20xx北師大版選修2-1高中數學24用向量討論垂直與平行-wenkub
2022-11-27 23:22:17 本頁面
【正文】 C 1 , AB , CC 1 的中點 . 證明 : PQ ∥ R S . 思路分析 :證明線線平行可以轉化為證明它們的方向向量平行 . 探究一 探究二 探究三 證法一 :以 D 為原點 , DA , DC , DD1所在直線分別為 x 軸、 y 軸、 z 軸 ,建立如圖所示的空間直角坐標系 D xyz. 則 P ( 3 , 0 , 1 ), Q ( 0 , 2 , 2 ), R ( 3 , 2 , 0 ), S ( 0 , 4 , 1 ) . ∵ ?? ?? = ( 3 , 2 , 1 ), ?? ?? = ( 3 , 2 , 1 ), ∴ ?? ?? = ?? ?? . ∴ ?? ?? ∥ ?? ?? ,即 PQ ∥ R S . 證法二 : ?? ?? = ?? ?? + ?? ?? + ?? ?? =12?? ?? ? ?? ?? +12?? ??1 , ?? ?? = ?? ??1 + ??1??1 + ??1Q =12?? ??1 +12?? ?? ? ?? ?? , ∴ ?? ?? = ?? ?? . ∴ ?? ?? ∥ ?? ?? ,即 RS ∥ P Q. 探究一 探究二 探究三 【典型例題 3 】 已知正方體 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 的棱長為 2 , E , F 分別為BB 1 , DD 1 的中點 , 求證 : ( 1 ) FC 1 ∥ 平面 A D E 。 ?? ?? 1 = ( 0 , 1 , 2 ) ( 0 , 1 , 1 ) = y1+z1= 0 , m ( 0 , 1 , 1 ) = y2+z2= 0 , n ( 2 ) BD 1 ⊥ EB 1 . 思路分析 :證明線線垂直 ,即證它們的方向向量垂直 ,即 a b = 0 ,表示 a ⊥ b ,也表示它們的基線垂直 ,這是向量中一個最重要的應用 ,而且我們還可以利用這一結論來證明線面、面面垂直 . 探究一 探究二 探究三 【典型例題 6 】 在正方體 A B C D A1B1C1D1中 , E , F 分別是 BB1, D1B1的中點 . 求證 : EF ⊥ 平面 B1A C . 思路分析 :可以從幾何的角度或向量運算的角度進行證明 . 證法一 :如圖 ,取 A1B1的中點 G ,連接 EG , FG , A1B ,則 FG ∥ A1D1, EG ∥ A1B. ∵ A1D1⊥ 平面 A1B , ∴ FG ⊥ 平面 A1B. ∵ A1B ⊥ AB1, ∴ EG ⊥ AB1. 由三垂線定理 ,得 EF ⊥ AB1. 同理 EF ⊥ B1C. 又 ∵ AB1∩ B1C = B1, ∴ EF ⊥ 平面 B1A C . 探究一 探究二 探究三 證法二 :設 ?? ?? = a , ?? ?? = c , ?? ??1 = b ,則 ?? ?? = ?? ??1 + ??1F =12( ?? ??1 + ??1??1 ) =12( ?? ??1 + ?? ?? ) =12( ?? ??1 + ?? ?? ? ?? ?? ) =12( a +b +c ), ?? ??1 = ?? ?? + ?? ??1 = a + b . ∴ ?? ?? b ) =12( | b |2 | a |2+ 0 + 0 ) = 0 . ∴ ?? ?? ⊥ ?? ??1 ,即 EF ⊥ AB1. 同理 , EF ⊥ B1C. 又 ∵ AB1∩ B1C = B1, ∴ EF ⊥ 平面 B1A C . 探究一 探究二 探究三 證法三 :設正方體的棱長為 2 ,建立如圖所示的空間直角坐標系 ,則A ( 2 , 0 , 0 ), C ( 0 , 2 , 0 ), B1( 2 , 2 , 2 ), E ( 2 , 2 , 1 ), F ( 1 , 1 , 2 ) . ∴ ?? ?? = ( 1 , 1 , 2 ) ( 2 , 2 , 1 ) = ( 1 , 1 , 1 ), ?? ??1 = ( 2 , 2 , 2 ) ( 2 , 0 , 0 ) = ( 0 , 2 , 2 ), ?? ?? = ( 0 , 2 , 0 ) ( 2 , 0 , 0 ) = ( 2 , 2 , 0 ) . ∴ ?? ?? ( 2 , 2 , 0 ) = 2 2 + 0 = 0 , ∴ EF ⊥ AB1, EF ⊥ A C . 又 ∵ AB1∩ A C = A , ∴ EF ⊥ 平面 B1A C . 探究一 探究二 探究三 反思 ( 1 ) 解決本題時 ,有 3 種證明方法 . 證法一 :用傳統(tǒng)的幾何法 證明 ,利用三垂線定理 ,需添加輔助線 . 證法二 :選基底 ,將相關向量用基底表示出來 ,然后利用向量的計算來證明 . 證法三 :建立空間直角坐標系 ,利用向量 ,且將向量的運算轉化為實數( 坐標 ) 的運算 ,以達到證明的目的 . ( 2 ) 幾何的綜合推理有時技巧性較強 ,而向量代數運算屬程序化操作 ,規(guī)律性較強 ,但有時運算量大 ,兩種處理方法各有優(yōu)點 . 探究一 探究二 探究三 【典型例題 7 】 在正棱錐 P ABC 中 , 三條側棱兩兩互相垂直 , G 是△ PAB 的重心 , E , F 分別為 BC , PB 上的點 , 且 BE ∶ E C = P F ∶ F B = 1 ∶ 2 . 求證 :( 1 ) 平面
教學課件相關推薦
鄂ICP備17016276號-1