【正文】 數(shù) y＝f （2－x）的圖象關(guān)于直線 x＝2 對(duì)稱.其中正確的命題序號(hào)是 .【答案】④【解析】①中 的圖像可由 的圖像向左平移 2 個(gè)單位得到，∴則函數(shù) f（x）的)(f?)(??f圖象關(guān)于直線 x＝?2 對(duì)稱；②中條件可得函數(shù) f（x）的周期為 8；③中函數(shù) y＝f（2+x）的圖像可由的圖像向左平移 2 個(gè)單位得到，函數(shù) y＝f （2－x）的圖象可由函數(shù) = 向右平移 2 個(gè))(fy )(?單位得到，而 與 = 的圖像關(guān)于 軸對(duì)稱，∴函數(shù) y＝f（2+x）與函數(shù) y＝f（2－x）)(fy)(xf的圖象仍關(guān)于 軸對(duì)稱；④與③同理。二、例題選講1．三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用例 1 設(shè) x∈(0, π), 試比較 cos(sinx)與 sin(cosx)的大小。4．圖象變換：y=s inx(x∈R)與 y=Asin( x+ )(A, , 0).??由 y=sinx 的圖象向左平移 個(gè)單位，然后保持橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的 A 倍，然后再保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的 ，得到 y=Asin( x+ )的圖象；也可以由 y=sinx 的圖象先保持橫坐1江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）13標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的 A 倍，再保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的 ，最后向左平移 個(gè)單?1?位，得到 y=Asin( x+ )的圖象。cos?2cos?A三、課外練習(xí)⒈ 已知 ，且 。?由題設(shè)及 BPC+ CPA+ APB=3600可得 BAC+ CBA+ ACB=1800。cos 4β,xy,整()xy?理可得: .39。b+b2 a由 和 共線得)1,39。,且 | |＝| |＝1，| |＝ ，若 ＝ λ +μOC 32CB（ λ ， μ ∈R）,則 λ+μ 的值為 .9. 設(shè)平面上的向量 ，b，x，y 滿足關(guān)系 = y－x，b=2x－y,又設(shè) 與 b 的模為 1,且互相垂直,則aaa與 的夾角為 .xy10. 已知空間四邊形 ABCD 中，ＡＢ 2＋ＣＤ 2＝ＡＤ 2＋ＢＣ 2，求證：AC⊥BD.競(jìng)賽講座三 數(shù)列第七講 等差數(shù)列與等比數(shù)列數(shù)列一、學(xué)習(xí)目標(biāo)數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是高考及高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽考查的重點(diǎn)?？梢岳煤瘮?shù)的思想、觀點(diǎn)和方法分析解決有關(guān)數(shù)列的問(wèn)題。解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為 d，因?yàn)?f(1)= a1+a2+a3+…+an=n2，則 na1+ d=n2,即)(?n2a1+(n1)d= f(1)= a1+a2a3+…an1+an=n,即 =n,d= a1=?∴an=1+2(n1)=2n1.(2)f()= ,把它兩邊都乘以 ，得：n)21()2(5323???? 2nnf )1((1)()1( 13??兩式相減，得： nnf 2)2()2213????= 1()1()(21????nn?江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）27= 21)(2)1(2)1(21])([2 ????? nnnn= 。于是70=S30=b1+b2+b3=b1(1+r+r2)=10(1+r+r2)即 r2+r6=0. 　解得 r=2 或 r=3由于 r=q100 , 所以 r=2故　 S40=10(1+2+22+23例 ，項(xiàng)數(shù)不少于 3，且各項(xiàng)之和為 972，這樣的數(shù)列共有多少個(gè)？解　 設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為 a，公差為 d，依 題意有江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）29即　 [2a+(n1)d]n=2972, (3)因?yàn)?n 為不小于 3 的自然數(shù)，97 為素?cái)?shù)，故 n 的值只可能為 97，2180。這種方法是從特殊情況出發(fā)去總結(jié)更一般的規(guī)律，當(dāng)然結(jié)論未必都是正確的，但卻是人類探索未知世界的普遍方式。數(shù)列的通項(xiàng) an 或前 n 項(xiàng)和 Sn 中的 n 通常是對(duì)任意 n∈N 成立，因此可將其中的 n 換成 n+1 或 n1 等，這種辦法通常稱迭代或遞推。