高中數(shù)學(xué)極坐標(biāo)與參數(shù)方程大題詳解資料(編輯修改稿)
2025-05-01 05:13 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 線(xiàn)的距離公式、兩角和差的正弦公式、三角函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．8．在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程（φ為參數(shù)）．以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（Ⅰ）求圓C的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程是ρ（sinθ+）=3，射線(xiàn)OM：θ=與圓C的交點(diǎn)為O，P，與直線(xiàn)l的交點(diǎn)為Q，求線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)．考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程；直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專(zhuān)題：直線(xiàn)與圓．分析：（I）圓C的參數(shù)方程（φ為參數(shù)）．消去參數(shù)可得：（x﹣1）2+y2=1．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化簡(jiǎn)即可得到此圓的極坐標(biāo)方程．（II）由直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程是ρ（sinθ+）=3，射線(xiàn)OM：θ=．可得普通方程：直線(xiàn)l，射線(xiàn)OM．分別與圓的方程聯(lián)立解得交點(diǎn)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式即可得出．解答：解：（I）圓C的參數(shù)方程（φ為參數(shù)）．消去參數(shù)可得：（x﹣1）2+y2=1．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化簡(jiǎn)得：ρ=2cosθ，即為此圓的極坐標(biāo)方程．（II）如圖所示，由直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程是ρ（sinθ+）=3，射線(xiàn)OM：θ=．可得普通方程：直線(xiàn)l，射線(xiàn)OM．聯(lián)立，解得，即Q．聯(lián)立，解得或．∴P．∴|PQ|==2．點(diǎn)評(píng)：本題考查了極坐標(biāo)化為普通方程、曲線(xiàn)交點(diǎn)與方程聯(lián)立得到的方程組的解的關(guān)系、兩點(diǎn)間的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法，屬于中檔題． 9．在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C2的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+）=4．（1）求曲線(xiàn)C1的普通方程與曲線(xiàn)C2的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)P為曲線(xiàn)C1上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到C2上點(diǎn)的距離的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專(zhuān)題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程．分析：（1）由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系把參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，利用直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化公式x=ρcosθ、y=ρsinθ，把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程．（2）求得橢圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)x+y﹣8=0的距離為，可得d的最小值，以及此時(shí)的α的值，從而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．解答：解：（1）由曲線(xiàn)C1：，可得，兩式兩邊平方相加得：，即曲線(xiàn)C1的普通方程為：．由曲線(xiàn)C2：得：，即ρsinθ+ρcosθ=8，所以x+y﹣8=0，即曲線(xiàn)C2的直角坐標(biāo)方程為：x+y﹣8=0．（2）由（1）知橢圓C1與直線(xiàn)C2無(wú)公共點(diǎn)，橢圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)x+y﹣8=0的距離為，∴當(dāng)時(shí)，d的最小值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查把參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題． 10．已知直線(xiàn)l的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cos（θ+）．（Ⅰ）求圓心C的直角坐標(biāo)；（Ⅱ）由直線(xiàn)l上的點(diǎn)向圓C引切線(xiàn)，求切線(xiàn)長(zhǎng)的最小值．考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專(zhuān)題：計(jì)算題．分析：（I）先利用三角函數(shù)的和角公式展開(kāi)圓C的極坐標(biāo)方程的右式，再利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，進(jìn)行代換即得圓C的直角坐標(biāo)方程，從而得到圓心C的直角坐標(biāo)．（II）欲求切線(xiàn)長(zhǎng)的最小值，轉(zhuǎn)化為求直線(xiàn)l上的點(diǎn)到圓心的距離的最小值，故先在直角坐標(biāo)系中算出直線(xiàn)l上的點(diǎn)到圓心的距離的最小值，再利用直角三角形中邊的關(guān)系求出切線(xiàn)長(zhǎng)的最小值即可．解答：解：（I）∵，∴，∴圓C的直角坐標(biāo)方程為，即，∴圓心直角坐標(biāo)為．（5分）（II）∵直線(xiàn)l的普通方程為，圓心C到直線(xiàn)l距離是，∴直線(xiàn)l上的點(diǎn)向圓C引的切線(xiàn)長(zhǎng)的最小值是（10分）點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫(huà)點(diǎn)的位置，體會(huì)在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中刻畫(huà)點(diǎn)的位置的區(qū)別，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化． 11．在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)），曲線(xiàn)C1的方程為ρ（ρ﹣4sinθ）=12，定點(diǎn)A（6，0），點(diǎn)P是曲線(xiàn)C1上的動(dòng)點(diǎn)，Q為AP的中點(diǎn)．（1）求點(diǎn)Q的軌跡C2的
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