20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學(xué)311《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》-文庫吧
2025-10-13 23:22 本頁面
【正文】 為兩定點(diǎn) , A 為動點(diǎn) ,研究 | A B |+ |AC| 是否為定值 ,并比較與 |BC| 的大小關(guān)系 ,從而判斷點(diǎn) A 的軌跡圖形形狀 ,進(jìn)而得到軌跡方程 . 探究一 探究二 探究三 探究四 解 : 如圖所示 ,建立平面直角坐標(biāo)系 ,使 x 軸經(jīng)過點(diǎn) B , C ,原點(diǎn) O 與 BC 的中點(diǎn)重合 . 由已知 | A B | + | A C | + | B C | = 16 , | B C | = 6 ,有 | A B | + | A C | = 10 6 ,即點(diǎn) A 的軌跡是橢圓 ,且 2 c= 6 , 2 a= 16 6 = 10 . ∴ c= 3 , a= 5 , b2= 52 32= 16 . 但當(dāng)點(diǎn) A 在直線 BC 上 ,即 y= 0 時 , A , B , C 三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形 , ∴ 點(diǎn) A 的軌跡方程是??225+??216= 1 ( y ≠ 0 ) . 探究一 探究二 探究三 探究四 點(diǎn)評 找出點(diǎn) A 的軌跡滿足 |AB |+ |BC|= 10 6 后 ,知 A 的軌跡是橢圓 ,用定義法求出其方程 ,但要注意去掉不符合題意的點(diǎn) ( 5 , 0 ) ,( 5 , 0 ) . 探究一 探究二 探究三 探究四 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程常用待定系數(shù)法 ,要恰當(dāng)?shù)剡x擇方程的形式 ,如果不能確定焦點(diǎn)的位置 ,那么有兩種方法來解決問題 :一是分類討論全面考慮問題 。二是設(shè)橢圓方程一般式 . 探究一 探究二 探究三 探究四 ( 1 ) 如果明確了橢圓的中心在原點(diǎn) ,焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上 ,那么所求的橢圓一定是標(biāo)準(zhǔn)形式 ,則可以利用待定系數(shù)法首先建立方程 ,然后依照題設(shè)條件計(jì)算方程中 a , b 的值 ,從而確定方程 ,有時方程有兩個 . 如果明確焦點(diǎn)在 x 軸上 ,那么設(shè)所求的橢圓方程為 ??2??2+??2??2= 1 ( a b 0 )。 如果明確焦點(diǎn)在 y 軸上 ,那么設(shè)所求的橢圓方程為 ??2??2+??2??2= 1 ( a b 0 ) . ( 2 ) 如果中心在原點(diǎn) ,但焦點(diǎn)的位置不能明確是在 x 軸上還是在 y 軸上 ,那么方程可以設(shè)為 mx2+ n y2= 1 ( m 0 , n 0 , m ≠ n ), 進(jìn)而求解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例題 2 】 求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 : ( 1 ) 兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 ( 4 , 0 ) , ( 4 , 0 ), 橢圓上任意一點(diǎn) P 到兩焦點(diǎn)的距離的和等于 10 。 ( 2 ) 兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 ( 0 , 2 ) , ( 0 , 2 ), 并且橢圓經(jīng)過點(diǎn) 32,52 . 思路分析 :根據(jù)題意 ,先判斷橢圓的焦點(diǎn)位置 ,再設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 ,從而確定 a , b 的值 . 解 : ( 1 ) ∵ 橢圓的焦點(diǎn)在 x 軸上 , ∴ 設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為??2??2+??2??2= 1 ( a b 0 ) . ∵ c= 4 , 2 a= 10 , ∴ b2=a2 c2= 9 . ∴ 所求橢圓的方程為??225+??29= 1 . 探究一 探究二 探究三 探究四 ( 2 ) ∵ 橢圓的焦點(diǎn)在 y 軸上 , ∴ 設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為??2??2+??2??2= 1 ( a b 0 ) . 由橢圓的定義 ,知 2 a= 32 2+ 52+ 2 2+ 32 2+
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