20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學(xué)24用向量討論垂直與平行-文庫吧資料
2024-11-24 23:22本頁面
【正文】 = ( 1 , 0 , 0 ), 故 ?? ?? = 3 ?? ?? , ∴ PA ∥ F G. 而 PA ⊥ 平面 PBC , ∴ FG ⊥ 平面 P B C . 又 FG ? 平面 EFG , ∴ 平面 EFG ⊥ 平面 P B C . 探究一 探究二 探究三 ( 方法二 ) 同方法一 ,建立空間直角坐標(biāo)系 , 則 E ( 0 , 2 , 1 ), F ( 0 , 1 , 0 ), G ( 1 , 1 , 0 ) . ∴ ?? ?? = ( 0 , 1 , 1 ), ?? ?? = ( 1 , 1 , 1 ) . 設(shè)平面 EFG 的法向量是 n = ( x , y , z ), 則有 n ⊥ ?? ?? , n ⊥ ?? ?? . ∴ ?? + ?? = 0 ,?? ?? ?? = 0 ,令 y= 1 ,得 z= 1 , x= 0 , 即 n = ( 0 , 1 , 1 ) . 而顯然 ?? ?? = ( 3 , 0 , 0 ) 是平面 PBC 的一個(gè)法向量 , 這樣 n ( 2 , 2 , 0 ) = 2 2 + 0 = 0 , ∴ EF ⊥ AB1, EF ⊥ A C . 又 ∵ AB1∩ A C = A , ∴ EF ⊥ 平面 B1A C . 探究一 探究二 探究三 反思 ( 1 ) 解決本題時(shí) ,有 3 種證明方法 . 證法一 :用傳統(tǒng)的幾何法 證明 ,利用三垂線定理 ,需添加輔助線 . 證法二 :選基底 ,將相關(guān)向量用基底表示出來 ,然后利用向量的計(jì)算來證明 . 證法三 :建立空間直角坐標(biāo)系 ,利用向量 ,且將向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)( 坐標(biāo) ) 的運(yùn)算 ,以達(dá)到證明的目的 . ( 2 ) 幾何的綜合推理有時(shí)技巧性較強(qiáng) ,而向量代數(shù)運(yùn)算屬程序化操作 ,規(guī)律性較強(qiáng) ,但有時(shí)運(yùn)算量大 ,兩種處理方法各有優(yōu)點(diǎn) . 探究一 探究二 探究三 【典型例題 7 】 在正棱錐 P ABC 中 , 三條側(cè)棱兩兩互相垂直 , G 是△ PAB 的重心 , E , F 分別為 BC , PB 上的點(diǎn) , 且 BE ∶ E C = P F ∶ F B = 1 ∶ 2 . 求證 :( 1 ) 平面 GE F ⊥ 平面 P B C 。 ( 0 , 2 , 2 ) = ( 1 ) 0 + ( 1 ) 2 + 1 2 = 0 , ?? ?? b ) =12( | b |2 | a |2+ 0 + 0 ) = 0 . ∴ ?? ?? ⊥ ?? ??1 ,即 EF ⊥ AB1. 同理 , EF ⊥ B1C. 又 ∵ AB1∩ B1C = B1, ∴ EF ⊥ 平面 B1A C . 探究一 探究二 探究三 證法三 :設(shè)正方體的棱長為 2 ,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 ,則A ( 2 , 0 , 0 ), C ( 0 , 2 , 0 ), B1( 2 , 2 , 2 ), E ( 2 , 2 , 1 ), F ( 1 , 1 , 2 ) . ∴ ?? ?? = ( 1 , 1 , 2 ) ( 2 , 2 , 1 ) = ( 1 , 1 , 1 ), ?? ??1 = ( 2 , 2 , 2 ) ( 2 , 0 , 0 ) = ( 0 , 2 , 2 ), ?? ?? = ( 0 , 2 , 0 ) ( 2 , 0 , 0 ) = ( 2 , 2 , 0 ) . ∴ ?? ?? ( a + b ) =12( b2 a2+ c b = 0 ,表示 a ⊥ b ,也表示它們的基線垂直 ,這是向量中一個(gè)最重要的應(yīng)用 ,而且我們還可以利用這一結(jié)論來證明線面、面面垂直 . 探究一 探究二 探究三 【典型例題 6 】 在正方體 A B C D A1B1C1D1中 , E , F 分別是 BB1, D1B1的中點(diǎn) . 求證 : EF ⊥ 平面 B1A C . 思路分析 :可以從幾何的角度或向量運(yùn)算的角度進(jìn)行證明 . 證法一 :如圖 ,取 A1B1的中點(diǎn) G ,連接 EG , FG , A1B ,則 FG ∥ A1D1, EG ∥ A1B. ∵ A1D1⊥ 平面 A1B , ∴ FG ⊥ 平面 A1B. ∵ A1B ⊥ AB1, ∴ EG ⊥ AB1. 由三垂線定理 ,得 EF ⊥ AB1. 同理 EF ⊥ B1C. 又 ∵ AB1∩ B1C = B1, ∴ EF ⊥ 平面 B1A C . 探究一 探究二 探究三 證法二 :設(shè) ?? ?? = a , ?? ?? = c , ?? ??1 = b ,則 ?? ?? = ?? ??1 + ??1F =12( ?? ??1 + ??1??1 ) =12( ?? ??1 + ?? ?? ) =12( ?? ??1 + ?? ?? ? ?? ?? ) =12( a +b +c ), ?? ??1 = ?? ?? + ?? ??1 = a + b . ∴ ?? ?? ?? ?? = ( 1 ) ( 1 ) + ( 1 ) 1 + 1 0 = 0 , ∴ ?? ??1 ⊥ ?? ?? , ∴ BD1⊥ A C . ( 2 ) ?? ??1 = ( 1 , 1 , 1 ), ?? ??1 = 12,12, 1 , ∴ ?? ??1 ( 2 ) BD 1 ⊥ EB 1 . 思路分析 :證明線線垂直 ,即證它們的方向向量垂直 ,即 a ( 1 , 1 , 0 ) =x2+y2= 0 , 從而得 x2= y2= z2,設(shè) x2= 1 ,則 n = ( 1 ,
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