北師大版高中數(shù)學(xué)選修2-1立體幾何中的向量方法之二(編輯修改稿)
2024-12-24 13:29 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 n?? |. ∴ d =| PA || co s ,P A n?? |= | | | | | c o s , |||P A n P A nn? ? ? ?= ||||PA nn ?. 這個(gè)結(jié)論說(shuō)明 , 平面外一點(diǎn)到平面的距離等于連結(jié)此點(diǎn)與平面上的任一點(diǎn) ( 常選擇一個(gè)特殊點(diǎn) ) 的向量在平面的法向量上的射影的絕對(duì)值 . ?nA?P?O?8 例 2: 如圖，已知正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 4 ， E 、 F 分別是 AB 、 AD 的中點(diǎn)， GC ⊥平面 ABCD ，且 GC ＝ 2 ，求點(diǎn) B 到平面 EFG 的距離 . 分析 : 用幾何法做相當(dāng)困難 , 注意到坐標(biāo)系建立后各點(diǎn)坐標(biāo)容易得出 , 又因?yàn)榍簏c(diǎn)到平面的距離可以用法向量來(lái)計(jì)算 , 而法向量總是可以快速算出 . x y z C G D E F A 果斷地用坐標(biāo)法處理 . B 9 例 2 : 如圖，已知正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 4 ， E 、 F 分別是 AB 、 AD 的中點(diǎn)， GC ⊥平面 ABCD ，且 GC ＝ 2 ，求點(diǎn) B 到平面 EFG 的距離 . 解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系 C － xy z ． 由題設(shè) C ( 0 , 0, 0 ) ， A ( 4, 4 , 0) ， B ( 0, 4 , 0) ， D ( 4, 0, 0 ) ， E ( 2 , 4, 0 ) ， F ( 4, 2, 0 ) ， G( 0 , 0, 2) ． 設(shè)平面 E F G 的一個(gè)法向量 為 ( , , )n x y z? ( 2, 2, 0 ) , ( 2, 4, 2 ) ,E F E G? ? ? ? ?n E F n E G??， 2 2 02 4 2 0xyx y Z????? ? ? ? ??11( , , 1 ) ,33n??B ( 2, 0, 0 )E ?| B E | 2 11 .11ndn?? ? ?答 : 點(diǎn) B 到平面 EFG 的距離 為 2 1111 . x y z G C B A E D F 10 練習(xí) ( 用向量法求距離 ) : 1. 如圖 , ABCD 是矩
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