【文章內(nèi)容簡介】 講座二 三角函數(shù)第四講 三角函數(shù)的性質(zhì) 一、知識要點三角運(yùn)算的基本含義是應(yīng)用同角公式、誘導(dǎo)公式、加法定理（和、差、倍、半角公式等的統(tǒng)稱） ，對三角式作各種有目的的變形（主要指恒等變形） ，有時表現(xiàn)為計算求值、有時表現(xiàn)為推理證明。由于三角公式很多，并且存在著聯(lián)系，因此一定要注意選擇公式的目的性與簡單性。二、例題選講1．三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用例 1 設(shè) x∈(0, π), 試比較 cos(sinx)與 sin(cosx)的大小?！窘狻? 若 ，則 cosx≤1 且 cosx1，所以 cos ，????????,2 ????????0,2?x所以 sin(cosx) ≤0,又 0sinx≤1, 所以 cos(sinx)0，所以 cos(sinx)sin(cosx).若 ，則因為 sinx+cosx= (sinxcos +sin cosx)= sin(x+ )≤ ，???????2,0?24?24?2所以 0sinx cosx ，江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）11所以 cos(sinx)cos( cosx)=sin(cosx).2?綜上，當(dāng) x∈(0,π)時，總有 cos(sinx)sin(cosx).注：本例用到了三角函數(shù)的單調(diào)性和有界性及輔助角公式，值得注意的是角的討論。2．三角最值問題例 2 已知函數(shù) y=sinx+ ，求函數(shù)的最大值與最小值。x2cos1?【解法一】 令 sinx= ,???????????430sin2,則有 y= ).4si(in2co???因為 ，所以 ，?430???所以 ≤1，)sin(??所以當(dāng) ，即 x=2kπ (k∈Z)時，y min=0，?43?2當(dāng) ，即 x=2kπ+ (k∈Z)時，y max=2.?【解法二】 因為 y=sinx+ =2（因為(a+b) 2≤2( a2+b2)） ，cos1(sincos1222 xx???且|sinx|≤1≤ ，所以 0≤s inx+ ≤2，2所以當(dāng) =sinx，即 x=2kπ+ (k∈Z)時, y max=2，cos?2?當(dāng) =sinx，即 x=2kπ (k∈Z)時, y min=0。x21例 3 若 A，B，C 為△ABC 三個內(nèi)角，試求 sinA+sinB+sinC 的最大值?！窘狻? 因為 sinA+sinB=2sin cos , ①2BA?2inBA???sinC+sin , ②3si3cossin23???C又因為 ，③3sin24cos4sin2sisi ??????? CBABACBA江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）12由①，②，③得 sinA+sinB+sinC+sin ≤4sin ,3?所以 sinA+sinB+sinC≤3s in = ,2當(dāng) A=B=C= 時， （sinA+sinB+sinC） max= .3?3注：三角函數(shù)的有界性、|sinx| ≤|cosx| ≤和差化積與積化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函數(shù)的單調(diào)性等是解三角最值的常用手段。3．換元法的使用例 4 求 的值域。xycosin1??【解】 設(shè) t=sinx+cosx= ).4sin(2coin2??????????xx因為 ,1)4in(1????所以 .2t又因為 t2=1+2sinxcosx,所以 sinxcosx= ，所以 ，1?t 212???txy所以 .22?因為 t 1，所以 ，所以 y 1.?1??t所以函數(shù)值域為 .21,2????????????????y注：換元法的關(guān)鍵是保持換元前后變量取值范圍的一致性。4．圖象變換：y=s inx(x∈R)與 y=Asin( x+ )(A, , 0).??由 y=sinx 的圖象向左平移 個單位，然后保持橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?A 倍，然后再保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得到 y=Asin( x+ )的圖象；也可以由 y=sinx 的圖象先保持橫坐1江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）13標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?A 倍，再保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，最后向左平移 個單?1?位，得到 y=Asin( x+ )的圖象。??