【正文】 ③1????????nn又 0，21?x由③可知對(duì)任意 n∈N+， 0 且 ,2??nx ?????????????????2lg2lg1nnxx江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）34所以 是首項(xiàng)為 ，公比為 2 的等比數(shù)列。3 n+β所以 + = 2n + b（n?N），則｛a n｝為等比數(shù)列的充要條件是________．2 設(shè)等差數(shù)列｛a n｝的前 n 項(xiàng)和為 Sn，若 S7＝56， Sn＝420， an－3 ＝34，則 n＝________．,a 3+a7a10=8,a11a4=4, S13 {an} 的前 n 項(xiàng)之和為 Sn，若 S10=10，S30=70， S40= 5 （2022 年全國(guó)）設(shè){a n}是首項(xiàng)為 1 的正項(xiàng)數(shù)列，且(n+1)a n+12nan2+an+1an=0，(n=1,2,3,…),則它的通項(xiàng)公式是 an= .江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）30第八講 數(shù)學(xué)歸納法競(jìng)賽常用定理定理 1 第一數(shù)學(xué)歸納法：給定命題 p(n)，若：（1）p(n 0)成立；（2）當(dāng) p(n)時(shí) n=k 成立時(shí)能推出 p(n)對(duì)n=k+1 成立，則由（1） ， （2）可得命題 p(n)對(duì)一切自然數(shù) n≥n 0 成立。(2)本題還 可以利用方程與不等式的思想來(lái)解，即 Sn 最大當(dāng)且僅當(dāng) an0 同時(shí) an+10，解這個(gè)不等式組即可。|A|AE三、課外練習(xí)1. 若向量 ， 滿足 且 與 的夾角為 ，則 　　　?。?a?b12??， a?b3?ab???2. 已知平面向量 ， ．若 ，則 _____________． (,4)(,)?()c???|c3. 直角坐標(biāo)平面上三點(diǎn) ，若 為線段 的三等分點(diǎn)，則 = 39,7ABC、 、 EF、 BCAEF???．4. 已知 0，若平面內(nèi)三點(diǎn) A（1， ） ，B（2， ） ，C（3， ）共線，則 =5. 已知 ，b 是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量 滿足 ,則 的最大值c0)(???cb是____.江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）23?又 EA AB，CH AB，所以 AHCE 為平行四邊形。BC=BP2cosCA?【解】 因?yàn)?A=1200C，所以 cos =cos(600C)，2?江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）14又由于 )120cos(cos1)120cos(cos1 CCCA ???????= ，)2(6)](120[600 ?所以 =0。二．知識(shí)要點(diǎn)：如果函數(shù) y＝f (x)對(duì)于定義域內(nèi)任意的 x，存在一個(gè)不等于 0 的常數(shù) T，使得 f(x＋T)＝f(x)恒成立，則稱函數(shù) f(x)是周期函數(shù)，T 是它的一個(gè)周期.一般情況下，如果 T 是函數(shù) f(x)的周期，則 kT(k∈ N＋ )也是 f(x)的周期2. 周期性的幾個(gè)結(jié)論①若 f（x+a）＝f（x +b） （a≠b） ，則 f（x）是周期函數(shù)，︱b－a︱是它的一個(gè)周期；②若 f（x+a）＝－f（x ） （a≠ 0） ，則 f（x）是周期函數(shù)，2a 是它的一個(gè)周期；③若 f（x+a）＝ （a≠0 且 f（x）≠0） ，則 是周期函數(shù) 2a 是它的一個(gè)周期.)(1f )(xf三．例題講解例 1 已知函數(shù) f ( x )，對(duì)任意實(shí)數(shù) x，有下面四個(gè)關(guān)系式成立： （1）f ( x ) =－f (x+a)（a 為非零常數(shù)） ； （2）f ( x ) = f (a－x)（a 為非零常數(shù)） ； （3）f (a－x ) = f (b－x)（a,b 為常數(shù)且 a2 + b2≠0） （4）f (a－x) =－f (b－x)(a,b 為常數(shù)且 a2+b2≠0） 其中使 f ( x )是周期函數(shù)的關(guān)系式是_______． 【答案】 （1） ， （3） ， （4）【解析】考查（1） ，f ( x )=－f (x+a)說(shuō)明“兩個(gè)自變數(shù)相差 a，則函數(shù)值互為相反數(shù)”，于是相差 2a 時(shí)，函數(shù)值相等： f ( x )=－f (x+a) = f (x+2a) ∴ 等式（1）使 f ( x )是周期函數(shù)，且 2a 是周期；考查（2） ，f ( x )=f (a－x )表明函數(shù) f ( x )的圖像關(guān)于直線 對(duì)稱，這不一定能使其為周期函數(shù)；x? 