20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學(xué)24用向量討論垂直與平行-資料下載頁
2024-11-16 23:22本頁面
【導(dǎo)讀】作用,并培養(yǎng)學(xué)生的運算能力.若一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線,則這兩個平面垂直.這兩條直線垂直.線b在平面上的投影.思考1如何利用向量知識判斷直線、平面的垂直?行求解.當(dāng)幾何體比較特殊時,構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系解題較為簡單.如果平面內(nèi)的兩條直線沒有公共點,則這兩條直線平行.常,用向量共線的充要條件或向量數(shù)量積的計算公式求解.無數(shù)個,故可在代入方程組的解中取一個最簡單的作為平面的法向量.量的垂直關(guān)系建立方程組進行求解.設(shè)平面α的法向量是n=,根據(jù)線面平行的判定定理.兩個不共線向量線性表示即可.AA1=2,P,Q,R,S分別是AA1,D1C1,AB,CC1的中點.立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.
【正文】 DE , 則 E ( 0 , 2 , 2 ), ∴ ?? ?? = 32, 0 , 2 , ?? ??1 = ( 3 , 0 , 4 ), ∴ ?? ?? =12?? ??1 , ∴ ?? ?? ∥ ?? ??1 , ∴ DE ∥ AC1 . ∵ DE ? 平面 C DB 1 , AC 1 ? 平面 C DB 1 , ∴ AC 1 ∥ 平面 C DB 1 . 1 2 3 4 5 3 . 正方體 A B CD A 1 B 1 C 1 D 1 的邊長為 4 , M , N , E , F 分別是棱A 1 D 1 , A 1 B 1 , D 1 C 1 , B 1 C 1 的中點 . 求證 : 平面 A MN ∥ 平面 E F B D. 1 2 3 4 5 證明 :如圖 ,建立空間直角坐標(biāo)系 D xyz , 則 A ( 4 , 0 , 0 ), M ( 2 , 0 , 4 ), N ( 4 , 2 , 4 ), D ( 0 , 0 , 0 ), B ( 4 , 4 , 0 ), E ( 0 , 2 , 4 ), F ( 2 , 4 , 4 ) . 取 MN 的中點 G 及 EF 的中點 K , BD 的 中點 Q ,連接 AG , QK ,則 G ( 3 , 1 , 4 ), K ( 1 , 3 , 4 ), Q ( 2 , 2 , 0 ) . 所以 ?? ?? = ( 2 , 2 , 0 ), ?? ?? = ( 2 , 2 , 0 ), ?? ?? = ( 1 , 1 , 4 ), ?? ?? = ( 1 , 1 , 4 ), 可得 ?? ?? = ?? ?? , ?? ?? = ?? ?? . 所以 MN ∥ EF , AG ∥ QK . 又 MN , AG ? 平面 EFBD , EF , QK ? 平面 EFBD , 所以 MN ∥ 平面 EFBD , AG ∥ 平面 E F B D. 又 MN ∩ A G= G , 所以平面 A MN ∥ 平面 E F B D. 1 2 3 4 5 4 . 如圖 , 在四棱錐 P A B CD 中 , 底面 A B CD 是正方形 , 側(cè)棱 PD ⊥ 底面A B CD , P D= DC , E 是 PC 的中點 , 作 EF ⊥ PB 于點 F. 求證 :( 1 ) PA ∥ 平面 E D B 。 ( 2 ) PB ⊥ 平面 E F D. 1 2 3 4 5 證明 :如圖所示 ,建立空間直角坐標(biāo)系 , D 是坐標(biāo)原點 ,設(shè) DC = a . ( 1 ) 連接 AC , AC 交 BD 于點 G ,連接 E G. 依題意 , 得 A ( a , 0 , 0 ), P ( 0 , 0 , a ), E 0 ,??2,??2 . ∵ 底面 A B C D 是正方形 , ∴ G 是正方形 A B C D 的中心 . 故點 G 的坐標(biāo)為 ??2,??2, 0 , 且 ?? ?? = ( a , 0 , a ), ?? ?? = ??2, 0 , ??2 . ∴ ?? ?? = 2 ?? ?? . ∴ PA ∥ E G. 而 EG ? 平面 E DB ,且 PA ? 平面 E DB , ∴ PA ∥ 平面 E DB . 1 2 3 4 5 ( 2 ) 依題意 ,得 B ( a , a , 0 ), ∴ ?? ?? = ( a , a , a ) . 又 ?? ?? = 0 ,??2,??2 , 故 ?? ?? ?? ?? = 0 +??22???22= 0 . ∴ PB ⊥ DE . 又 ∵ EF ⊥ PB ,且 EF ∩ DE = E , ∴ PB ⊥ 平面 E F D. 1 2 3 4 5 5 . 如圖 , 底面 A B C D 是正方形 , AS ⊥ 底面 A B C D , 且 A S = A B , E 是 SC 的中點 , 求證 : 平面 B DE ⊥ 平面 A B C D. 1 2 3 4 5 證明 :設(shè) A B = B C = C D= DA = A S = 1 ,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 A xyz ,則B ( 1 , 0 , 0 ), D ( 0 , 1 , 0 ), A ( 0 , 0 , 0 ), S ( 0 , 0 , 1 ), E 12,12,12 . 方法一 ) 連接 AC ,設(shè) AC 與 BD 相交于點 O ,連接 OE ,則點 O 的坐標(biāo)為 12,12, 0 . ∵ ?? ?? = ( 0 , 0 , 1 ), ?? ?? = 0 , 0 ,12 , ∴ ?? ?? =12?? ?? ,即 OE ∥ A S . 又 AS ⊥ 底面 A B C D , ∴ OE ⊥ 平面 A B C D. 又 OE ? 底面 B DE , ∴ 平面 B DE ⊥ 平面 A B C D. 1 2 3 4 5 ( 方法二 ) 設(shè)平面 B DE 的法向量為 n1= ( x , y , z ) . ∵ ?? ?? = ( 1 , 1 , 0 ), ?? ?? = 12,12,12 . ∴ ??1⊥ BD ,??1⊥ BE ? ??1 BD = x + y = 0 ,??1 BE = 12x +12y +12z = 0 . 令 x= 1 ,可得平面 B DE 的一個法向量為 n1= ( 1 , 1 , 0 ) . ∵ AS ⊥ 底面 A B C D , ∴ 平面 A B C D 的一個法向量為 n2= ?? ?? = ( 0 , 0 , 1 ) . ∵ n1 n2= 0 , ∴ 平面 B DE ⊥ 平面 A B C D.
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