20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學(xué)24用向量討論垂直與平行-展示頁(yè)
2024-11-28 23:22本頁(yè)面
【正文】 1 , 1 ), ∴ m ∥ n , ∴ 平面 EFG ∥ 平面 HM N . 探究一 探究二 探究三 點(diǎn)評(píng) 用空間向量法證明立體幾何中的平行問(wèn)題 ,主要運(yùn)用了直線的方向向量和平面的法向量 ,本題中的證法二就是 .同時(shí)也要借助空間中已有的一些關(guān)于平行的定理 .此種類型的題主要考查數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸思想 . 探究一 探究二 探究三 利用向量方法證明空間中的垂直關(guān)系 1 . 線線垂直 設(shè)直線 l1, l2的方向向量分別是 a , b ,若要證明 l1⊥ l2,只要證 a ⊥ b ,即證明a ( 0 , 1 , 1 ) = y2+z2= 0 , n ( 1 , 1 , 0 ) =x1+y1= 0 , 從而得 x1= y1= z1,設(shè) x1= 1 ,則 m = ( 1 , 1 , 1 ) . 設(shè)平面 HMN 的法向量為 n = ( x2, y2, z2), 則 n ( 0 , 1 , 1 ) = y1+z1= 0 , m 證明兩個(gè)平面的法向量平行 . 探究一 探究二 探究三 證法一 :以點(diǎn) D 為坐標(biāo)原點(diǎn) ,分別以 DA , DC , DD1所在的直線為 x 軸、 y軸、 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 D xyz ,如圖 .不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 2 ,則E ( 1 , 1 , 0 ), F ( 1 , 0 , 1 ), G ( 2 , 1 , 1 ), H ( 1 , 2 , 1 ), M ( 1 , 1 , 2 ), N ( 0 , 1 , 1 ) . ∴ ?? ?? = ( 0 , 1 , 1 ), ?? ?? = ( 1 , 1 , 0 ), ?? ?? = ( 0 , 1 , 1 ), ?? ?? = ( 1 , 1 , 0 ), ∴ ?? ?? ∥ ?? ?? , ?? ?? ∥ ?? ?? , ∴ EF ∥ HM , FG ∥ N H. ∵ HM ? 平面 HMN , NH ? 平面 H MN , ∴ EF ∥ 平面 HMN , FG ∥ 平面 HMN . ∵ EF ? 平面 EFG , FG ? 平面 EFG , EF ∩ F G = F , ∴ 平面 EFG ∥ 平面 HMN . 探究一 探究二 探究三 證法二 :建立空間直角坐標(biāo)系如證法一 , 設(shè)平面 EFG 的法向量為 m = ( x1, y1, z1) . 則 m ?? ?? 1 = ( 0 , 1 , 2 ) DA = 2 x1= 0 ,??1 u = 0 . ( 2 ) 根據(jù)線面平行的判定定理 . ( 3 ) 根據(jù)共面向量定理 ,即只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量線性表示即可 . 3 . 面面平行 ( 1 ) 根據(jù)面面平行的判定定理 . ( 2 ) 若能求出平面 α , β 的法向量 u , v ,則要證明 α ∥ β ,只需證明 u ∥ v 即可 . 探究一 探究二 探究三 【典型例題 2 】 在長(zhǎng)方體 A B CD A 1 B 1 C 1 D 1 中 , A B = 4 , A D= 3 , AA 1 = 2 , P , Q , R , S 分別是 AA 1 , D 1 C 1 , AB , CC 1 的中點(diǎn) . 證明 : PQ ∥ R S . 思路分析 :證明線線平行可以轉(zhuǎn)化為證明它們的方向向量平行 . 探究一 探究二 探究三 證法一 :以 D 為原點(diǎn) , DA , DC , DD1所在直線分別為 x 軸、 y 軸、 z 軸 ,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 D xyz. 則 P ( 3 , 0 , 1 ), Q ( 0 , 2 , 2 ), R ( 3 , 2 , 0 ), S ( 0 , 4 , 1 ) . ∵ ?? ?? = ( 3 , 2 , 1 ), ?? ?? = ( 3 , 2 , 1 ), ∴ ?? ?? = ?? ?? . ∴ ?? ?? ∥ ?? ?? ,即 PQ ∥ R S . 證法二 : ?? ?? = ?? ?? + ?? ?? + ?? ?? =12?? ?? ? ?? ?? +12?? ??1 , ?? ?? = ?? ??1 + ??1??1 + ??1Q =12?? ??1 +12?? ?? ? ?? ?? , ∴ ?? ?? = ?? ?? . ∴ ?? ?? ∥ ?? ?? ,即 RS ∥ P Q. 探究一 探究二 探究三 【典型例題 3 】 已知正方體 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 的棱長(zhǎng)為 2 , E , F 分別為BB 1 , DD 1 的中點(diǎn) , 求證 : ( 1 ) FC 1 ∥ 平面 A D E 。 ?? ?? = 0 ,且 n ?? = 0 ,?? 直線與平面的垂直 ,常用直線的方向向量與平面的法向量共線來(lái)判斷 。167。 4 用向量討論垂直與平行 課程目標(biāo) 學(xué)習(xí)脈絡(luò) 1 . 能用向量語(yǔ)言表述線線、線面、面面的平行、垂直關(guān)系 . 2 . 能用向量方法證明有關(guān)線、面位置 關(guān)系的一些定理 . 3 . 能用向量方法解決立體幾何中的平行、垂直問(wèn)題 , 體會(huì)向量方法在研究幾何問(wèn)題中的作用 , 并培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力 . 一 二 一、空間中的垂直關(guān)系 1 . 線面垂直判定定理 若一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的 兩條相交直線 , 則該直線與此平面垂直 . 2 . 面面垂直判定定理 若一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條 垂線 , 則這兩個(gè)平面垂直 . 3 . 三垂線定理 若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面外的一條直線在該平面內(nèi)的 投影 , 則這兩條直線垂直 . 4 . 三垂線定理的逆定理 如果平面內(nèi)的一條直線 a 垂直于平面外的一條直線 b , 那么 a 垂直于直線 b 在平面上的 投影 . 一 二 思考 1 如何利用向量知識(shí)判斷直線、平面的垂直 ? 提示 :垂直關(guān)系包括 :直線與直線的垂直 ,常用兩條直線的方向向量的數(shù)量積為 0 來(lái)判斷 。平面與平面垂直 ,常用法向量互相垂直來(lái)判斷 .用向量
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