【文章內(nèi)容簡介】 ，則它的另一個根是 ．（4）方程2x2＋2x－1＝0的兩根為x1和x2，則| x1－x2|＝ ．3．試判定當m取何值時，關于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1) x＋1＝0有兩個不相等的實數(shù)根？有兩個相等的實數(shù)根？沒有實數(shù)根？4．求一個一元二次方程，使它的兩根分別是方程x2－7x－1＝0各根的相反數(shù)．B 組1．選擇題:若關于x的方程x2＋(k2－1) x＋k＋1＝0的兩根互為相反數(shù)，則k的值為 ( ) （A）1，或－1 （B）1 （C）－1 （D）02．填空:（1）若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的兩個實數(shù)根，則m2n＋mn2－mn的值等于 ．（2）如果a，b是方程x2＋x－1＝0的兩個實數(shù)根，那么代數(shù)式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是 ．3．已知關于x的方程x2－kx－2＝0．（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）設方程的兩根為x1和x2，如果2(x1＋x2)＞x1x2，求實數(shù)k的取值范圍．4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩根為x1和x2．求：（1）| x1－x2|和；（2）x13＋x23．5．關于x的方程x2＋4x＋m＝0的兩根為x1，x2滿足| x1－x2|＝2，求實數(shù)m的值．C 組1．選擇題：（1）已知一個直角三角形的兩條直角邊長恰好是方程2x2－8x＋7＝0的兩根，則這個直角三角形的斜邊長等于 （ ） （A） （B）3 （C）6 （D）9（2）若x1，x2是方程2x2－4x＋1＝0的兩個根，則的值為 （ ） （A）6 （B）4 （C）3 （D）（3）如果關于x的方程x2－2(1－m)x＋m2＝0有兩實數(shù)根α，β，則α＋β的取值范圍為 （ ） （A）α＋β≥ （B）α＋β≤ （C）α＋β≥1 （D）α＋β≤1 （4）已知a，b，c是ΔABC的三邊長，那么方程cx2＋(a＋b)x＋＝0的根的情況是( ) （A）沒有實數(shù)根 （B）有兩個不相等的實數(shù)根（C）有兩個相等的實數(shù)根 （D）有兩個異號實數(shù)根2．填空：若方程x2－8x＋m＝0的兩根為x1，x2，且3x1＋2x2＝18，則m＝ ．3． 已知x1，x2是關于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的兩個實數(shù)根．（1）是否存在實數(shù)k，使(2x1－x2)( x1－2 x2)＝－成立？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由；（2）求使－2的值為整數(shù)的實數(shù)k的整數(shù)值；（3）若k＝－2，試求的值．4．已知關于x的方程．（1）求證：無論m取什么實數(shù)時，這個方程總有兩個相異實數(shù)根；（2）若這個方程的兩個實數(shù)根x1，x2滿足|x2|＝|x1|＋2，求m的值及相應的x1，x2．5．若關于x的方程x2＋x＋a＝0的一個大于零一根小于1，求實數(shù)a的取值范圍．2．2 二次函數(shù) 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象和性質(zhì)情境設置：可先讓學生通過具體實例探索二次函數(shù)的圖象，如作圖（1） (2) (3) 問題1 函數(shù)y＝ax2與y＝x2的圖象之間存在怎樣的關系？為了研究這一問題，我們可以先畫出y＝2x2，y＝x2，y＝－2x2的圖象，通過這些函數(shù)圖象與函數(shù)y＝x2的圖象之間的關系，推導出函數(shù)y＝ax2與y＝x2的圖象之間所存在的關系．先畫出函數(shù)y＝x2，y＝2x2的圖象．先列表：x…－3－2－10123…x2…9410149…2x2…188202818從表中不難看出，要得到2x2的值，只要把相應的x2的值擴大兩倍就可以了．再描點、連線，就分別得到了函數(shù)y＝x2，y＝2x2的圖象（如圖2－1所示），從圖2－1我們可以得到這兩個函數(shù)圖象之間的關系：函數(shù)y＝2x2的圖象可以由函數(shù)y＝x2的圖象各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼膬杀兜玫剑瑢W們也可以用類似于上面的方法畫出函數(shù)y＝x2，y＝－2x2的圖象，并研究這兩個函數(shù)圖象與函數(shù)y＝x2的圖象之間的關系．通過上面的研究，我們可以得到以下結論：二次函數(shù)y＝ax2(a≠0)的圖象可以由y＝x2的圖象各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼腶倍得到．