例 5 已知 a1=0, an+1=5an+ ，求證：a n 都是整數(shù)，n∈ N+.24?n【證明】 因?yàn)?a1=0, a2=1，所以由題設(shè)知當(dāng) n≥1 時(shí) an+1an.又由 an+1=5an+ 移項(xiàng)、平方得n ①.00121?????當(dāng) n≥2 時(shí)，把①式中的 n 換成 n1 得 ，即00212????nna ②.211?n因?yàn)?an1an+1，所以 ①式和② 式說(shuō)明 an1, an+1 是方程 x210anx+ 1=0 的兩個(gè)不等根。142??nna又因?yàn)?Sn2Sn 且 0,1所以 Sn, 所以 ，1?2?n所以 Sn2，得證。11)(3[4????nna5．構(gòu)造等差或等比數(shù)列。Cn.??ii1例 12 已知數(shù)列{x n}滿足 x1=2, xn+1= ,n∈N+, 求通項(xiàng)。 。四、學(xué)生練習(xí)基礎(chǔ)訓(xùn)練題1． 數(shù)列{x n}滿足 x1=2, xn+1=Sn+(n+1)，其中 Sn 為{x n}前 n 項(xiàng)和，當(dāng) n≥2 時(shí)，x n=_________.2. 數(shù)列{x n}滿足 x1= ，x n+1= ,則{x n}的通項(xiàng) xn=?3. 數(shù)列{x n}滿足 x1=1，x n= +2n1(n≥2)，則{ xn}的通項(xiàng) xn=?4. 等差數(shù)列{a n}滿足 3a8=5a13，且 a10, Sn 為前 n 項(xiàng)之和，則當(dāng) Sn 最大時(shí)，n=_________.5. 等比數(shù)列{a n}前 n 項(xiàng)之和記為 Sn,若 S10=10，S 30=70，則 S40=_________.6. 數(shù)列{x n}滿足 xn+1=xnxn1(n≥2) ，x 1=a, x2=b, Sn=x1+x2+…+ xn，則 S100=_________.7. 數(shù)列{a n}中，S n=a1+a2+…+an=n24n+1 則| a1|+|a2|+…+|a10|=_________.8. 若 ，并且 x1+x2+…+ xn=8，則 x1= ??????9. 等差數(shù)列{a n}，{b n}的前 n 項(xiàng)和分別為 Sn 和 Tn，若 ，則 =??nba??lim10. 若 n!=n(n1)…2n2?又 +2≥ ，所以 xn+1≥ (n≥1)。212??nna【解】 由 得 =1，12??n 211nn即 .12???????????nnaa令 bn= +1，則{b n}是首項(xiàng)為 +1=2，公比為 2 的等比數(shù)列，1?01a所以 bn= +1=2n，所以 =（2 n1） 2，1a1?所以 an= 例 9 已知數(shù)列{a n}滿足 a1=3, a2=6, an+2=4n+14an，求 an.【解】 由特征方程 x2=4x4 得 x1=x2=2.故設(shè) an=(α+βn)3．?dāng)?shù)列求和法。an+?121???ncq【證明】 例 1 試給出以下幾個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)（不要求證明） ；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）1， 0，3，8，15，…。若 d0,則由(3)知故只可能有 n=(3)化為 a+48d=97.此時(shí)可得 n=97,d=1,a=49 或 n=97,d=2,a=1.若 d=0 時(shí)，則由(3)得 na=972,此時(shí) n=97,a=97 或 n=972,a=1。記An=a1a2a3…an,Bn=b1+b2+b3+…+bn.（1）求數(shù)列{A n}和{B n}的通項(xiàng)；（2）當(dāng) n≥7時(shí)，比較 An 與 Bn 的大小，并證明你的結(jié)論。解：由已知：S 3=S11，故 而因?yàn)?S3=S11，,53?????add得 ：a4+a5+a6+…+a10+a11= a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8,所以 a7+a8=0。近幾年的數(shù)列試題不僅考查數(shù)列的概念、等差數(shù)列和等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思想方法，而且有效地考 查了學(xué)生的各種能力。(39。(bc). （因?yàn)閨a| 2=|b|2=|c|2=|OH|2）3又因?yàn)?AB=AC，OB=OC，所以 OA 為 BC 的中垂線。hk??????二、例題選講1．向量定義和運(yùn)算法則的運(yùn)用例 1 設(shè) O 是正 n 邊形 A1A2…An的中心，求證： .21OAOAn???【證明】 記 ，若 ，則將正 n 邊形繞中心 O 旋轉(zhuǎn) 后與原正 nnS??? S??2邊形重合，所以 不變，這不可能，所以 .?例 2 給定△ABC，求證：G 是△ABC 重心的充要條件是 .GCBA??【證明】必要性。若向量 m = ，n =?????????2cos),s(1BA，且 m?n= .???????2cos,8589(1)求證：tanA?tanB= ； 1(2)求 的最大值。所以 EDF=600，同理 DEF=600，所以△DEF 是正三角形。CcBbAasinisin?2．余弦定理：a 2=b2+c22bccosA bcaA2o???