【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ，則它的另一個(gè)根是 ．（4）方程2x2＋2x－1＝0的兩根為x1和x2，則| x1－x2|＝ ．3．試判定當(dāng)m取何值時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1) x＋1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？沒(méi)有實(shí)數(shù)根？4．求一個(gè)一元二次方程，使它的兩根分別是方程x2－7x－1＝0各根的相反數(shù)．B 組1．選擇題:若關(guān)于x的方程x2＋(k2－1) x＋k＋1＝0的兩根互為相反數(shù)，則k的值為 ( ) （A）1，或－1 （B）1 （C）－1 （D）02．填空:（1）若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m2n＋mn2－mn的值等于 ．（2）如果a，b是方程x2＋x－1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么代數(shù)式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是 ．3．已知關(guān)于x的方程x2－kx－2＝0．（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）設(shè)方程的兩根為x1和x2，如果2(x1＋x2)＞x1x2，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩根為x1和x2．求：（1）| x1－x2|和；（2）x13＋x23．5．關(guān)于x的方程x2＋4x＋m＝0的兩根為x1，x2滿足| x1－x2|＝2，求實(shí)數(shù)m的值．C 組1．選擇題：（1）已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)恰好是方程2x2－8x＋7＝0的兩根，則這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)等于 （ ） （A） （B）3 （C）6 （D）9（2）若x1，x2是方程2x2－4x＋1＝0的兩個(gè)根，則的值為 （ ） （A）6 （B）4 （C）3 （D）（3）如果關(guān)于x的方程x2－2(1－m)x＋m2＝0有兩實(shí)數(shù)根α，β，則α＋β的取值范圍為 （ ） （A）α＋β≥ （B）α＋β≤ （C）α＋β≥1 （D）α＋β≤1 （4）已知a，b，c是ΔABC的三邊長(zhǎng)，那么方程cx2＋(a＋b)x＋＝0的根的情況是( ) （A）沒(méi)有實(shí)數(shù)根 （B）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（C）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 （D）有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根2．填空：若方程x2－8x＋m＝0的兩根為x1，x2，且3x1＋2x2＝18，則m＝ ．3． 已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）是否存在實(shí)數(shù)k，使(2x1－x2)( x1－2 x2)＝－成立？若存在，求出k的值；若不存在，說(shuō)明理由；（2）求使－2的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)k的整數(shù)值；（3）若k＝－2，試求的值．4．已知關(guān)于x的方程．（1）求證：無(wú)論m取什么實(shí)數(shù)時(shí)，這個(gè)方程總有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根；（2）若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2滿足|x2|＝|x1|＋2，求m的值及相應(yīng)的x1，x2．5．若關(guān)于x的方程x2＋x＋a＝0的一個(gè)大于零一根小于1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．2．2 二次函數(shù) 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象和性質(zhì)情境設(shè)置：可先讓學(xué)生通過(guò)具體實(shí)例探索二次函數(shù)的圖象，如作圖（1） (2) (3) 問(wèn)題1 函數(shù)y＝ax2與y＝x2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？為了研究這一問(wèn)題，我們可以先畫(huà)出y＝2x2，y＝x2，y＝－2x2的圖象，通過(guò)這些函數(shù)圖象與函數(shù)y＝x2的圖象之間的關(guān)系，推導(dǎo)出函數(shù)y＝ax2與y＝x2的圖象之間所存在的關(guān)系．先畫(huà)出函數(shù)y＝x2，y＝2x2的圖象．先列表：x…－3－2－10123…x2…9410149…2x2…188202818從表中不難看出，要得到2x2的值，只要把相應(yīng)的x2的值擴(kuò)大兩倍就可以了．再描點(diǎn)、連線，就分別得到了函數(shù)y＝x2，y＝2x2的圖象（如圖2－1所示），從圖2－1我們可以得到這兩個(gè)函數(shù)圖象之間的關(guān)系：函數(shù)y＝2x2的圖象可以由函數(shù)y＝x2的圖象各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的兩倍得到．同學(xué)們也可以用類似于上面的方法畫(huà)出函數(shù)y＝x2，y＝－2x2的圖象，并研究這兩個(gè)函數(shù)圖象與函數(shù)y＝x2的圖象之間的關(guān)系．通過(guò)上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：二次函數(shù)y＝ax2(a≠0)的圖象可以由y＝x2的圖象各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的a倍得到．在二次函數(shù)y＝ax2(a≠0)中，二次項(xiàng)系數(shù)a決定了圖象的開(kāi)口方向和在同一個(gè)坐標(biāo)系中的開(kāi)口的大小．