例 5 已知 f(x)=sin( x+ )( 0, 0≤ ≤π)是 R 上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點 對稱，且在??????0,43?M區(qū)間 上是單調(diào)函數(shù)，求 和 的值。??????2,0?【解】 由 f(x)是偶函數(shù)，所以 f(x)=f(x)，所以 sin( + )=sin( x+ )，所以 cos sinx=0，對任意???x∈R 成立。又 0≤ ≤π，解得 = ，?2?因為 f(x)圖象關(guān)于 對稱，所以 =0。??????0,43M)43()(xfxf???取 x=0，得 =0，所以 sin)?f .02??????????所以 (k∈Z)，即 = (2k+1) (k∈Z).243???3又 0，取 k=0 時，此時 f(x)=sin(2x+ )在[0 ， ]上是減函數(shù)；2?取 k=1 時， =2，此時 f(x)=sin(2x+ )在[0 ， ]上是減函數(shù)；取 k=2 時， ≥ ，此時 f(x)=sin( x+ )在[0， ]上不是單調(diào)函數(shù)，?310?2?綜上， = 或 5．三角公式的應(yīng)用例 6 已知△ABC 的三個內(nèi)角 A，B，C 成等差數(shù)列，且 ，試求BCAcos21cos???的值。2cosCA?【解】 因為 A=1200C，所以 cos =cos(600C)，2?江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）14又由于 )120cos(cos1)120cos(cos1 CCCA ???????= ，)2(6)](120[600 ?所以 =0。32coscos4???A解得 或 。2?CA8?C又 0，所以 。cos?2cos?A三、課外練習(xí)⒈ 已知 ，且 。則 的值是3sin)2(???? ),(2,1Zknk?????????tan)(?_________.2. 若動直線 與函數(shù) 和 的圖像分別交于 兩點，則xa()sinfx()cosgx?MN，3. 若 ，則 的取值范圍是________________. 02,sin3co???4. 把函數(shù) （ ）的圖象上所有點向左平行移動 個單位長度，再把所得圖yx?R?3?象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍（縱坐標(biāo)不變） ，得到的圖象所表示的函數(shù)是12____________.5. 函數(shù) f(x)= ( ) ?0x??6. 已知 ，且 在區(qū)間 有最小值，無()i)63f ff??????????????????， ()fx63???????，最大值，則 ＝____． 7. 已知函數(shù) f(x)＝ 為偶函數(shù)，且函數(shù) y＝ f(x)圖象的)0,0)(cos)sin(3 ???????πxx兩相鄰對稱軸間的距離為 .2π（Ⅰ）求 f（ ）的值；8（Ⅱ）將函數(shù) y＝f( x)的圖象向右平移 個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標(biāo)舒暢長到原來的 46倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù) y＝g(x)的圖象，求 g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間 .江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）158. 若 1 17(),()cos(in)si(cos),(,).2tftgxfxfx????????（Ⅰ）將函數(shù) 化簡成 （ ， ， ）的形式；iAB??0A??[0?（Ⅱ）求函數(shù) 的值域.()9. 設(shè)函數(shù) ， ，232cos4incos44xfxttt????xR其中 ，將 的最小值記為 ．1t≤ ()f()g（I）求 的表達(dá)式；()g（II）討論 在區(qū)間 內(nèi)的單調(diào)性并求極值．t(1)?，10. 已知函數(shù) ， ．2π)sin3cos24fxxx????????π42???????，（I）求 的最大值和最小值；(（II）若不等式 在 上恒成立，求實數(shù) 的取值范圍．)2fxm??π4x??????， m11. 已知函數(shù) ， ．(cos1f????????1()sin2gx??（I）設(shè) 是函數(shù) 圖象的一條對稱軸，求 的值．0x()yfx0()g（II）求函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間．()h12. 如圖，函數(shù) 的圖象與 軸交于點 ，且在該點處切線π2cos()0)2?????R， ≤ ≤ y(03)，的斜率為 ．?（1）求 和 的值；?（2）已知點 ，點 是該函數(shù)圖象上一點，點 是π02A??????， P0()Qxy，的中點，當(dāng) ， 時，求 的值．P03y?0π2x???????