20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學312《橢圓的簡單性質(zhì)》-文庫吧
2025-10-13 23:22 本頁面
【正文】 長 |B1B2|= 2b 焦距 |F1F2|= 2c 對稱性 關(guān)于 x 軸 、 y 軸 、 原點 對稱 , 既是 軸對稱圖形 , 又是中心對稱圖形 離心率 e=ca(0 e 1 ) 1 2 名師點撥 橢圓的焦半徑公式 :若 r 1 , r 2 分別表示橢圓x 2a 2+y 2b2=1 ( ab 0 ) 上一點 P ( x 0 , y 0 ) 與兩個焦點 F 1 ( c , 0 ), F 2 ( c , 0 ) 間的距離 ,則r 1 = a+ex 0 , r 2 =a ex 0 .這個橢圓上所有的點與焦點 F 1 ( c , 0 ) 的最近距離與最遠距離分別是 a c , a+c. 探究一 探究二 探究三 探究四 橢圓的簡單性質(zhì) 橢圓的焦點決定橢圓的位置 ,范圍決定橢圓的大小 ,離心率決定了橢圓的扁平程度 ,對稱性是橢 圓的重要特征 ,頂點是橢圓與對稱軸的交點 ,是橢圓重要的特殊點 .若已知橢圓的標準方程 ,則根據(jù) a , b 的值可確定其性質(zhì) . 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例題 1 】 求下列橢圓的長軸長 , 短軸長 , 焦距 , 離心率 , 焦點和頂點坐標 . ( 1 ) 16x2+25y2=400 。 ( 2 ) 9x2+y2=81 。 ( 3 )4 x225+y216=1 。 ( 4 ) m2x2+4m2y2=1 ( m 0 ) . 思路分析 :要確定橢圓的幾何性質(zhì) ,應(yīng)先把橢圓化為標準方程 ,再確定焦點的位置 ,然后利用定義求解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 解 : ( 1 ) 化為標準方程為x252+y242=1 , ∴ a = 5 , b = 4 , c= a2 b2=3 , ∴ 橢圓的長軸長 2 a= 1 0 ,短軸長 2 b = 8 ,焦距 2 c= 6 , 離心率 e=35,焦點坐標為 ( 3 , 0 ) , ( 3 , 0 ), 頂點坐標為 ( 5 , 0 ) , ( 5 , 0 ) , ( 0 , 4 ) , ( 0 , 4 ) . ( 2 ) 化為標準方程為y281+x29=1 ,即y292+x232=1. ∴ a= 9 , b = 3 , c= a2 b2= 81 9 =6 2 . ∴ 橢圓的長軸長為 2 a= 1 8 ,短軸長 2 b = 6 ,焦距 2 c= 1 2 2 ,離心率 e=2 23. 焦點坐標為 ( 0 , 6 2 ) , ( 0 , 6 2 ), 頂點坐標為 ( 0 , 9 ) , ( 0 , 9 ) , ( 3 , 0 ) , ( 3 , 0 ) . 探究一 探究二 探究三 探究四 ( 3 ) 橢圓的方程可化為x2254+y216=1 , ∵ 16254, ∴ 焦點在 y 軸上 ,并且長半軸長 a= 4 ,短半軸長 b=52, 半焦距 c= a2 b2= 16 254= 392, ∴ 長軸長 2 a = 8 ,短軸長 2 b = 5 ,焦距 2 c = 39 . 離心率 e=ca= 398, 焦點坐標為 0 , 392 , 0 , 392 , 頂點坐標為 52, 0 , 52, 0 ,( 0 , 4 ) , ( 0 , 4 ) . 探究一 探究二 探究三 探究四 ( 4 ) 橢圓的方程可化為x21m2+y214 m2=1 , ∵ m24m2, ∴1m214 m2, ∴ 焦點在 x 軸上 ,并且 a=1m, b=12m, ∴ c= a2 b2= 32m, ∴ 長軸長 2 a =2m,短軸長 2 b =1m,焦距 2 c = 3m,離心率 e=ca= 32,焦點坐標為 32m, 0 , 32m, 0
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