問(wèn)題2 函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k與y＝ax2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？xyO－1y＝2x2y＝2(x＋1)2y＝2(x＋1)2＋1同樣地，我們可以利用幾個(gè)特殊的函數(shù)圖象之間的關(guān)系來(lái)研究它們之間的關(guān)系．同學(xué)們可以作出函數(shù)y＝2(x＋1)2＋1與y＝2x2的圖象（如圖2－2所示），從函數(shù)的同學(xué)我們不難發(fā)現(xiàn)，只要把函數(shù)y＝2x2的圖象向左平移一個(gè)單位，再向上平移一個(gè)單位，就可以得到函數(shù)y＝2(x＋1)2＋1的圖象．這兩個(gè)函數(shù)圖象之間具有“形狀相同，位置不同”的特點(diǎn)．類似地，還可以通過(guò)畫(huà)函數(shù)y＝－3x2，y＝－3(x－1)2＋1的圖象，研究它們圖象之間的相互關(guān)系．通過(guò)上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：二次函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a決定了二次函數(shù)圖象的開(kāi)口大小及方向；h決定了二次函數(shù)圖象的左右平移，而且“h正左移，h負(fù)右移”；k決定了二次函數(shù)圖象的上下平移，而且“k正上移，k負(fù)下移”．由上面的結(jié)論，我們可以得到研究二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象的方法：由于y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋)＋c＝a(x2＋＋)＋c－ ，所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象可以看作是將函數(shù)y＝ax2的圖象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性質(zhì)：（1）當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象開(kāi)口向上；頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線x＝－；當(dāng)x＜時(shí)，y隨著x的增大而減??；當(dāng)x＞時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)取最小值y＝． （2）當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象開(kāi)口向下；頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線x＝－；當(dāng)x＜時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x＞時(shí)，y隨著x的增大而減?。划?dāng)x＝時(shí)，函數(shù)取最大值y＝． xyOx＝－AxyOx＝－A 上述二次函數(shù)的性質(zhì)可以分別通過(guò)圖2．2－3和圖2．2－4直觀地表示出來(lái)．因此，在今后解決二次函數(shù)問(wèn)題時(shí)，可以借助于函數(shù)圖像、利用數(shù)形結(jié)合的思想方法來(lái)解決問(wèn)題．y＝x2y＝2x2xOy例1 求二次函數(shù)y＝－3x2－6x＋1圖象的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最大值（或最小值），并指出當(dāng)x取何值時(shí)，y隨x的增大而增大（或減?。?？并畫(huà)出該函數(shù)的圖象．xOyx＝－1A(－1,4)D(0,1)BC－5解：∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4，∴函數(shù)圖象的開(kāi)口向下；對(duì)稱軸是直線x＝－1；頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，4)；當(dāng)x＝－1時(shí)，函數(shù)y取最大值y＝4；當(dāng)x＜－1時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x＞－1時(shí)，y隨著x的增大而減?。徊捎妹椟c(diǎn)法畫(huà)圖，選頂點(diǎn)A(－1，4))，與x軸交于點(diǎn)B和C，與y軸的交點(diǎn)為D(0，1)，過(guò)這五點(diǎn)畫(huà)出圖象（如圖2－5所示）．說(shuō)明：從這個(gè)例題可以看出，根據(jù)配方后得到的性質(zhì)畫(huà)函數(shù)的圖象，可以直接選出關(guān)鍵點(diǎn)，減少了選點(diǎn)的盲目性，使畫(huà)圖更簡(jiǎn)便、圖象更精確．函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象作圖要領(lǐng)：（1） 確定開(kāi)口方向：由二次項(xiàng)系數(shù)a決定（2） 確定對(duì)稱軸：對(duì)稱軸方程為（3） 確定圖象與x軸的交點(diǎn)情況，①若△0則與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，可由方程x2＋bx＋c=0求出②①若△=0則與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，可由方程x2＋bx＋c=0求出③①若△0則與x軸有無(wú)交點(diǎn)。（4） 確定圖象與y軸的交點(diǎn)情況,令x=0得出y=c，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）（5） 由以上各要素出草圖。練習(xí)：作出以下二次函數(shù)的草圖 （1） (2) (3) 例2 某種產(chǎn)品的成本是120元/件，試銷階段每件產(chǎn)品的售價(jià)x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間關(guān)系如下表所示：x /元130150165y/件705035若日銷售量y是銷售價(jià)x的一次函數(shù)，那么，要使每天所獲得最大的利潤(rùn)，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元？此時(shí)每天的銷售利潤(rùn)是多少？