在二次函數(shù)y＝ax2(a≠0)中，二次項系數(shù)a決定了圖象的開口方向和在同一個坐標系中的開口的大?。畣栴}2 函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k與y＝ax2的圖象之間存在怎樣的關系？xyO－1y＝2x2y＝2(x＋1)2y＝2(x＋1)2＋1同樣地，我們可以利用幾個特殊的函數(shù)圖象之間的關系來研究它們之間的關系．同學們可以作出函數(shù)y＝2(x＋1)2＋1與y＝2x2的圖象（如圖2－2所示），從函數(shù)的同學我們不難發(fā)現(xiàn)，只要把函數(shù)y＝2x2的圖象向左平移一個單位，再向上平移一個單位，就可以得到函數(shù)y＝2(x＋1)2＋1的圖象．這兩個函數(shù)圖象之間具有“形狀相同，位置不同”的特點．類似地，還可以通過畫函數(shù)y＝－3x2，y＝－3(x－1)2＋1的圖象，研究它們圖象之間的相互關系．通過上面的研究，我們可以得到以下結論：二次函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a決定了二次函數(shù)圖象的開口大小及方向；h決定了二次函數(shù)圖象的左右平移，而且“h正左移，h負右移”；k決定了二次函數(shù)圖象的上下平移，而且“k正上移，k負下移”．由上面的結論，我們可以得到研究二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象的方法：由于y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋)＋c＝a(x2＋＋)＋c－ ，所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象可以看作是將函數(shù)y＝ax2的圖象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性質(zhì)：（1）當a＞0時，函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象開口向上；頂點坐標為，對稱軸為直線x＝－；當x＜時，y隨著x的增大而減小；當x＞時，y隨著x的增大而增大；當x＝時，函數(shù)取最小值y＝． （2）當a＜0時，函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象開口向下；頂點坐標為，對稱軸為直線x＝－；當x＜時，y隨著x的增大而增大；當x＞時，y隨著x的增大而減??；當x＝時，函數(shù)取最大值y＝． xyOx＝－AxyOx＝－A 上述二次函數(shù)的性質(zhì)可以分別通過圖2．2－3和圖2．2－4直觀地表示出來．因此，在今后解決二次函數(shù)問題時，可以借助于函數(shù)圖像、利用數(shù)形結合的思想方法來解決問題．y＝x2y＝2x2xOy例1 求二次函數(shù)y＝－3x2－6x＋1圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標、最大值（或最小值），并指出當x取何值時，y隨x的增大而增大（或減?。坎嫵鲈摵瘮?shù)的圖象．xOyx＝－1A(－1,4)D(0,1)BC－5解：∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4，∴函數(shù)圖象的開口向下；對稱軸是直線x＝－1；頂點坐標為(－1，4)；當x＝－1時，函數(shù)y取最大值y＝4；當x＜－1時，y隨著x的增大而增大；當x＞－1時，y隨著x的增大而減?。徊捎妹椟c法畫圖，選頂點A(－1，4))，與x軸交于點B和C，與y軸的交點為D(0，1)，過這五點畫出圖象（如圖2－5所示）．說明：從這個例題可以看出，根據(jù)配方后得到的性質(zhì)畫函數(shù)的圖象，可以直接選出關鍵點，減少了選點的盲目性，使畫圖更簡便、圖象更精確．函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象作圖要領：（1） 確定開口方向：由二次項系數(shù)a決定（2） 確定對稱軸：對稱軸方程為（3） 確定圖象與x軸的交點情況，①若△0則與x軸有兩個交點，可由方程x2＋bx＋c=0求出②①若△=0則與x軸有一個交點，可由方程x2＋bx＋c=0求出③①若△0則與x軸有無交點。（4） 確定圖象與y軸的交點情況,令x=0得出y=c，所以交點坐標為（0，c）（5） 由以上各要素出草圖。練習：作出以下二次函數(shù)的草圖 （1） (2) (3) 例2 某種產(chǎn)品的成本是120元/件，試銷階段每件產(chǎn)品的售價x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間關系如下表所示：x /元130150165y/件705035若日銷售量y是銷售價x的一次函數(shù)，那么，要使每天所獲得最大的利潤，每件產(chǎn)品的銷售價應定為多少元？