考查（3） ，f (a－x )= f (b－x )表明自變數(shù)相差 a－b 時(shí)， 函數(shù)值相等， 即 f ( x ) = f (a－b+x) ∴ 等式（3）使 f (x)是周期函數(shù)，且 a－b 是周期． 考查（4） ，f (a－x ) =－f (b－x)表明自變數(shù)相差 a－b 時(shí)，函數(shù)值互為相反數(shù)，于是相差 2（a－b）時(shí)，函數(shù)值相等．故（4）同（1） ，能使 f ( x )為周期函數(shù)，且 2（a－b）是周期．江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）8 綜上所述，應(yīng)填（1） ， （3） ， （4） ． 例 2 f ( x )是 R 上的以 2 為周期的周期函數(shù)，又是奇函數(shù)，且 x∈(0，1)時(shí)， 則 f ( x ) 在（1，2）上xf??log)(2 （A）是增函數(shù)，且 f ( x )＞0 （B ）是減函數(shù)，且 f ( x )＞0 （C）是增函數(shù)，且 f ( x )＜0 （D ）是減函數(shù)，且 f ( x )＜0【答案】C【講解】認(rèn)識(shí) f ( x )在（1，2 ）上的性質(zhì)，可以把 f ( x )在（ 1，2）上的解析式求出來(lái)，或者由 f ( x )的性質(zhì)去推斷： ∵ f ( x )的周期是 2． ∴ f ( x )在（1，2）和（－1，0）的性質(zhì)一致， ∵ f ( x )是奇函數(shù)，∴ f ( x )在（－1，0）和（0，1）上的增減性相同，但符號(hào)相反．因此，函數(shù) f (x)在（0 , 1）上與（1，2）上的增減性相同，而符號(hào)相反．【解法 1】0＜x＜１?0＜１－x＜１ ??log2??在（0，1）上，1－x 是減函數(shù)， 是增函數(shù) 是增函數(shù)， x?1x??1log2于是，f ( x ) 在（1，2）上是增函數(shù)，且 f ( x )＜0．故選（C） ． 【解法 2】設(shè) x∈(1 ，2) 則－ 1＜x －2＜0 且 f ( x ) = f (x－2) ，∵ －1＜x－2＜0, ∴ 0＜2－x＜1 于是， 1log)(log)( 2????f∵ f (x) 是奇函數(shù)，∴ f (2－x)＝－f (x－2)， ∴ l1l22?x可見(jiàn)，f (x) 在（1，2）上是增函數(shù)，且 f (x )＜0故選（C） ．例 f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù) x,都有 f(x＋m)＝f(x－m),求證 :2m 是 f(x)的一個(gè)周期. 【證明】：因?yàn)?f(x＋m)＝f(x－m)令 x－m＝t，則 x＋m＝t ＋2m 于是 f(t＋2m)＝f(t) 對(duì)于 t∈R 恒成立， 所以 f(x)是以 2m 為周期的周期函數(shù).例 f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù) x,都有 f(x＋m)＝ )(1xf??求證:2m 是 f(x)的一個(gè)周期.【證明】：由已知 f(x＋2m)＝f[(x＋m)＋m] ＝f(x)所以 f(x)是以 2m 為周期的周期函數(shù).例 f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù) x,都有 f(a＋x) ＝f(a －x) 且 f(b＋x)＝f(b －x),求證:2|a－b|是 f(x)的一個(gè)周期.(a≠b)【證明】：不妨設(shè) a＞b于是 f(x＋2(a －b)) ＝f(a ＋(x ＋a －2b)) ＝f(a －(x ＋a－2b))＝f(2b －x) ＝f(b－(x －b))＝f(b＋(x－b)) ＝f(x)∴ 2(a－b)是 f(x)的一個(gè)周期1()()()fxmff????江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）9當(dāng) a＜b 時(shí)同理可得所以，2|a－b| 是 f(x)的周期例 f(x)的定義域?yàn)?N，且對(duì)任意正整數(shù) x，都有 f(x)＝f(x －1)＋f(x＋1)若 f(0)＝2022，求 f(2022)【解】：因?yàn)?f(x)＝f(x －1)＋f(x＋1) 所以 f(x＋1)＝f(x)＋f(x ＋2)兩式相加得 0＝f(x －1)＋f(x ＋ 2) 即：f(x＋3)＝－f(x )∴ f(x＋6) ＝f(x )f(x)是以 6 為周期的周期函數(shù)∵2022＝6334 ∴ f (2022)＝f (0)＝2022例 7 f (x)是 R 上的奇函數(shù)，且對(duì)任何實(shí)數(shù) x，總有 f (x+2)＝－f (x )，且 x?[0，1]時(shí)，f (x)＝x，則 f (x)在 R 上的解析式為 ． 【解】∵ f (x+2) ＝－f (x )，∴ f (x+4)＝－f (x+2)＝f (x)， ∴ f (x)是周期函數(shù)，4 是周期．∵ f (－x) ＝－f (x )．∴ f (x+2)＝f (－x )， ∴ f (x)的圖像關(guān)于 x＝1 對(duì)稱，由上述這些性質(zhì)，及 x?