20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學(xué)22空間向量的運(yùn)算-展示頁
2024-11-28 23:22本頁面
【正文】 決 .而多個(gè)向量的加、減運(yùn)算 ,通常可以利用三角形法則進(jìn)行推廣 .在解決立體幾何問題時(shí) ,其中的某個(gè)向量經(jīng) 常多次使用三角形法則的方法用其他向量來表示 ,首尾順次相接的向量如果能圍成封閉的圖形 ,那么和向量為零向量 . 一 二 三 二、空間向量的數(shù)乘 一 二 三 思考 2 共線向量定理的用途是什么 ? 提示 :可以利用共線向量定理來判定兩條直線平行、證明三點(diǎn)共線 .證明兩條直線平行時(shí) ,先從兩條直線上取兩條有向線段表示兩個(gè)向量 ,然后利用向量的線性運(yùn)算證明向量共線 ,進(jìn)而可以得到線線平行 ,這是證明平行問題的一種重要方法 .證明三點(diǎn)共線問題 ,通常不用圖形 ,直接利用向量的線性運(yùn)算即可 ,但一定要注意所表示的向量必須有一個(gè)公共點(diǎn) . 一 二 三 三、空間向量的數(shù)量積 一 二 三 名 師點(diǎn)撥 1 . ( 1 ) 對(duì)于三個(gè)不為 0 的向量 ,若 a c ,不能得出 b = c ,即向量不能約分 . ( 2 ) 若 a b ) c ≠ a ( b a =| a || a | co s 0176。 b |= ( ?? 177。 2 ?? | a + b + c | = ( ?? + ?? + ?? )2= ??2+ ??2+ ??2+ 2 ?? ?? + 2 ?? b =| a || b | co s a , b ,那么空間兩個(gè)向量 a , b 的夾角的余弦 co s a , b =?? 如果兩個(gè)向量的夾角為鈍角 ,則異面直線所成的角為兩個(gè)向量 的夾角的補(bǔ)角 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究七 向量的加法、減法運(yùn)算 1 .空間向量的加、減運(yùn)算方法 : ( 1 ) 向量的加法利用平行四邊形法則或三角形法則 ,同平面向量相同 ,封閉圖形、首尾連接的向量的和為 0 . ( 2 ) 化簡(jiǎn)向量表達(dá)式主要是利用平行四邊形法則或三角形法則 ,遇到減法時(shí)既可轉(zhuǎn)化成加法 ,也可按減法法則進(jìn)行運(yùn)算 ,加減法之間可以相互轉(zhuǎn)化 .表達(dá)式中各向量的系數(shù)相等時(shí) ,根據(jù)數(shù)乘分配律 ,可以把相同的系數(shù)提到括號(hào)外面 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究七 2 .利用向量加、減法運(yùn)算解決立體幾何中的問題的一般思路 : 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究七 【典型例題 1 】 如圖所示 , 在正方體 AB C D A1B1C1D1中 , 下列各式中運(yùn)算的結(jié)果為向量 A C1 的有 ( ) ① ( AB + BC ) + C C1 。 ③ ( AB + B B1 ) + B1C1 。 ② ( A A1 + A1D1 ) + D1C1 = A D1 + D1C1 = A C1 。 ④ ( A A1 + A1B1 ) + B1C1 = A B1 + B1C1 = A C1 . 所以所給 4 個(gè)式子的運(yùn)算結(jié)果都是 A C1 . 答案 : D 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究七 空間向量 的數(shù)乘運(yùn)算 ( 1 ) 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算是線性運(yùn)算的一種 ,其實(shí)質(zhì)是空間向量的加、減運(yùn)算 ,即相同向量的和或差的運(yùn)算 . ( 2 ) 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果仍然是一個(gè)向量 ,方向取決于 λ 的正負(fù) ,模為原向量模的 |λ |倍 . ( 3 ) 用已知向量表示未知向量 ,體現(xiàn)了向量的數(shù)乘運(yùn)算 .解題時(shí)要結(jié)合具體圖形 ,利用三角形法則、平行四邊形法則 ,將目標(biāo)向量逐漸轉(zhuǎn)化為已知向量 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究七 【典型例題 2 】 如圖所示 , 在長(zhǎng)方體 AB C D A1B1C1D1中 , A1B1 = a , ??1??1 = b , ??1A = c , E , F , G , H , P , Q 分別是 AB , BC , CC1, C1D1, D1A1, A1A 的中點(diǎn) , 求證 : ?? ?? + ?? ?? + ?? ?? = 0 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究七 證明 : ∵ 在長(zhǎng)方體 A B C D A1B1C1D1中 , E , F , G , H , P , Q 分別是 AB , BC , CC1, C1D1, D1A1, A1A 的中點(diǎn) , ??1??1 = a , ??1??1 = b , ??1A = c . ∴ ?? ?? =12a +12b , ?? ?? = 12c 12a , ?? ?? = 12b +12c . ∴ ?? ?? + ?? ?? + ?? ?? =12a +12b 12c 12a 12b +12c = 0 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究七 名師點(diǎn)津 先用 a , b , c 分別表示各向量 ,再進(jìn)行向量的代數(shù)運(yùn)算 ,用空間向量的方法處理立體幾何問題 ,使復(fù)雜的問題代數(shù)化 .正確運(yùn)用向
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