20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學24用向量討論垂直與平行(已修改)
2024-12-02 23:22 本頁面
【正文】 167。 4 用向量討論垂直與平行 課程目標 學習脈絡(luò) 1 . 能用向量語言表述線線、線面、面面的平行、垂直關(guān)系 . 2 . 能用向量方法證明有關(guān)線、面位置 關(guān)系的一些定理 . 3 . 能用向量方法解決立體幾何中的平行、垂直問題 , 體會向量方法在研究幾何問題中的作用 , 并培養(yǎng)學生的運算能力 . 一 二 一、空間中的垂直關(guān)系 1 . 線面垂直判定定理 若一條直線垂直于一個平面內(nèi)的 兩條相交直線 , 則該直線與此平面垂直 . 2 . 面面垂直判定定理 若一個平面經(jīng)過另一個平面的一條 垂線 , 則這兩個平面垂直 . 3 . 三垂線定理 若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面外的一條直線在該平面內(nèi)的 投影 , 則這兩條直線垂直 . 4 . 三垂線定理的逆定理 如果平面內(nèi)的一條直線 a 垂直于平面外的一條直線 b , 那么 a 垂直于直線 b 在平面上的 投影 . 一 二 思考 1 如何利用向量知識判斷直線、平面的垂直 ? 提示 :垂直關(guān)系包括 :直線與直線的垂直 ,常用兩條直線的方向向量的數(shù)量積為 0 來判斷 。直線與平面的垂直 ,常用直線的方向向量與平面的法向量共線來判斷 。平面與平面垂直 ,常用法向量互相垂直來判斷 .用向量知識來探討空間的垂直問題 ,主要研究向量的共線或垂直 ,以便用向量的基本運算進行求解 .當幾何體比較特殊時 ,構(gòu)建空間直角坐標系解題較為簡單 . 一 二 二、空間中的平行關(guān)系 1 . 線線平行判定定理 如果平面內(nèi)的兩條直線沒有 公共點 , 則這兩條直線平行 . 2 . 線面平行判定定理 若 平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線 平行 , 那么這條直線和這個平面平行 . 3 . 面面平行判定定理 若一個平面內(nèi)有兩條相交直線都 平行 于另一個平面 , 則這兩個平面平行 . 一 二 思考 2 如何利用向量知識判斷直線、平面的平行 ? 提示 :平行關(guān)系包括 :線線平行、線面平行和面面平行 .用向量知識判斷時 ,主要是研究直線的方向向量、平面的法向量之間的關(guān)系 .通常情況下 ,構(gòu)建空間直角坐標系 ,用坐標運算進行求解 .兩條直線 ( 不重合 ) 的方向向量共線時 ,兩條直線平行 .一條直線與一個平面的法向量垂直時 ,若直線不在平面內(nèi) ,則直線與平面平行 .兩個平面 ( 不重合 ) 的法向量共線時 ,兩個平面平行 .通常 ,用向量共線的充要條件或向量數(shù)量積的計算公式求解 . 探究一 探究二 探究三 求平面的法向量 要求出一個平面的法向量的坐標 ,一般要建立空間直角坐標系 ,然后用待定系數(shù)法求解 ,一般步驟如下 : ( 1 ) 設(shè)出平面的法向量為 n = ( x , y , z ) . ( 2 ) 找出 ( 求出 ) 平面內(nèi)的兩個不共線的向量的坐標 a = ( a1, b1, c1), b = ( a2, b2, c2) . ( 3 ) 根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于 x , y , z 的方程組 ?? ?? = 0 ,?? ?? = 0 . ( 4 ) 解方程組 ,取其中的一個解 ,即得法向量 .由于一個平面的法向量有無數(shù)個 ,故可在代入方程組的解中取一個最簡單的作為平面的法向量 . 確定平面的法向量通常有兩種方法 :① 幾何體中已經(jīng)給出有向線段 ,只需證明線面垂直 .② 幾何體中沒有具體的直線 ,此時可以采用待定系數(shù)法求解平面的法向量 . 探究一 探究二 探究三 【典型例題 1 】 已知平面 α 經(jīng)過三點 A ( 1 , 2 , 3 ), B ( 2 , 0 , 1 ), C ( 3 , 2 , 0 ), 試求平面 α 的一個法向量 . 思路分析 :可采用待定系數(shù)法 ,設(shè)出法向量 ,根據(jù)它和 α 內(nèi)不共線兩個向量的垂直關(guān)系建立方程組進行求解 . 解 : ∵ A ( 1 , 2 , 3 ), B ( 2 , 0 , 1 ), C ( 3 , 2 , 0 ), ∴ ?? ?? = ( 1 , 2 , 4 ), ?? ?? = ( 2 , 4 , 3 ) . 設(shè)平面 α 的法向量是 n = ( x , y , z ), 依題意 ,應(yīng)有 n ?? ?? = 0 ,且 n ?? ?? = 0 , 即 ?? 2 ?? 4 ?? = 0 ,2 ?? 4 ?? 3 ?? = 0 ,解得 z= 0 ,且 x= 2 y. 令 y= 1 ,則 x= 2 . 故 n = ( 2 , 1 , 0 ) 是平面 α 的一個法向量 . 探究一 探究二 探究三 點評 用待定系數(shù)法求平面的法向量 ,關(guān)鍵是在平面內(nèi)找兩個不共線的向量 ,然后列出方程組 ,方程組有無數(shù)組解 ,取其中的一組解即可 ,但要注意在取方程組的一組解時 ,不能都取零 ,否則得到零向量 ,而零向量 的方向不能確定 ,不能作為法向量 . 探究一 探究二 探究三 利用向量方法證明空間中的平行關(guān)系 1 . 線線平行 設(shè)直線 l1, l2的方向向量分別是 a , b ,若要證 l1∥ l2,只需證 a ∥ b ,即a = λ b ( b ≠ 0 ) . 2 . 線面平行 ( 1 ) 設(shè)直線 l 的方向向量是 a ,平面的法向量是 u ,若要證 l ∥ α ,只需證a ⊥ u ,即 a u = 0 . ( 2 ) 根據(jù)線面平行的判定定理 . ( 3 ) 根據(jù)共面向量定理 ,即只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個不共線向量線性表示即可 . 3 . 面面平行 ( 1 ) 根據(jù)面面平行的判定定理 . ( 2 ) 若能求出平面 α , β 的法向量 u , v ,則要證明 α ∥ β ,只需證明 u ∥ v 即可 . 探究一 探究二 探究三 【典型例題 2 】 在長方體 A B CD A 1 B 1 C 1 D 1 中 , A B = 4 , A D= 3 , AA 1 = 2 , P , Q , R , S 分別是 AA 1 , D 1 C 1 , AB , CC 1 的中點 . 證明 : PQ ∥ R S . 思路分析 :證明線線平行可以轉(zhuǎn)化為證明它們的方向向量平行 . 探究一 探究二 探究三 證法一 :以 D 為原點 , DA , DC , DD1所在直線分別為 x 軸、 y 軸、 z 軸 ,建立如圖所示的空間直角坐標系 D xyz. 則 P ( 3 , 0 , 1 ), Q ( 0 , 2 , 2 ), R ( 3 , 2 , 0 ), S ( 0 , 4 , 1 ) . ∵ ?? ?? = ( 3 , 2 , 1 ), ?? ?? = ( 3 , 2 , 1 ), ∴ ?? ?? = ?? ?? . ∴ ?? ?? ∥ ?? ?? ,即 PQ ∥ R S .
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