[0，1] 時(shí)，y =x，得知 f (x)的圖像如下：其中斜率為 1 的線段過(guò)點(diǎn)（4m ，0） ，其中斜率為－1 的線段過(guò)點(diǎn)（4m +2，0） ．故解析式為 ??????? )(],3 [),24( ,) Zxmf ，例 a，b∈R，有 f(a＋b)＋f(a－b)＝2f(a)f(b) ，且 f(x)≠0⑴求證：f(x) 是偶函數(shù)；⑵若存在正整數(shù) m 使得 f(m)＝0，求滿足 f(x＋T)＝f(x) 的一個(gè) T 值(T ≠0) ⑴【證明】：令 a＝b＝0 得，f(0) ＝1(f(0) ＝0 舍去)又令 a＝0，得 f(b)＝f( －b)，即 f(x)＝f(－x)所以，f(x) 為偶函數(shù)⑵【解】：令 a＝x＋m，b＝m 得 f(x＋2m)＋f(x)＝2f(x＋m)f(m) ＝0所以 f(x＋2m)＝－f(x)于是 f(x＋4m)＝f[(x ＋2m)＋2m]=－f(x ＋2m) ＝f(x) 即 T＝4m(周期函數(shù))例 9 設(shè) f (x)的定義域?yàn)?R，其圖像關(guān)于直線 x＝2 和 x＝0 對(duì)稱，且 x?[4，6] 時(shí)， f ( x )＝2 x + 1，那么在區(qū)間[－2，0]上，f －1 ( x )的解析式為 （A）y＝log2(x－4) （B）y＝4－log2(x －1) （C）y ＝4+log2(x － 1) （D）y ＝－log2(x－1) 【答案】B【分析】如何用好 x＝2，x ＝0 是圖像對(duì)稱軸這個(gè)條件，并把兩者綜合而得新的性質(zhì)？ 這就要想到： y＝f (x)圖像關(guān)于 x＝a 對(duì)稱 ?x?R 時(shí)有 f (x)＝f (2a－x)【解】∵y＝f (x )的圖像關(guān)于 x＝0 對(duì)稱， ∴ f ( x )＝f (－x) ， ∵ y＝f (x) 的圖像關(guān)于 x＝2 對(duì)稱， ∴ f (－x) ＝f (4+x)．于是有 f ( x )＝f (4+x ) ∴ f ( x )是周期為 4 的函數(shù)， 當(dāng)－2≤x≤0 時(shí)，0≤－x ≤2 且－x + 4∈[4 ，6] ∵ y＝f (x) 的圖像關(guān)于 x＝0 對(duì)稱， ∴ f (x)＝f (－x )．∵ 周期為 4， ∴ f (－x )＝f (－x+4)＝2 －x+4 +1 即在 [－2，0]上，y ＝f (x)＝2 －x+4 +1∴ 2 －x+4 ＝y(tǒng)－1 ∴ －x+4＝log2(y－1) 江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）10∴x =4－log2( y－1) ∴ [－2，0] 上，f ?1(x)＝4－log2(x－1) 四．課后練習(xí)1. 已知函數(shù) f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù) x,都有 f(x＋m)＝－f(x), 求證:2m 是 f(x)的一個(gè)周期. f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù) x,都有 f(x＋m)= － ， 求證:4m 是 f(x)的一個(gè)周期..)(1xf??3. 函數(shù) 對(duì)于任意實(shí)數(shù) 滿足條件 ，若 則??fxx??2f???15,f??__________。)(xf?f ⑵ =? ，則函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。二．知識(shí)要點(diǎn)單調(diào)性的定義，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，抽象函數(shù)的單調(diào)性三．例題講解例 是 上的減函數(shù)，那么 的取值范圍是????????1)(x log4)13()axfa(,)???a（A） （B）(0, 1(0,3（C） （D）[)73 [)7【答案】C【解析】由題意知 在 上為減函數(shù)，所以 ①，)1(log(??xxfa),(??10?a 在 上為減函數(shù)，所以 ②，且當(dāng) 時(shí)，4)1)(???axf ?3?1?x ③，由①②③得答案為 C.??例 2 已知函數(shù) ，判斷該函數(shù)在區(qū)間 上的單調(diào)性，并說(shuō)明理由．f( ?),?【講解】用定義判斷。、偶函數(shù)的定義域必是關(guān)于數(shù)軸原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)域。先畫出當(dāng) x＜1 時(shí)，f（x）＝2x 2－x+1 的圖像，根據(jù)對(duì)稱性畫出當(dāng) x＞1 時(shí)的圖像，得到 f（x）的遞減區(qū)間是 C例 f(x)是 R 上的奇函數(shù)，且 f(x＋3)＝－f(x)，當(dāng) 0≤x≤ 時(shí)，f( x)＝x ，則 f(2022)＝( )3A.－1 【答案】A【解析】法一：∵f(x ＋3)＝－f(x)，∴f(x＋6)＝－f(x＋3