高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-1第二章《空間向量的運(yùn)算》-文庫(kù)吧
2024-10-28 19:02 本頁(yè)面
【正文】 a ， b 〉＝π2. 提示： 不一定． 提示： 不一定． 空間向量的數(shù)量積 (1)空間兩個(gè)向量 a和 b的數(shù)量積是一個(gè) ，等于|a||b|cos〈 a， b〉 ，記作 . (2)運(yùn)算律： ①交換律： ； ②分配律： ； ③ λ(ab)＝ (λ∈ R)． ab ab＝ ba a( b＋ c)＝ ab＋ ac (λa)b 數(shù) ( 3) 常見結(jié)論： ① | a |＝ ； ② a ⊥ b ? ； ③ c os 〈 a ， b 〉＝ ( a ≠ 0 ， b ≠ 0.) ( 4) 對(duì)任意一個(gè)非零向量，把 叫作向量 a 的單位向量，記作 a0. a0與 a 方向． a a ab＝ 0 ab|a||b| a|a| 同 與平面向量類似，空間向量的加減、數(shù)乘、數(shù)量積運(yùn)算有如下特點(diǎn) 1．空間向量的加減法滿足平行四邊形和三角形法則，結(jié)果仍是一個(gè)向量． 2．空間向量的數(shù)乘運(yùn)算，結(jié)果仍是一個(gè)向量，方向取決于 λ的正負(fù)，模為原向量模的 |λ|倍． 3．兩向量共線，兩向量所在的直線不一定重合，也可能平行． 4．空間向量數(shù)量積運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)． [ 例 1] 已知 ABCD 為正方形， P 是 ABCD 所在平面外一點(diǎn)，P 在平面 ABCD 上的射影恰好是正方形的中心 O . Q 是 CD 的中點(diǎn)，求下列各題中 x ， y 的值： ( 1) OQ ＝ PQ ＋ x PC ＋ y PA ； ( 2) PA ＝ x PO ＋ y PQ ＋ PD . [ 思路點(diǎn)撥 ] 要確定等式 OQ ＝ PQ ＋ x PC ＋ y PA 中 x ， y 的值，就是看 OQ 怎樣用 PQ ， PC ， PA 來(lái)表示，同理要確定 ( 2) 中的x ， y 的值，也需把 PA 用 PO ， PQ ， PD 表示出來(lái)即可． [ 精解詳析 ] ( 1) 如圖． ∵ OQ ＝ PQ － PO ＝ PQ －12( PA ＋ PC ) ＝ PQ －12PA －12PC ， ∴ x ＝ y ＝－12. ( 2) ∵ PA ＋ PC ＝ 2 PO ， ∴ PA ＝ 2 PO － PC . 又 ∵ PC ＋ PD ＝ 2 PQ ， ∴ PC ＝ 2 PQ － PD . 從而有 PA ＝ 2 PO － (2 PQ － PD ) ＝ 2 PO － 2 PQ ＋ PD . ∴ x ＝ 2 ， y ＝－ 2. [一點(diǎn)通 ] 空間向量的線性運(yùn)算即為向量的加減、數(shù)乘運(yùn)算．在進(jìn)行向量的線性運(yùn)算時(shí)，應(yīng)注意結(jié)合圖形的特點(diǎn)，利用三角形法則、平行四邊形法則及數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律來(lái)進(jìn)行化簡(jiǎn)、計(jì)算．要特別注意把某些向量平移后轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)進(jìn)行相關(guān)計(jì)算． 1. 如圖，在長(zhǎng)方體 A BC D － A1B1C1D1中，下列各式中運(yùn)算結(jié)果為向量1BD的是 ( ) ① (11AD－1AA) － AB ； ② ( BC ＋1BB) － 11DC； ③ ( AD － AB ) －1DD； ④ (11BD－1AA) ＋1
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