,0] 上是減函數(shù)，而函數(shù) y = f (x+1)是偶函數(shù)．設(shè) ，b = f ( 3 ) )4(log21fa?，c = f (π)．那么 a，b，c 的大小關(guān)系是____.6. (2022 年x2cos1?【解法一】 令 sinx= ,???????????430sin2,則有 y= ).4si(in2co???因?yàn)?，所以 ，?430???所以 ≤1，)sin(??所以當(dāng) ，即 x=2kπ (k∈Z)時(shí)，y min=0，?43?2當(dāng) ，即 x=2kπ+ (k∈Z)時(shí)，y max=2.?【解法二】 因?yàn)?y=sinx+ =2（因?yàn)?a+b) 2≤2( a2+