【正文】 的常數(shù) T，使得 f(x＋T)＝f(x)恒成立，則稱函數(shù) f(x)是周期函數(shù)，T 是它的一個周期.一般情況下，如果 T 是函數(shù) f(x)的周期，則 kT(k∈ N＋ )也是 f(x)的周期2. 周期性的幾個結(jié)論①若 f（x+a）＝f（x +b） （a≠b） ，則 f（x）是周期函數(shù)，︱b－a︱是它的一個周期；②若 f（x+a）＝－f（x ） （a≠ 0） ，則 f（x）是周期函數(shù)，2a 是它的一個周期；③若 f（x+a）＝ （a≠0 且 f（x）≠0） ，則 是周期函數(shù) 2a 是它的一個周期.)(1f )(xf三．例題講解例 1 已知函數(shù) f ( x )，對任意實數(shù) x，有下面四個關(guān)系式成立： （1）f ( x ) =－f (x+a)（a 為非零常數(shù)） ； （2）f ( x ) = f (a－x)（a 為非零常數(shù)） ； （3）f (a－x ) = f (b－x)（a,b 為常數(shù)且 a2 + b2≠0） （4）f (a－x) =－f (b－x)(a,b 為常數(shù)且 a2+b2≠0） 其中使 f ( x )是周期函數(shù)的關(guān)系式是_______． 【答案】 （1） ， （3） ， （4）【解析】考查（1） ，f ( x )=－f (x+a)說明“兩個自變數(shù)相差 a，則函數(shù)值互為相反數(shù)”，于是相差 2a 時，函數(shù)值相等： f ( x )=－f (x+a) = f (x+2a) ∴ 等式（1）使 f ( x )是周期函數(shù)，且 2a 是周期；考查（2） ，f ( x )=f (a－x )表明函數(shù) f ( x )的圖像關(guān)于直線 對稱，這不一定能使其為周期函數(shù)；x? 考查（3） ，f (a－x )= f (b－x )表明自變數(shù)相差 a－b 時， 函數(shù)值相等， 即 f ( x ) = f (a－b+x) ∴ 等式（3）使 f (x)是周期函數(shù)，且 a－b 是周期． 考查（4） ，f (a－x ) =－f (b－x)表明自變數(shù)相差 a－b 時，函數(shù)值互為相反數(shù)，于是相差 2（a－b）時，函數(shù)值相等．故（4）同（1） ，能使 f ( x )為周期函數(shù)，且 2（a－b）是周期．江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）8 綜上所述，應(yīng)填（1） ， （3） ， （4） ． 例 2 f ( x )是 R 上的以 2 為周期的周期函數(shù)，又是奇函數(shù)，且 x∈(0，1)時， 則 f ( x ) 在（1，2）上xf??log)(2 （A）是增函數(shù)，且 f ( x )＞0 （B ）是減函數(shù)，且 f ( x )＞0 （C）是增函數(shù)，且 f ( x )＜0 （D ）是減函數(shù)，且 f ( x )＜0【答案】C【講解】認識 f ( x )在（1，2 ）上的性質(zhì)，可以把 f ( x )在（ 1，2）上的解析式求出來，或者由 f ( x )的性質(zhì)去推斷： ∵ f ( x )的周期是 2． ∴ f ( x )在（1，2）和（－1，0）的性質(zhì)一致， ∵ f ( x )是奇函數(shù)，∴ f ( x )在（－1，0）和（0，1）上的增減性相同，但符號相反．因此，函數(shù) f (x)在（0 , 1）上與（1，2）上的增減性相同，而符號相反．【解法 1】0＜x＜１?0＜１－x＜１ ??log2??在（0，1）上，1－x 是減函數(shù)， 是增函數(shù) 是增函數(shù)， x?1x??1log2于是，f ( x ) 在（1，2）上是增函數(shù)，且 f ( x )＜0．故選（C） ． 【解法 2】設(shè) x∈(1 ，2) 則－ 1＜x －2＜0 且 f ( x ) = f (x－2) ，∵ －1＜x－2＜0, ∴ 0＜2－x＜1 于是， 1log)(log)( 2????f∵ f (x) 是奇函數(shù)，∴ f (2－x)＝－f (x－2)， ∴ l1l22?x可見，f (x) 在（1，2）上是增函數(shù)，且 f (x )＜0故選（C） ．例 f(x)對任意實數(shù) x,都有 f(x＋m)＝f(x－m),求證 :2m 是 f(x)的一個周期. 【證明】：因為 f(x＋m)＝f(x－m)令 x－m＝t，則 x＋m＝t ＋2m 于是 f(t＋2m)＝f(t) 對于 t∈R 恒成立， 所以 f(x)是以 2m 為周期的周期函數(shù).例 f(x)對任意實數(shù) x,都有 f(x＋m)＝ )(1xf??求證:2m 是 f(x)的一個周期.