⒊ 面積公式：①S △ABC = absinC= bcsinA= acsinB；11②海倫公式：S △ABC = ，這里)()(cpbap?.2cbap??⒋ 斯特瓦特定理：在△ABC 中，D 是 BC 邊上任意一點(diǎn)，BD=p，DC=q，則 AD2= .2pq?注：在上式中，若 p=q，則為中線長(zhǎng)公式 .2acbA???二、例題選講1．正弦定理的應(yīng)用例 1 在 中，角 所對(duì)應(yīng)的邊分別為 ， ，ABC?, ,abc23?tant4,2ABC??，求 及2sincosi?,AB,c【解】 由 得tatn42?otn4C?∴ ∴csi2inoC?1sinco2?∴ ，又1si2(0,)??∴ 56??， 或由 得 sincosiBCA2sincosi()BC??即 ∴()0?6??2()3ABC?江陰一中校本課程（數(shù)學(xué)）17由正弦定理 得sinisinabcABC?123sibc??例 2 如圖所示，△ABC 內(nèi)有一點(diǎn) P，使得 BPC BAC= CPA CBA= APB ACB。??????2,0?【解】 由 f(x)是偶函數(shù)，所以 f(x)=f(x)，所以 sin( + )=sin( x+ )，所以 cos sinx=0，對(duì)任意???x∈R 成立。2．三角最值問(wèn)題例 2 已知函數(shù) y=sinx+ ，求函數(shù)的最大值與最小值。先畫出當(dāng) x＜1 時(shí)，f（x）＝2x 2－x+1 的圖像，根據(jù)對(duì)稱性畫出當(dāng) x＞1 時(shí)的圖像，得到 f（x）的遞減區(qū)間是 C例 f(x)是 R 上的奇函數(shù)，且 f(x＋3)＝－f(x)，當(dāng) 0≤x≤ 時(shí)，f( x)＝x ，則 f(2022)＝( )3A.－1 【答案】A【解析】法一：∵f(x ＋3)＝－f(x)，∴f(x＋6)＝－f(x＋3)= －（－f (x)）= f(x) ∴f(x) 是周期為 6 的周期函數(shù)，∴f(2022)= f(?1) 又∵f(x) 是 R 上的奇函數(shù) ∴f(?1)= －f(1) ∵當(dāng) 0≤x≤ 時(shí)，f(x)= ∴f (1)=1 ∴f(2022)=?123法二：∵f(x＋3)＝－f(x )，∴f(x＋6)＝－f(x＋3)= －（－f( x)）= f(x) ∴f(x) 是周期為 6 的周期函數(shù)，∴f(2022)= f(?1)∵f(x)是 R 上的奇函數(shù)，∴f (?x)＝－f (x) 又∵f(x＋3)＝－f( x) ∴f(x＋3)＝f(?x) ∴f(x) 的圖像關(guān)于 x= 對(duì)稱，∵當(dāng) 0≤x≤ 時(shí)，f (x)＝ ，可根據(jù)對(duì)稱性畫出在區(qū)間[0,3]上2323的圖像，再根據(jù)奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，畫出在區(qū)間[?3,0]上的圖像由圖可知 f(2022)= f(?1)=?1 x 30y?3 注：有時(shí)畫圖比較直觀，能更快找到答案。1()fx??例 ,若 ，則 的值為 （ ）3sin()xR??(2fa?()fa? 【答案】B【解析】 為奇函數(shù)，又3()1sifx??()f?()1f?故 即a()0fa例 3. f ( x )是奇函數(shù)，x＞0 時(shí)，f ( x ) = x 、偶函數(shù)的定義域必是關(guān)于數(shù)軸原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)域。?)(??x )1?由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，f ( x )的單調(diào)遞增區(qū)間是 和(0,1) 。二．知識(shí)要點(diǎn)單調(diào)性的定義，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，抽象函數(shù)的單調(diào)性三．例題講解例 是 上的減函數(shù)，那么 的取值范圍是????????1)(x log4)13()axfa(,)???a（A） （B）(0, 1(0,3（C） （D）[)73 [)7【答案】C【解析】由題意知 在 上為減函數(shù)，所以 ①，)1(log(??xxfa),(??10?a 在 上為減函數(shù)，所以 ②，且當(dāng) 時(shí)，4)1)(???axf ?3?1?x ③，由①②③得答案為 C.??例 2 已知函數(shù) ，判斷該函數(shù)在區(qū)間 上的單調(diào)性，并說(shuō)明理由．f( ?),?【講解】用定義判斷。2(0)byx?????,4??4,??b（2）設(shè)常數(shù) ，求函數(shù) 的最大值和最小值；??1,4c?(12)cfxx???（3）當(dāng) 是正整數(shù)時(shí)，研究函數(shù) 的單調(diào)性，并說(shuō)明理由。)(xf?f ⑵ =? ，則函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。 (4+3x)，又∵f ( x ) 是奇函數(shù)∴ =?)(f?(xf ∴? = ?x 二．知識(shí)要點(diǎn)：如果函數(shù) y＝f (x)對(duì)于定義域內(nèi)任意的 x，存在一個(gè)不等于 0