分析：由于每天的利潤(rùn)＝日銷售量y(銷售價(jià)x－120)，日銷售量y又是銷售價(jià)x的一次函數(shù)，所以，欲求每天所獲得的利潤(rùn)最大值，首先需要求出每天的利潤(rùn)與銷售價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系，然后，再由它們之間的函數(shù)關(guān)系求出每天利潤(rùn)的最大值．解：由于y是x的一次函數(shù)，于是，設(shè)y＝kx＋（B）將x＝130，y＝70；x＝150，y＝50代入方程，有 解得 k＝－1，b＝200．∴ y＝－x＋200．設(shè)每天的利潤(rùn)為z（元），則z＝(－x+200)(x－120)＝－x2＋320x－24000＝－(x－160)2＋1600，∴當(dāng)x＝160時(shí)，z取最大值1600．答：當(dāng)售價(jià)為160元/件時(shí)，每天的利潤(rùn)最大，為1600元．例3 把二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖像向上平移2個(gè)單位，再向左平移4個(gè)單位，得到函數(shù)y＝x2的圖像，求b，c的值．解法一：y＝x2＋bx＋c＝(x+)2，把它的圖像向上平移2個(gè)單位，再向左平移4個(gè)單位，得到的圖像，也就是函數(shù)y＝x2的圖像，所以， 解得b＝－8，c＝14． 解法二：把二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖像向上平移2個(gè)單位，再向左平移4個(gè)單位，得到函數(shù)y＝x2的圖像，等價(jià)于把二次函數(shù)y＝x2的圖像向下平移2個(gè)單位，再向右平移4個(gè)單位，得到函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖像． 由于把二次函數(shù)y＝x2的圖像向下平移2個(gè)單位，再向右平移4個(gè)單位，得到函數(shù)y＝(x－4)2＋2的圖像，即為y＝x2－8x＋14的圖像，∴函數(shù)y＝x2－8x＋14與函數(shù)y＝x2＋bx＋c表示同一個(gè)函數(shù)，∴b＝－8，c＝14．說(shuō)明：本例的兩種解法都是利用二次函數(shù)圖像的平移規(guī)律來(lái)解決問(wèn)題，所以，同學(xué)們要牢固掌握二次函數(shù)圖像的變換規(guī)律．這兩種解法反映了兩種不同的思維方法：解法一，是直接利用條件進(jìn)行正向的思維來(lái)解決的，其運(yùn)算量相對(duì)較大；而解法二，則是利用逆向思維，將原來(lái)的問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化成與之等價(jià)的問(wèn)題來(lái)解，具有計(jì)算量小的優(yōu)點(diǎn)．今后，我們?cè)诮忸}時(shí)，可以根據(jù)題目的具體情況，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)解決問(wèn)題．例4 已知函數(shù)y＝x2，－2≤x≤a，其中a≥－2，求該函數(shù)的最大值與最小值，并求出函數(shù)取最大值和最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的自變量x的值． 分析：本例中函數(shù)自變量的范圍是一個(gè)變化的范圍，需要對(duì)a的取值進(jìn)行討論． 解：（1）當(dāng)a＝－2時(shí)，函數(shù)y＝x2的圖象僅僅對(duì)應(yīng)著一個(gè)點(diǎn)(－2，4)，所以，函數(shù)的最大值和最小值都是4，此時(shí)x＝－2；（2）當(dāng)－2＜a＜0時(shí)，由圖2．2－6①可知，當(dāng)x＝－2時(shí)，函數(shù)取最大值y＝4；當(dāng)x＝a時(shí)，函數(shù)取最小值y＝a2；（3）當(dāng)0≤a＜2時(shí)，由圖2．2－6②可知，當(dāng)x＝－2時(shí)，函數(shù)取最大值y＝4；當(dāng)x＝0時(shí)，函數(shù)取最小值y＝0；（4）當(dāng)a≥2時(shí)，由圖2．2－6③可知，當(dāng)x＝a時(shí)，函數(shù)取最大值y＝a2；當(dāng)x＝0時(shí)，函數(shù)取最小值y＝0．xyO－2a①xyO－2aa24－6xyOa－224a2②－2xyOaa24③說(shuō)明：在本例中，利用了分類討論的方法，對(duì)a的所有可能情形進(jìn)行討論．此外，本例中所研究的二次函數(shù)的自變量的取值不是取任意的實(shí)數(shù)，而是取部分實(shí)數(shù)來(lái)研究，在解決這一類問(wèn)題時(shí)，通常需要借助于函數(shù)圖象來(lái)直觀地解決問(wèn)題．練習(xí)1．選擇題：（1）下列函數(shù)圖象中，頂點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上的是 （ ） （A）y＝2x2 （B）y＝2x2－4x＋2 （C）y＝2x2－1 （D）y＝2x2－4x （2）函數(shù)y＝2(x－1)2＋2是將函數(shù)y＝2x2 （ ） （A）向左平移1個(gè)單位、再向上平移2個(gè)單位得到的 （B）向右平移2個(gè)單位、再向上平移1個(gè)單位得到的 （C）向下平移2個(gè)單位、再向右平移1個(gè)單位得到的 （D）向上平移2個(gè)單位、再向右平移1個(gè)單位得到的2．填空題（1）二次函數(shù)y＝2x2－mx＋n圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－2)，則m＝ ，n＝ ．（2）已知二次函數(shù)y＝x2+(m－2)x－2m，當(dāng)m＝ 時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在y軸上；當(dāng)m＝ 時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在x軸上；當(dāng)m＝ 時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．（3）函數(shù)y＝－3(x＋2)2＋5的圖象的開(kāi)口向 ，對(duì)稱軸為 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ；當(dāng)x＝ 時(shí)，函數(shù)取最 值y＝ ；當(dāng)x 時(shí)，y隨著x的增大而減?。?．求下列拋物線的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