20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學(xué)25夾角的計算(編輯修改稿)
2024-12-22 23:22 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 為其補(bǔ)角 ,才可以作為兩條異面直線的夾角 . 探究一 探究二 探究三 探究四 直線與平面的夾角 設(shè)直線 l 的方向向量為 m ,平面 α 的法向量為 n ,直線 l 與平面 α 的夾角為 θ ,則 sin θ =| cos ?? m , n ?? |=?? ??|?? | |?? |或 c o s θ = sin ?? m , n ?? . 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例題 3 】 已知正三棱柱 ABC A 1 B 1 C 1 的底面邊長為 a , 側(cè)棱長為 2 a , 求 AC 1 與側(cè)面 AB 1 的夾角 . 思路分析 :利用正三棱柱的性質(zhì) ,建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系 ,寫出有關(guān)點的坐標(biāo) .求角時有兩種思路 :一是由定義找出線面角 ,取 A 1 B 1 的中點 M ,連接 C 1 M ,證明 ∠ C 1 AM 是 AC 1 與平面 AB 1 的夾角 。另一種是利用平面 AB 1 的法向量 n = ( λ , x , y ) 求解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 解 : ( 方法一 ) 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 , 則 A ( 0 , 0 , 0 ), B ( 0 , a , 0 ), A1( 0 , 0 , 2 a ), C1 32a ,??2, 2 a . 取 A1B1的中點 M , 則 M 0 ,??2, 2 a ,連接 AM , MC1, 有 ?? ??1 = 32a , 0 , 0 , ?? ?? = ( 0 , a , 0 ), ?? ??1 = ( 0 , 0 , 2 a ) . ∴ ?? ??1 ?? ?? = 0 , ?? ??1 ?? ??1 = 0 . ∵ AB ∩ AA1=A , ∴ MC1⊥ 平面 AB1. ∴∠ C1AM 是 AC1與側(cè)面 AB1的夾角 . 探究一 探究二 探究三 探究四 ∵ ?? ??1 = 32a ,??2, 2 a , ?? ?? = 0 ,??2, 2 a , ∴ ?? ??1 ?? ?? = 0 +??24+ 2 a2=9 ??24. 而 | ?? ??1 |= 3 ??24+??24+ 2 ??2= 3 a , | ?? ?? |= ??24+ 2 ??2=32a , ∴ co s ?? ??1 , ?? ?? =9 ??24 3 a 3 ??2= 32. ∴ ?? ??1 , ?? ?? =π6,即 AC1與側(cè)面 AB1的夾角為π6. 探究一 探究二 探究三 探究四 ( 方法二 ) 建立同方法一的空間直角坐標(biāo)系 ,則 ?? ??1 = ( 0 , 0 , 2 a ) . 設(shè)側(cè)面 AB1的法向量 n = ( λ , x , y ), ∴ n ?? ?? = 0 ,且 n ?? ??1 = 0 . ∴ a x= 0 ,且 2 a y= 0 . ∴ x= y= 0 ,故 n = ( λ , 0 , 0 ) . ∵ ?? ??1 = 32a ,??2, 2 a , ∴ co s ?? ??1 , n =?? A C1 |?? || A C1 |= ?? 32a|?? | 3 a= ??2 |?? |. 探究一 探究二 探究三 探究四 設(shè) AC1與側(cè)面 AB1的夾角為 θ , ∵ s in θ =| co s ?? ??1 , n | =12, ∴ θ =π6,即 AC1與側(cè)面 AB1的夾角為π6. 反思 充分利用圖形的幾何特征建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系 ,再用向量的有關(guān)知識求解線面角 .本題一般的解法是可先求平面法向量與斜線的夾角 ,再進(jìn)行換算 . 探究一 探究二 探究三 探究四 平面間的夾角 利用向量法求平面間的夾角 ,先分別求出兩個平面的法向量 ,再利用向量的夾角公式求出兩個法向量的夾角 ,最后根據(jù)平面間的夾角的取值范圍得出結(jié)論 . 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例題 4 】 等邊 △ ABC 的邊長為 4 , CD 是 AB 邊上的高 , E , F 分別是 AC 和 BC 邊上的中點 ( 如圖 ① ), 現(xiàn)將 △ A B C 沿 CD 翻折成直二面角A DC B ( 如圖 ② ) . 求平面 A
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