20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學(xué)22空間向量的運(yùn)算(編輯修改稿)
2024-12-22 23:22 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ?? ?? ? ?? ?? ?12?? ?? . ∴ ?? ?? = ?? ?? + 2 ?? ?? + ?? ?? = 2 ( ?? ?? + ?? ?? + ?? ?? ) = 2 ?? ?? , 即 ?? ?? = 2 ?? ?? . ∴ ?? ?? ∥ ?? ?? ,即 ?? ?? 與 ?? ?? 共線 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究七 反思 判定兩向量共線就是找實(shí)數(shù) x 使 a =x b ( b ≠ 0 ) .要充分運(yùn)用空間向量的運(yùn)算法則并結(jié)合空間圖形 ,化簡(jiǎn)得出 a =x b ,從而得出 a ∥ b . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究七 空間向量的數(shù)量積 ① 零向量與任何向量的數(shù)量積為 0 , a a =| a |2. ② 數(shù)量積是數(shù)量 ( 數(shù)值 ), 可以為正 ,可以為負(fù) ,也可以為零 . ③ a b 的幾何意義 : a 與 b 的數(shù)量積等于 a 的長(zhǎng)度 | a |與 b 在 a 的方向上的投影 | b | co s θ 的乘積 ,或 b 的長(zhǎng)度 | b |與 a 在 b 的方向上的投影 | a | c o s θ 的乘積 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究七 【典型例題 4 】 如圖 , 已知空間四邊形 A B C D的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于 a , 點(diǎn) E , F , G 分別是AB , A D , DC 的中點(diǎn) . 求下列向量的數(shù)量積 : ( 1 ) ?? ?? ?? ?? 。 ( 2 ) ?? ?? ?? ?? 。 ( 3 ) ?? ?? ?? ?? 。 ( 4 ) ?? ?? ?? ?? . 思路分析 :由于空間四邊形 A B C D 的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于 a ,所以△ ABC , △ A C D , △ A B D , △ B C D 均為正三角形 ,故 ?? ?? , ?? ?? , ?? ?? 兩兩之間的夾角均為π3,再用數(shù)量積的定義求解即可 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究七 解 : ( 1 ) 在空間四邊形 A B C D 中 , | ?? ?? | = | ?? ?? | = | ?? ?? | = a , 所以 ?? ?? , ?? ?? =π3. 所以 ?? ?? ?? ?? =a a co s π3=12a2. ( 2 ) | ?? ?? | = a , | ?? ?? | = a , ?? ?? , ?? ?? =π3, 所以 ?? ?? ?? ?? =a2co s π3=12a2. ( 3 ) | ?? ?? |=12a , | ?? ?? | = a , 又 ?? ?? ∥ ?? ?? , ?? ?? , ?? ?? = π , 所以 ?? ?? ?? ?? =12a2co s π = 12a2. ( 4 ) | ?? ?? |=12a , | ?? ?? | = a , 又 ?? ?? , ?? ?? = ?? ?? , ?? ?? =π3. 所以 ?? ?? ?? ?? =12a2co s π3=14a2. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究七 反思 求兩個(gè)向量的數(shù)量積時(shí) ,一般要保證向量之間的夾角已知或可求 ,最好是特殊角 ,然后利用定義求解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究七 利用數(shù)量積求兩點(diǎn)間的距離 利用向量的數(shù)量積求兩點(diǎn)間的距離 ,可以轉(zhuǎn)化為求向量的模的問題 ,其基本思路是先選擇以兩點(diǎn)為端點(diǎn)的向量 ,將此向量表示為幾個(gè)已知向量的和的形式 ,求出這幾個(gè)已知向量的兩兩之間的夾角以 及它們的模 ,利用公式| a |= ?? ?? 求解即可 .特別注意要準(zhǔn)確求解已知兩向量之間的夾角大小 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究七 【典型例題 5 】 如圖 , 在平行四邊形 A B C D 中 , A B = A C = 1 , ∠ A C D= 90176。 ,將 △ A C D 沿對(duì)角線 AC 折起 , 使 AB 與 CD 成 60176。 角 , 求 B , D 間的距離 . 思路分析 :畫出立體圖 ,結(jié)合已知知識(shí)用長(zhǎng)度與夾角均已知的向量表示出 : ?? ?? = ?? ?? + ?? ?? + ?? ?? ,而 ?? ?? 與 ?? ?? , ?? ?? 與 ?? ?? , ?? ?? 與 ?? ?? 的夾角及其模均易知 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究七 解 :如圖 , ∵∠ A C D= 90176。 ,∴ ?? ?? ??
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