20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學(xué)311橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(編輯修改稿)
2024-12-22 23:22 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 52 2 2= 2 10 .即a= 10 . 又 c= 2 , ∴ b2=a2 c2= 6 . ∴ 所求橢圓的方程為??210+??26= 1 . 反思 根據(jù)已知條件 ,判定焦點的位置 ,設(shè)出橢圓的方程是解決此題的關(guān)鍵 . 探究一 探究二 探究三 探究四 焦點三角形問題 橢圓上一點 P 與橢圓的兩焦點 F1, F2構(gòu)成的 △ F1PF2稱為焦點三角形 ,解關(guān)于橢圓中的焦點三角形問題時要充分利用橢圓的定義 ,三角形中的正弦定理、余弦定理等知識 .對于求焦點三角形的面積 ,若已知 ∠ F1PF2,可利用 S=12ab s in C 把 | P F1| | P F2|看成一個整體 ,運用公式 | P F1|2+ | P F2|2= ( | P F1| + | P F2| )2 2 | P F1| | P F2|及余弦定理求出 | P F1| + | P F2| ,而無須單獨求出 ,這樣可以減少運算量 . 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例題 3 】 已知橢圓??2??2+??2??2= 1 ( a b 0 ) 上一點 P , F1, F2為橢圓的焦點 , 若 ∠ F1PF2= θ , 求 △ PF1F2的面積 . 思路分析 :根據(jù)橢圓的定義可知 | P F1| + | P F2|= 2 a ,兩邊平方可得| P F1|2+ | P F2|2+ 2 | P F1| | P F2|= 4 a2.在 △ PF1F2中 ,由余弦定理得| P F1|2+ | P F2|2 2 | P F1| | P F2| co s ∠ F1PF2= 4 c2,兩式相減可求 | P F1| | P F2| ,再由 ??△ ?? ??1??2=12| P F1| | P F2| s in θ 求面積 . 探究一 探究二 探究三 探究四 解 : 如圖所示 ,由橢圓定義 ,得 | P F1| + | P F2|= 2 a. 而在 △ PF1F2中 ,由余弦定理得 | P F1|2+ | P F2|2 2 | P F1| | P F2| co s θ = | F1F2|2= 4 c2. ∴ ( | P F1| + | P F2| )2 2 | P F1| | P F2| 2 | P F1| | P F2| co s θ = 4 c2, 即 4 ( a2 c2) = 2 | P F1| | P F2| ( 1 + c o s θ ) . ∴ ??△ ?? ??1??2=12| P F1| | P F2| s in θ =b2si n ??1 + c o s ??=b2tan ??2. 探究一 探究二 探究三 探究四 點評 與焦點三角形有關(guān)的計算或證明 ,應(yīng)考慮用橢圓的定義及三角形中邊與角的關(guān)系 ( 應(yīng)用余弦定理或正弦定理 )
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