【證明】：由已知 f(x＋2m)＝f[(x＋m)＋m] ＝f(x)所以 f(x)是以 2m 為周期的周期函數(shù).例 f(x)對任意實數(shù) x,都有 f(a＋x) ＝f(a －x) 且 f(b＋x)＝f(b －x),求證:2|a－b|是 f(x)的一個周期.(a≠b)【證明】：不妨設(shè) a＞b于是 f(x＋2(a －b)) ＝f(a ＋(x ＋a －2b)) ＝f(a －(x ＋a－2b))＝f(2b －x) ＝f(b－(x －b))＝f(b＋(x－b)) ＝f(x)∴ 2(a－b)是 f(x)的一個周期1()()()fxmff????江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）9當 a＜b 時同理可得所以，2|a－b| 是 f(x)的周期例 f(x)的定義域為 N，且對任意正整數(shù) x，都有 f(x)＝f(x －1)＋f(x＋1)若 f(0)＝2022，求 f(2022)【解】：因為 f(x)＝f(x －1)＋f(x＋1) 所以 f(x＋1)＝f(x)＋f(x ＋2)兩式相加得 0＝f(x －1)＋f(x ＋ 2) 即：f(x＋3)＝－f(x )∴ f(x＋6) ＝f(x )f(x)是以 6 為周期的周期函數(shù)∵2022＝6334 ∴ f (2022)＝f (0)＝2022例 7 f (x)是 R 上的奇函數(shù)，且對任何實數(shù) x，總有 f (x+2)＝－f (x )，且 x?[0，1]時，f (x)＝x，則 f (x)在 R 上的解析式為 ． 【解】∵ f (x+2) ＝－f (x )，∴ f (x+4)＝－f (x+2)＝f (x)， ∴ f (x)是周期函數(shù)，4 是周期．∵ f (－x) ＝－f (x )．∴ f (x+2)＝f (－x )， ∴ f (x)的圖像關(guān)于 x＝1 對稱，由上述這些性質(zhì)，及 x?[0，1] 時，y =x，得知 f (x)的圖像如下：其中斜率為 1 的線段過點（4m ，0） ，其中斜率為－1 的線段過點（4m +2，0） ．故解析式為 ??????? )(],3 [),24( ,) Zxmf ，例 a，b∈R，有 f(a＋b)＋f(a－b)＝2f(a)f(b) ，且 f(x)≠0⑴求證：f(x) 是偶函數(shù)；⑵若存在正整數(shù) m 使得 f(m)＝0，求滿足 f(x＋T)＝f(x) 的一個 T 值(T ≠0) ⑴【證明】：令 a＝b＝0 得，f(0) ＝1(f(0) ＝0 舍去)又令 a＝0，得 f(b)＝f( －b)，即 f(x)＝f(－x)所以，f(x) 為偶函數(shù)⑵【解】：令 a＝x＋m，b＝m 得 f(x＋2m)＋f(x)＝2f(x＋m)f(m) ＝0所以 f(x＋2m)＝－f(x)于是 f(x＋4m)＝f[(x ＋2m)＋2m]=－f(x ＋2m) ＝f(x) 即 T＝4m(周期函數(shù))例 9 設(shè) f (x)的定義域為 R，其圖像關(guān)于直線 x＝2 和 x＝0 對稱，且 x?[4，6] 時， f ( x )＝2 x + 1，那么在區(qū)間[－2，0]上，f －1 ( x )的解析式為 （A）y＝log2(x－4) （B）y＝4－log2(x －1) （C）y ＝4+log2(x － 1) （D）y ＝－log2(x－1) 【答案】B【分析】如何用好 x＝2，x ＝0 是圖像對稱軸這個條件，并把兩者綜合而得新的性質(zhì)？ 這就要想到： y＝f (x)圖像關(guān)于 x＝a 對稱 ?x?R 時有 f (x)＝f (2a－x)【解】∵y＝f (x )的圖像關(guān)于 x＝0 對稱， ∴ f ( x )＝f (－x) ， ∵ y＝f (x) 的圖像關(guān)于 x＝2 對稱， ∴ f (－x) ＝f (4+x)．于是有 f ( x )＝f (4+x ) ∴ f ( x )是周期為 4 的函數(shù)， 當－2≤x≤0 時，0≤－x ≤2 且－x + 4∈[4 ，6] ∵ y＝f (x) 的圖像關(guān)于 x＝0 對稱， ∴ f (x)＝f (－x )．∵ 周期為 4， ∴ f (－x )＝f (－x+4)＝2 －x+4 +1 即在 [－2，0]上，y ＝f (x)＝2 －x+4 +1∴ 2 －x+4 ＝y(tǒng)－1 ∴ －x+4＝log2(y－1) 江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）10∴x =4－log2( y－1) ∴ [－2，0] 上，f ?1(x)＝4－log2(x－1) 四．課后練習(xí)1. 已知函數(shù) f(x)對任意實數(shù) x,都有 f(x＋m)＝－f(x), 求證:2m 是 f(x)的一個周期. f(x)對任意實數(shù) x,都有 f(x＋m)= － ， 求證:4m 是 f(x)的一個周期..)(1xf??3. 