20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學(xué)24用向量討論垂直與平行(參考版)
2024-11-20 23:22本頁(yè)面
【正文】 BE = 12x +12y +12z = 0 . 令 x= 1 ,可得平面 B DE 的一個(gè)法向量為 n1= ( 1 , 1 , 0 ) . ∵ AS ⊥ 底面 A B C D , ∴ 平面 A B C D 的一個(gè)法向量為 n2= ?? ?? = ( 0 , 0 , 1 ) . ∵ n1 ?? ?? = 0 +??22???22= 0 . ∴ PB ⊥ DE . 又 ∵ EF ⊥ PB ,且 EF ∩ DE = E , ∴ PB ⊥ 平面 E F D. 1 2 3 4 5 5 . 如圖 , 底面 A B C D 是正方形 , AS ⊥ 底面 A B C D , 且 A S = A B , E 是 SC 的中點(diǎn) , 求證 : 平面 B DE ⊥ 平面 A B C D. 1 2 3 4 5 證明 :設(shè) A B = B C = C D= DA = A S = 1 ,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 A xyz ,則B ( 1 , 0 , 0 ), D ( 0 , 1 , 0 ), A ( 0 , 0 , 0 ), S ( 0 , 0 , 1 ), E 12,12,12 . 方法一 ) 連接 AC ,設(shè) AC 與 BD 相交于點(diǎn) O ,連接 OE ,則點(diǎn) O 的坐標(biāo)為 12,12, 0 . ∵ ?? ?? = ( 0 , 0 , 1 ), ?? ?? = 0 , 0 ,12 , ∴ ?? ?? =12?? ?? ,即 OE ∥ A S . 又 AS ⊥ 底面 A B C D , ∴ OE ⊥ 平面 A B C D. 又 OE ? 底面 B DE , ∴ 平面 B DE ⊥ 平面 A B C D. 1 2 3 4 5 ( 方法二 ) 設(shè)平面 B DE 的法向量為 n1= ( x , y , z ) . ∵ ?? ?? = ( 1 , 1 , 0 ), ?? ?? = 12,12,12 . ∴ ??1⊥ BD ,??1⊥ BE ? ??1 ?? ??1 = 0 , ∴ ?? ?? ⊥ ?? ??1 , ∴ AC ⊥ BC1. 1 2 3 4 5 ( 2 ) 如圖 ,設(shè) CB 1 與 C 1 B 的交點(diǎn)為 E ,連接 DE , 則 E ( 0 , 2 , 2 ), ∴ ?? ?? = 32, 0 , 2 , ?? ??1 = ( 3 , 0 , 4 ), ∴ ?? ?? =12?? ??1 , ∴ ?? ?? ∥ ?? ??1 , ∴ DE ∥ AC1 . ∵ DE ? 平面 C DB 1 , AC 1 ? 平面 C DB 1 , ∴ AC 1 ∥ 平面 C DB 1 . 1 2 3 4 5 3 . 正方體 A B CD A 1 B 1 C 1 D 1 的邊長(zhǎng)為 4 , M , N , E , F 分別是棱A 1 D 1 , A 1 B 1 , D 1 C 1 , B 1 C 1 的中點(diǎn) . 求證 : 平面 A MN ∥ 平面 E F B D. 1 2 3 4 5 證明 :如圖 ,建立空間直角坐標(biāo)系 D xyz , 則 A ( 4 , 0 , 0 ), M ( 2 , 0 , 4 ), N ( 4 , 2 , 4 ), D ( 0 , 0 , 0 ), B ( 4 , 4 , 0 ), E ( 0 , 2 , 4 ), F ( 2 , 4 , 4 ) . 取 MN 的中點(diǎn) G 及 EF 的中點(diǎn) K , BD 的 中點(diǎn) Q ,連接 AG , QK ,則 G ( 3 , 1 , 4 ), K ( 1 , 3 , 4 ), Q ( 2 , 2 , 0 ) . 所以 ?? ?? = ( 2 , 2 , 0 ), ?? ?? = ( 2 , 2 , 0 ), ?? ?? = ( 1 , 1 , 4 ), ?? ?? = ( 1 , 1 , 4 ), 可得 ?? ?? = ?? ?? , ?? ?? = ?? ?? . 所以 MN ∥ EF , AG ∥ QK . 又 MN , AG ? 平面 EFBD , EF , QK ? 平面 EFBD , 所以 MN ∥ 平面 EFBD , AG ∥ 平面 E F B D. 又 MN ∩ A G= G , 所以平面 A MN ∥ 平面 E F B D. 1 2 3 4 5 4 . 如圖 , 在四棱錐 P A B CD 中 , 底面 A B CD 是正方形 , 側(cè)棱 PD ⊥ 底面A B CD , P D= DC , E 是 PC 的中點(diǎn) , 作 EF ⊥ PB 于點(diǎn) F. 求證 :( 1 ) PA ∥ 平面 E D B 。 n = 0 ,故選 D . 答案 : D 1 2 3 4 5 2 . 如圖 , 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 , A C = 3 , B C = 4 , AB= 5 , AA1= 4 , 點(diǎn) D 是 AB 的中點(diǎn) . 求證 :( 1 ) AC ⊥ BC1。 ?? ?? = 1 1 = 0 , ?? ?? 二是證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直 . 探究一 探究二 探究三 證明 : ( 1 )( 方法一 ) 如圖所示 ,以三棱錐的頂點(diǎn) P 為原點(diǎn) ,以 PA , PB , PC 所在直線分別作為 x 軸、 y 軸、 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 . 令 P A = P B = P C = 3 ,則A ( 3 , 0 , 0 ), B ( 0 , 3 , 0 ), C ( 0 , 0 , 3 ), E ( 0 , 2 , 1 ), F ( 0 , 1 , 0 ), G ( 1 , 1 , 0 ), P ( 0 , 0 , 0 ) . 于是 ?? ?? = ( 3 , 0 , 0 ), ?? ??
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