20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學22空間向量的運算-在線瀏覽
2025-01-19 23:22本頁面
【正文】 量的運算律 ,在向量的運算中要注意向量的方向 .對向量算式的化簡或證明 ,要結(jié)合圖形 ,充分利用圖形的性質(zhì) . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究七 向量共線問題 ( 1 ) 共線向量定理是證明兩條直線平行的常用方法 ,但是要注意 ,向量平行與直線平行是有區(qū)別的 ,直線平行不包括共線的情形 ,如果應用共線向量定理判斷 a , b 所 在的直線平行 ,還需說明 a ( 或 b ) 上有一點不在 b ( 或 a ) 上 . ( 2 ) 共線向量定理也是證明三點共線的常用方法 ,在利用該定理證明 ( 或判斷 ) 不同的三點 A , B , C 共線時 ,只需證明存在實數(shù) λ ,使 ?? ?? = λ ?? ?? 或 ?? ?? = λ ?? ?? 即可 . ( 3 ) 判定向量共線就是充分利用已知條件找到實數(shù) x ,使 a =x b ( b ≠ 0 ) 成立 ,或充分利用空間向量的運算法則 ,結(jié)合具體的圖形 ,通過化簡、計算得出a =x b ,從而得出 a ∥ b ,即 a 與 b 共線 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究七 【典型例題 3 】 如圖所示 , A B C D , A B E F 都是平行四邊形 , 且不共面 , M , N 分別是 AC , BF的中點 . 判斷 ?? ?? 與 ?? ?? 是否共線 ? 分析 :要判斷 ?? ?? 與 ?? ?? 是否共線 ,由共線向量定理可判斷是否存在實數(shù)x 使 ?? ?? =x ?? ?? .若存在 ,則 ?? ?? 與 ?? ?? 共線 。 a =| a |2. ② 數(shù)量積是數(shù)量 ( 數(shù)值 ), 可以為正 ,可以為負 ,也可以為零 . ③ a ?? ?? 。 ?? ?? 。 ?? ?? 。 ?? ?? . 思路分析 :由于空間四邊形 A B C D 的每條邊和對角線長都等于 a ,所以△ ABC , △ A C D , △ A B D , △ B C D 均為正三角形 ,故 ?? ?? , ?? ?? , ?? ?? 兩兩之間的夾角均為π3,再用數(shù)量積的定義求解即可 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究七 解 : ( 1 ) 在空間四邊形 A B C D 中 , | ?? ?? | = | ?? ?? | = | ?? ?? | = a , 所以 ?? ?? , ?? ?? =π3. 所以 ?? ?? a co s π3=12a2. ( 2 ) | ?? ?? | = a , | ?? ?? | = a , ?? ?? , ?? ?? =π3, 所以 ?? ?? ?? ?? =12a2co s π = 12a2. ( 4 ) | ?? ?? |=12a , | ?? ?? | = a , 又 ?? ?? , ?? ?? = ?? ?? , ?? ?? =π3. 所以 ?? ?? ?? 求解即可 .特別注意要準確求解已知兩向量之間的夾角大小 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究七 【典型例題 5 】 如圖 , 在平行四邊形 A B C D 中 , A B = A C = 1 , ∠ A C D= 90176。 角 , 求 B , D 間的距離 . 思路分析 :畫出立體圖 ,結(jié)合已知知識用長度與夾角均已知的向量表示出 : ?? ?? = ?? ?? + ?? ?? + ?? ?? ,而 ?? ?? 與 ?? ?? , ?? ?? 與 ?? ?? , ?? ?? 與 ?? ?? 的夾角及其模均易知 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究七 解 :如圖 , ∵∠ A C D= 90176。 ?? ?? = 0 . 同理 , ?? ?? 角 , ∴ ?? ?? , ?? ?? = 60176。 . ∵ ?? ?? = ?? ?? + ?? ?? + ?? ?? , ∴ ?? ?? 2= ?? ?? 2+ ?? ?? 2+ ?? ?? 2+ 2 ?? ?? ?? ?? + 2 ?? ?? ?? ?? = 3 + 2 1 1 co s ?? ?? , ?? ?? = 4 , 當 ?? ?? , ?? ?? = 60 176。 時 . ∴ | ?? ?? |= 2 或 2 ,即 B , D 間的距離為 2 或 2 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究七 反思 空間向量求模的運算要注意公式的準確應用 .向量的模就是表示向量的有向線段的長度 ,因此求線段長度的問題可用向量求解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究七 利用數(shù)量積求夾角 ( 1 ) 任意兩個空間向量均是共面的 ,故空間向量的夾角取值范圍同兩個平面向量的夾角的取值范圍一樣 ,即 [ 0 , π ] .
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