20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學(xué)25《夾角的計算》-文庫吧
2024-10-27 23:22 本頁面
【正文】 二 探究三 探究四 解法一 : ∵ ?? ??1 = ?? ?? + ?? ??1 , ?? ?? = ?? ?? + ?? ?? , ∴ ?? ??1 ?? ?? = ( ?? ?? + ?? ??1 ) ( ?? ?? + ?? ?? ) = ?? ?? ?? ?? + ?? ?? ?? ?? + ?? ??1 ?? ?? + ?? ??1 ?? ?? . ∵ AB ⊥ BC , BB1⊥ AB , BB1⊥ BC , ∴ ?? ?? ?? ?? = 0 , ?? ??1 ?? ?? = 0 , ?? ??1 ?? ?? = 0 , ?? ?? ?? ?? = a2, ∴ ?? ??1 ?? ?? = a2. 又 co s ?? ?? ??1 , ?? ?? ?? =?? ??1 ?? ?? |?? ??1 | | ?? ?? |= ??2 2 a 2 a= 12, ∴ ?? ?? ??1 , ?? ?? ?? =2 π3, ∴ 異面直線 BA1和 AC 的夾角為π3. 探究一 探究二 探究三 探究四 解法二 :以 D 為原點 , DA , DC , DD1所在的直線為 x 軸、 y 軸、 z 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 ,則 A ( a , 0 , 0 ), B ( a , a , 0 ), C ( 0 , a , 0 ), A1( a , 0 , a ) . ∴ ?? ??1 = ( 0 , a , a ), ?? ?? = ( a , a , 0 ) . ∴ co s ?? ?? ??1 , ?? ?? ?? =?? ??1 ?? ?? | ?? ??1 | | ?? ?? |= ??2 2 ??2 2 ??2 = 12. ∴ ?? ?? ??1 , ?? ?? ?? =2 π3. ∴ 異面直線 BA1和 AC 的夾角為π3. 探究一 探究二 探究三 探究四 點評 求異面直線的夾角 ,用向量法比較簡單 ,若用基向量求解 ,則必須選好空間的一組基向量 ,若用坐標(biāo)系求解 ,一定要將每個點的坐標(biāo)寫正確 . 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例題 2 】 在四棱錐 P A B C D 中 , PD ⊥ 平面 A B C D , PA 與平面A B C D 的夾角為π3, 在四邊形 A B C D 中 , ∠ D= ∠ D A B =π3, AB= 4 , C D= 1 , A D= 2 , 求異面直線 PA 與 BC 夾角的余弦值 . 探究一 探究二 探究三 探究四 解 :以點 D 為坐標(biāo)原點 ,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 . 由 PD ⊥ 平面 A B C D 知 , ∠ PAD 是 PA 與平面 A B C D 的夾角 , ∴∠ P A D=π3.在 Rt △ P DA 中 ,由 A D= 2 ,得 P D= 2 3 . 于是 P ( 0 , 0 , 2 3 ), A ( 2 , 0 , 0 ), B ( 2 , 4 , 0 ), C ( 0 , 1 , 0 ), ∴ ?? ?? = ( 2 , 0 , 2 3 ), ?? ?? = ( 2 , 3 , 0 ), ∴ co s ?? ?? , ?? ?? =?? ?? ?? ?? | ?? ?? || ?? ?? |= 44 13= 1313, ∴ PA 與 BC 夾角的余弦值為 1313. 探究一 探究二 探究三 探究四 點評 要求兩條異面直線的夾角 ,首先建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系 ,求出兩條異面直線所在的方向向量 ,然后求出兩個向量夾角的余弦值 ,最后轉(zhuǎn)化為兩條異面直線的夾角 .這里要注意的是 ,向量夾角的范圍是 [ 0 , π ], 而異面直線夾角的范圍是 0 ,π2 .若最后用向量法求出兩向量的夾角是鈍角時 ,要轉(zhuǎn)化
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