， 0第五講 解三角形一、知識要點yxOAP江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）161．正弦定理： =2R（R 為△ABC 外接圓半徑） 。CcBbAasinisin?2．余弦定理：a 2=b2+c22bccosA bcaA2o???⒊ 面積公式：①S △ABC = absinC= bcsinA= acsinB；11②海倫公式：S △ABC = ，這里)()(cpbap?.2cbap??⒋ 斯特瓦特定理：在△ABC 中，D 是 BC 邊上任意一點，BD=p，DC=q，則 AD2= .2pq?注：在上式中，若 p=q，則為中線長公式 .2acbA???二、例題選講1．正弦定理的應(yīng)用例 1 在 中，角 所對應(yīng)的邊分別為 ， ，ABC?, ,abc23?tant4,2ABC??，求 及2sincosi?,AB,c【解】 由 得tatn42?otn4C?∴ ∴csi2inoC?1sinco2?∴ ，又1si2(0,)??∴ 56??， 或由 得 sincosiBCA2sincosi()BC??即 ∴()0?6??2()3ABC?江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）17由正弦定理 得sinisinabcABC?123sibc??例 2 如圖所示，△ABC 內(nèi)有一點 P，使得 BPC BAC= CPA CBA= APB ACB。??求證：APBC=BPCA=CPAB?！咀C明】 過點 P 作 PD BC，PE AC，PF AB，垂足分別為 D，E，F(xiàn)，??則 P，D，C，E；P，E，A，F(xiàn)；P，D，B，F(xiàn) 三組四點共圓，所以 EDF= PDE+ PDF= PCA+ PBA= BPC BAC。?由題設(shè)及 BPC+ CPA+ APB=3600可得 BAC+ CBA+ ACB=1800。?所以 BPC BAC= CPA CBA= APB ACB=600。所以 EDF=600，同理 DEF=600，所以△DEF 是正三角形。所以 DE=EF=DF，由正弦定理，CDsin ACB=APsin BAC=BPsin ABC，兩邊同時乘以△ABC 的外?接圓直徑 2R，得 CPBA=APBC=BPAC，得證：2．一個常用的代換：在△ABC 中，記點 A，B，C 到內(nèi)切圓的切線長分別為 x, y, z，則 a=y+z, b=z+x, c=x+y.例 3 在△ABC 中，求證：a 2(b+ca)+b2(c+ab)+c2(a+bc) ≤3abc.【證明】 令 a=y+z, b=z+x, c=x+y，則abc=(x+y)(y+z)(z+x)=8xyz=(b+ca)(a+cb)(a+bc)zxyx??8=a2(b+ca)+b2(c+ab)+c2(a+bc)2abc.所以 a2(b+ca)+b2(c+ab)+c2(a+bc) ≤3abc.3．三角換元例 4 在△ABC 中，若 a+b+c=1，求證: a 2+b2+c2+4abc .1【證明】 設(shè) a=sin2αcos 2β, b=cos 2αcos 2β, c=sin 2β, β .???????,0?因為 a, b, c 為三邊長，所以 c , c|ab|，1從而 ，所以???????4,0??sin2β|cos 2αcos 2β|.因為 1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca),AB CP江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）18所以 a2+b2+c2+4abc=12(ab+bc+ca2abc).又 ab+bc+ca2abc=c(a+b)+ab(12c)=sin2βcos 2β+sin 2αcos 2αcos 4βcos2β= [1cos22β+(1cos 22α)cos 4βcos2β]41= + cos2β(cos 4βcos 22αcos 4βcos2β) + cos2β(cos 4βsin 4βcos 2β)= .411所以 a2+b2+c2+4abc .1三、課外練習(xí)1. 已知 a， b， c 為△ ABC 的三個內(nèi)角 A， B， C 的對邊，向量 m＝（ ） ，n＝（cos A,sinA）.若1,3?m⊥n，且 acosB+bcosA=csinC，則角 B＝ 2. 下面有五個命題：①函數(shù) y=sin4xcos4x 的最小正周期是 .?②終邊在 y 軸上的角的集合是{ a|a= |.Zk?,2③在同一坐標(biāo)系中，函數(shù) y=sinx 的圖象和函數(shù) y=x 的圖象有三個公共點.④把函數(shù) .2sin36)32sin( 〔〔〔 xy ?????⑤函數(shù) .0i〔〔?x其中真命題的序號是 （寫出所有正確的序號）3. 設(shè) 的內(nèi)角 所對的邊長分別為 ，且 ．ABC△ ， ， abc， ， 3osc5BbA??（Ⅰ）求 的值；tancot（Ⅱ）求 的最大值．()?4. 在 中，角 所對應(yīng)的邊分別為 ， ，AB?, ,abc23?tant4,2C??，求 及2sincosiC?,AB,c5.