此時每天的銷售利潤是多少？分析：由于每天的利潤＝日銷售量y(銷售價x－120)，日銷售量y又是銷售價x的一次函數(shù)，所以，欲求每天所獲得的利潤最大值，首先需要求出每天的利潤與銷售價x之間的函數(shù)關系，然后，再由它們之間的函數(shù)關系求出每天利潤的最大值．解：由于y是x的一次函數(shù)，于是，設y＝kx＋（B）將x＝130，y＝70；x＝150，y＝50代入方程，有 解得 k＝－1，b＝200．∴ y＝－x＋200．設每天的利潤為z（元），則z＝(－x+200)(x－120)＝－x2＋320x－24000＝－(x－160)2＋1600，∴當x＝160時，z取最大值1600．答：當售價為160元/件時，每天的利潤最大，為1600元．例3 把二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖像向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到函數(shù)y＝x2的圖像，求b，c的值．解法一：y＝x2＋bx＋c＝(x+)2，把它的圖像向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到的圖像，也就是函數(shù)y＝x2的圖像，所以， 解得b＝－8，c＝14． 解法二：把二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖像向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到函數(shù)y＝x2的圖像，等價于把二次函數(shù)y＝x2的圖像向下平移2個單位，再向右平移4個單位，得到函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖像． 由于把二次函數(shù)y＝x2的圖像向下平移2個單位，再向右平移4個單位，得到函數(shù)y＝(x－4)2＋2的圖像，即為y＝x2－8x＋14的圖像，∴函數(shù)y＝x2－8x＋14與函數(shù)y＝x2＋bx＋c表示同一個函數(shù)，∴b＝－8，c＝14．說明：本例的兩種解法都是利用二次函數(shù)圖像的平移規(guī)律來解決問題，所以，同學們要牢固掌握二次函數(shù)圖像的變換規(guī)律．這兩種解法反映了兩種不同的思維方法：解法一，是直接利用條件進行正向的思維來解決的，其運算量相對較大；而解法二，則是利用逆向思維，將原來的問題等價轉(zhuǎn)化成與之等價的問題來解，具有計算量小的優(yōu)點．今后，我們在解題時，可以根據(jù)題目的具體情況，選擇恰當?shù)姆椒▉斫鉀Q問題．例4 已知函數(shù)y＝x2，－2≤x≤a，其中a≥－2，求該函數(shù)的最大值與最小值，并求出函數(shù)取最大值和最小值時所對應的自變量x的值． 分析：本例中函數(shù)自變量的范圍是一個變化的范圍，需要對a的取值進行討論． 解：（1）當a＝－2時，函數(shù)y＝x2的圖象僅僅對應著一個點(－2，4)，所以，函數(shù)的最大值和最小值都是4，此時x＝－2；（2）當－2＜a＜0時，由圖2．2－6①可知，當x＝－2時，函數(shù)取最大值y＝4；當x＝a時，函數(shù)取最小值y＝a2；（3）當0≤a＜2時，由圖2．2－6②可知，當x＝－2時，函數(shù)取最大值y＝4；當x＝0時，函數(shù)取最小值y＝0；（4）當a≥2時，由圖2．2－6③可知，當x＝a時，函數(shù)取最大值y＝a2；當x＝0時，函數(shù)取最小值y＝0．xyO－2a①xyO－2aa24－6xyOa－224a2②－2xyOaa24③說明：在本例中，利用了分類討論的方法，對a的所有可能情形進行討論．此外，本例中所研究的二次函數(shù)的自變量的取值不是取任意的實數(shù)，而是取部分實數(shù)來研究，在解決這一類問題時，通常需要借助于函數(shù)圖象來直觀地解決問題．練習1．選擇題：（1）下列函數(shù)圖象中，頂點不在坐標軸上的是 （ ） （A）y＝2x2 （B）y＝2x2－4x＋2 （C）y＝2x2－1 （D）y＝2x2－4x （2）函數(shù)y＝2(x－1)2＋2是將函數(shù)y＝2x2 （ ） （A）向左平移1個單位、再向上平移2個單位得到的 （B）向右平移2個單位、再向上平移1個單位得到的 （C）向下平移2個單位、再向右平移1個單位得到的 （D）向上平移2個單位、再向右平移1個單位得到的2．填空題（1）二次函數(shù)y＝2x2－mx＋n圖象的頂點坐標為(1，－2)，則m＝ ，n＝ ．（2）已知二次函數(shù)y＝x2+(m－2)x－2m，當m＝ 時，函數(shù)圖象的頂點在y軸上；當m＝ 時，函數(shù)圖象的頂點在x軸上；當m＝ 時，函數(shù)圖象經(jīng)過原點．（3）函數(shù)y＝－3(x＋2)2＋5的圖象的開口向 ，對稱軸為 ，頂點坐標為 ；當x＝ 時，函數(shù)取最 值y＝ ；當x 時，y隨著x的增大而減?。?．求下列拋物線的開口方向、對稱軸