20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學(xué)24用向量討論垂直與平行(編輯修改稿)
2024-12-22 23:22 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 1 ), ∴ m ∥ n , ∴ 平面 EFG ∥ 平面 HM N . 探究一 探究二 探究三 點評 用空間向量法證明立體幾何中的平行問題 ,主要運用了直線的方向向量和平面的法向量 ,本題中的證法二就是 .同時也要借助空間中已有的一些關(guān)于平行的定理 .此種類型的題主要考查數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸思想 . 探究一 探究二 探究三 利用向量方法證明空間中的垂直關(guān)系 1 . 線線垂直 設(shè)直線 l1, l2的方向向量分別是 a , b ,若要證明 l1⊥ l2,只要證 a ⊥ b ,即證明a b = 0 . 2 . 線面垂直 ( 1 ) 設(shè)直線 l 的方向向量為 a ,平面 α 的法向量是 u ,若要證 l ⊥ α ,只需證a ∥ u . ( 2 ) 根據(jù)線面垂直的判定定理 . 3 . 面面垂直 ( 1 ) 根據(jù)面面垂直的判定定理 . ( 2 ) 證明兩個平面的法向量垂直 ,則可證明兩個平面垂直 . 探究一 探究二 探究三 【典型例題 5 】 在正方體 A B CD A 1 B 1 C 1 D 1 中 , E 為 AC 的中點 . 證明 : ( 1 ) BD 1 ⊥ AC 。 ( 2 ) BD 1 ⊥ EB 1 . 思路分析 :證明線線垂直 ,即證它們的方向向量垂直 ,即 a b = 0 . 探究一 探究二 探究三 證明 :以 D 為原點 , DA , DC , DD1所在直線分別為 x 軸、 y 軸、 z 軸建立如圖所示的空間直角坐標系 D x yz. 設(shè)正方體的棱長為 1 ,則 B ( 1 , 1 , 0 ), D1( 0 , 0 , 1 ), A ( 1 , 0 , 0 ), C ( 0 , 1 , 0 ), E 12,12, 0 , B1( 1 , 1 , 1 ) . 探究一 探究二 探究三 ( 1 ) ?? ??1 = ( 1 , 1 , 1 ), ?? ?? = ( 1 , 1 , 0 ), ∴ ?? ??1 ?? ?? = ( 1 ) ( 1 ) + ( 1 ) 1 + 1 0 = 0 , ∴ ?? ??1 ⊥ ?? ?? , ∴ BD1⊥ A C . ( 2 ) ?? ??1 = ( 1 , 1 , 1 ), ?? ??1 = 12,12, 1 , ∴ ?? ??1 ?? ??1 = ( 1 ) 12+ ( 1 ) 12+ 1 1 = 0 , ∴ ?? ??1 ⊥ ?? ??1 , ∴ BD1⊥ EB1. 探究一 探究二 探究三 點評 向量 a , b 的數(shù)量積 a b = 0 ,表示 a ⊥ b ,也表示它們的基線垂直 ,這是向量中一個最重要的應(yīng)用 ,而且我們還可以利用這一結(jié)論來證明線面、面面垂直 . 探究一 探究二 探究三 【典型例題 6 】 在正方體 A B C D A1B1C1D1中 , E , F 分別是 BB1, D1B1的中點 . 求證 : EF ⊥ 平面 B1A C . 思路分析 :可以從幾何的角度或向量運算的角度進行證明 . 證法一 :如圖 ,取 A1B1的中點 G ,連接 EG , FG , A1B ,則 FG ∥ A1D1, EG ∥ A1B. ∵ A1D1⊥ 平面 A1B , ∴ FG ⊥ 平面 A1B. ∵ A1B ⊥ AB1, ∴ EG ⊥ AB1. 由三垂線定理 ,得 EF ⊥ AB1. 同理 EF ⊥ B1C. 又 ∵ AB1∩ B1C = B1, ∴ EF ⊥ 平面 B1A C . 探究一 探究二 探究三 證法二 :設(shè) ?? ?? = a , ?? ?? = c , ?? ??1 = b ,則 ?? ?? = ?? ??1 + ??1F =12( ?? ??1 + ??1??1 ) =12( ?? ??1 + ?? ?? ) =12( ?? ??1 + ?? ?? ? ?? ?? ) =12( a +b +c ), ?? ??1 = ?? ?? + ?? ??1 = a + b . ∴ ?? ?? ?? ??1 =12( a + b + c ) ( a + b ) =12( b2 a2+ c a +c b ) =12( | b |2 | a |2+ 0 + 0 ) = 0 . ∴ ?? ?? ⊥ ?? ??1 ,即 EF ⊥ AB1. 同理 , EF ⊥ B1C. 又 ∵ AB1∩ B1C = B1, ∴ EF ⊥ 平面 B1A C . 探究一 探究二 探究三 證法三 :設(shè)正方體的棱長為 2 ,建立如圖所示的空間直角坐標系 ,則A ( 2 , 0 , 0 ), C ( 0 , 2 , 0 ), B1( 2 , 2 , 2 ), E ( 2 , 2 , 1 ), F ( 1 , 1 , 2 ) . ∴ ?? ?? = ( 1 , 1 , 2 ) ( 2 , 2 , 1 ) = ( 1 , 1 , 1 ), ?? ??1 = ( 2 , 2 , 2 ) ( 2 , 0 , 0 ) = ( 0 , 2 , 2 ), ?? ?? = ( 0 , 2 , 0 ) ( 2 , 0 , 0 ) = ( 2 , 2 , 0 ) . ∴ ?? ?? ?? ??1 = ( 1 , 1 , 1 ) ( 0 , 2 , 2 ) = ( 1 ) 0 + ( 1 ) 2 + 1 2 = 0 , ??
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