函數(shù) 對于任意實數(shù) 滿足條件 ，若 則??fxx??2f???15,f??__________?！窘狻? 因為 sinA+sinB=2sin cos , ①2BA?2inBA???sinC+sin , ②3si3cossin23???C又因為 ，③3sin24cos4sin2sisi ??????? CBABACBA江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）12由①，②，③得 sinA+sinB+sinC+sin ≤4sin ,3?所以 sinA+sinB+sinC≤3s in = ,2當 A=B=C= 時， （sinA+sinB+sinC） max= .3?3注：三角函數(shù)的有界性、|sinx| ≤|cosx| ≤和差化積與積化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函數(shù)的單調(diào)性等是解三角最值的常用手段。2cosCA?【解】 因為 A=1200C，所以 cos =cos(600C)，2?江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）14又由于 )120cos(cos1)120cos(cos1 CCCA ???????= ，)2(6)](120[600 ?所以 =0。CA=CPBC=BP()pxy39。?又 EA AB，CH AB，所以 AHCE 為平行四邊形。?4．向量的坐標運算。|A|AE三、課外練習(xí)1. 若向量 ， 滿足 且 與 的夾角為 ，則 　　　?。?a?b12??， a?b3?ab???2. 已知平面向量 ， ．若 ，則 _____________． (,4)(,)?()c???|c3. 直角坐標平面上三點 ，若 為線段 的三等分點，則 = 39,7ABC、 、 EF、 BCAEF???．4. 已知 0，若平面內(nèi)三點 A（1， ） ，B（2， ） ，C（3， ）共線，則 =5. 已知 ，b 是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量 滿足 ,則 的最大值c0)(???cb是____.江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）23江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）242．遞推數(shù)列： ，解決 這類問題時一般都要與兩類特殊數(shù)列相聯(lián)系， 設(shè)法轉(zhuǎn)?????)(1nnaf化為等差數(shù)列與等比數(shù)列的有關(guān)問題，然后解決。(2)本題還 可以利用方程與不等式的思想來解，即 Sn 最大當且僅當 an0 同時 an+10，解這個不等式組即可。例 5 已知數(shù)列{a n}的各項均為正數(shù)，且前 n 項之和 Sn 滿足 6Sn=an2+3an+ a2，a 4,a9 成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項公式。 2n + b（n?N），則｛a n｝為等比數(shù)列的充要條件是________．2 設(shè)等差數(shù)列｛a n｝的前 n 項和為 Sn，若 S7＝56， Sn＝420， an－3 ＝34，則 n＝________．,a 3+a7a10=8,a11a4=4, S13 {an} 的前 n 項之和為 Sn，若 S10=10，S30=70， S40= 5 （2022 年全國）設(shè){a n}是首項為 1 的正項數(shù)列，且(n+1)a n+12nan2+an+1an=0，(n=1,2,3,…),則它的通項公式是 an= .江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）30第八講 數(shù)學(xué)歸納法競賽常用定理定理 1 第一數(shù)學(xué)歸納法：給定命題 p(n)，若：（1）p(n 0)成立；（2）當 p(n)時 n=k 成立時能推出 p(n)對n=k+1 成立，則由（1） ， （2）可得命題 p(n)對一切自然數(shù) n≥n 0 成立。2）假設(shè)當 n≤k 時猜想成立。所以 + = ??????na2【證明】 由遞推公式可知，數(shù)列{a n}前幾項為 1，1，2 ，3，5，8，13。3 n+βa0=?2n???k12.)(注： C1 ③1????????nn又 0，21?x由③可知對任意 n∈N+， 0 且 ,2??nx ?????????????????2lg2lg1nnxx江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）34所以 是首項為 ，公比為 2 的等比數(shù)