20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學(xué)24《用向量討論垂直與平行》-文庫(kù)吧
2024-10-27 23:22 本頁(yè)面
【正文】 證法二 : ?? ?? = ?? ?? + ?? ?? + ?? ?? =12?? ?? ? ?? ?? +12?? ??1 , ?? ?? = ?? ??1 + ??1??1 + ??1Q =12?? ??1 +12?? ?? ? ?? ?? , ∴ ?? ?? = ?? ?? . ∴ ?? ?? ∥ ?? ?? ,即 RS ∥ P Q. 探究一 探究二 探究三 【典型例題 3 】 已知正方體 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 的棱長(zhǎng)為 2 , E , F 分別為BB 1 , DD 1 的中點(diǎn) , 求證 : ( 1 ) FC 1 ∥ 平面 A D E 。 ( 2 ) 平面 A DE ∥ 平面 B 1 C 1 F. 思路分析 :畫出示意圖后用常規(guī)的方法也能將問(wèn)題得以解決 ,但不如用向量法處理直接簡(jiǎn)單 ,因此本題可以通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系 ,借助法向量來(lái)處理 . 探究一 探究二 探究三 證明 :如圖所示 ,建立空間直角坐標(biāo)系 D xyz ,則有 D ( 0 , 0 , 0 ), A ( 2 , 0 , 0 ), C ( 0 , 2 , 0 ), C1( 0 , 2 , 2 ), E ( 2 , 2 , 1 ), F ( 0 , 0 , 1 ), ∴ ?? ??1 = ( 0 , 2 , 1 ), ?? ?? = ( 2 , 0 , 0 ), ?? ?? = ( 0 , 2 , 1 ) . 設(shè) n1= ( x1, y1, z1), n2= ( x2, y2, z2) 分別是平面 A DE 和平面 B1C1F 的法向量 ,則 n1⊥ ?? ?? , n1⊥ ?? ?? , ∴ ??1 DA = 2 x1= 0 ,??1 AE = 2 y1+ z1= 0 , ∴ ??1= 0 ,??1= 2 ??1,取 y1= 1 ,則 n1= ( 0 , 1 , 2 ) . 同理可求 n2= ( 0 , 1 , 2 ) . 探究一 探究二 探究三 ( 1 ) ∵ n 1 ?? ?? 1 = ( 0 , 1 , 2 ) ( 0 , 2 , 1 ) = 0 , ∴ n 1 ⊥ ?? ?? 1 . 又 F C 1 ? 平面 A DE , ∴ FC 1 ∥ 平面 A DE . ( 2 ) ∵ n 1 ∥ n 2 , ∴ 平面 A DE ∥ 平面 B 1 C 1 F. 探究一 探究二 探究三 點(diǎn)評(píng) 運(yùn)用空間向量解答立體幾何問(wèn)題應(yīng)注意處理和把握好以下兩大關(guān)系 :一是向量法和純幾何法在解題中相互融合滲透的關(guān)系 .大多數(shù)立體幾何解答題 ,既可以用向量法求解 ,也可以用幾何法求解 .二是用向量法解題時(shí) ,是選用基底向量 ( 不建立空間直角坐標(biāo)系 ), 還是通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系 ,選用坐標(biāo)向量的關(guān)系 ,根據(jù)題目含義而定 .對(duì)于出現(xiàn)垂直關(guān)系的特殊幾何體 ,如正方體、長(zhǎng)方體、直棱柱、有一條側(cè)棱垂直于底面的棱錐等 ,往往通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系解答 較為方便 . 探究一 探究二 探究三 【典型例題 4 】 如圖 , 在正方體 A B C D A1B1C1D1中 , E , F , G , H , M , N 分別是正方體六個(gè)面的中心 . 求證 : 平面 EFG ∥ 平面 HMN . 思路分析 :用向量證明面面平行有兩個(gè)途徑 :利用面面平行的判定定理 ,即證明一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量都平行另一個(gè)平面 。證明兩個(gè)平面的法向量平行 . 探究一 探究二 探究三 證法一 :以點(diǎn) D 為坐標(biāo)原點(diǎn) ,分別以 DA , DC , DD1所在的直線為 x 軸、 y軸、 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 D xyz ,如圖 .不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 2 ,則E ( 1 , 1 , 0 ), F ( 1 , 0 , 1 ), G ( 2 , 1 , 1 ), H ( 1 , 2 , 1 ), M ( 1 , 1 , 2 ), N ( 0 , 1 , 1 ) . ∴ ?? ?? = ( 0 , 1 , 1 ), ?? ?? = ( 1 , 1 , 0 ), ?? ?? = ( 0 , 1 , 1 ), ?? ?? = ( 1 , 1 , 0 ), ∴ ?? ?? ∥ ?? ?? , ?? ?? ∥ ?? ?? , ∴ EF ∥ HM , FG ∥ N H. ∵ HM ? 平面 HMN , NH ? 平面 H MN , ∴ EF ∥ 平面 HMN , FG ∥ 平面 HMN . ∵ EF ? 平面 EFG , FG ? 平面 EFG , EF ∩ F G = F , ∴ 平面 EFG ∥ 平面 HMN . 探究一 探究二 探究三 證法二 :建立空間直角坐標(biāo)系如證法一 , 設(shè)平面 EFG 的法向量為 m = ( x1, y1, z1) . 則 m ?? ?? = ( x1, y1, z1) ( 0 , 1 , 1 ) = y1+z1= 0 , m ?? ?? = ( x1, y1, z1) ( 1 , 1 , 0 ) =x1+y1= 0 , 從而得 x1= y1= z1,設(shè) x1= 1 ,則 m = ( 1 , 1 , 1 ) . 設(shè)平面 HMN 的法向量為 n = ( x2, y2, z2), 則 n ?? ?? = ( x2, y2, z2) ( 0 , 1 , 1 ) = y2+z2= 0 , n ?? ?? = ( x2, y2, z2) ( 1 , 1 , 0 ) =x2+y2= 0 , 從而得 x2= y2= z2,設(shè) x2= 1 ,則 n = ( 1 , 1 ,
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