20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學(xué)322拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)(編輯修改稿)
2024-12-22 23:22 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 線的位置關(guān)系 . 解 :由題意 ,設(shè)直線 l 的方程為 y 1=k ( x + 2 ) . 由方程組 y 1 = k ( x + 2 ),y2= 4x ,( * ) 得 ky2 4 y + 4 ( 2 k + 1 ) =0. ① ( 1 ) 當(dāng) k = 0 時(shí) ,由方程 ① 得 y = 1 .把 y = 1 代入 y2=4x ,得 x=14. 這時(shí) ,直線 l 與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn) 14, 1 . 探究一 探究二 探究三 探究四 ( 2 ) 當(dāng) k ≠ 0 時(shí) ,方程 ① 的判別式為 Δ = 16 ( 2k2+k 1 ) . ① 由 Δ =0 ,即 2k2+k 1=0 ,解得 k= 1 或 k=12. 于是 ,當(dāng) k= 1 或 k=12時(shí) ,方程 ① 只有一個(gè)解 ,從而方程組 ( * ) 只有一個(gè)解 .這時(shí) ,直線 l 與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn) . ② 由 Δ 0 ,即 2k2+k 10 ,解得 1 k 12. 于是 ,當(dāng) 1 k 12,且 k ≠ 0 時(shí) ,方程 ① 有兩個(gè)解 ,從而方程組 ( * ) 有兩個(gè)解 .這時(shí) ,直線 l 與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn) . 探究一 探究二 探究三 探究四 ③ 由 Δ 0 ,即 2k2+k 10 ,解得 k 1 或 k12. 于是 ,當(dāng) k 1 或 k12時(shí) ,方程 ① 沒(méi)有實(shí)數(shù)解 ,從而方程組 ( * ) 沒(méi)有解 .這時(shí) ,直線 l 與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn) . 綜上 ,我們可得 當(dāng) k= 1 或 k=12或 k = 0 時(shí) ,直線 l 與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn) 。 當(dāng) 1 k 12,且 k ≠ 0 時(shí) ,直線 l 與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn) 。 當(dāng) k 1 或 k12時(shí) ,直線 l 與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn) . 探究一 探究二 探究三 探究四 點(diǎn)評(píng) 解決直線與圓錐曲線的交點(diǎn)問(wèn)題時(shí) ,主要方法是構(gòu)建一元二次方程 ,判斷其解的個(gè)數(shù) ,確定斜率或直線的傾斜角時(shí) ,應(yīng)特別注意斜率為 0和斜率不存在兩種情形 ,還應(yīng)注意在拋物線中 ,直線和曲線有一 個(gè)公共點(diǎn)并不一定相切 . 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例題 4 】 如圖 , 已知拋物線 y2= x 與直線 y = k ( x + 1 )( k ≠ 0 ) 相交于A , B 兩點(diǎn) , 且直線與 x 軸交于點(diǎn) N. ( 1 ) 求證 : OA ⊥ OB 。 ( 2 ) 當(dāng) △ OAB 的面積等于 10 時(shí) , 求 k 的值 . 思路分析 :利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式或應(yīng)用向量解題 . 探究一 探究二 探究三 探究四 ( 1 ) 證明 :設(shè) A ( y12, y1), B ( y22, y2) . ∵ N ( 1 , 0 ), NA = ( 1 y12, y1), NB = ( 1 y22, y2), 由 A , N , B 共線 , y2 y2y12=y1 y1y22, ∴ y2 y1=y1y2( y1 y2) . 又 y1≠ y2, ∴ y1y2= 1. ∴ OA OB =y1y2+ y12y22=y1y2( 1 + y1y2) =0 , ∴ OA ⊥ OB . 探究一 探究二 探究三 探究四 ( 2 ) 解 : S △OAB=12 1 |y2 y1| , 由 y2= x ,y = k ( x + 1 )得 ky2+y k = 0 . ∴ y1+y2= 1k, y1y2= 1. ∴ S △OA B=12 1 |y2 y1|=12 1k2+ 4 = 10 , ∴ k = 177。16. 點(diǎn)評(píng) 解決直線與拋物線位置關(guān)系問(wèn)題 ,常常需要根據(jù)題目條件選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?,以便解題過(guò)程簡(jiǎn)便易行 . 探究一 探究二 探究三 探究四 易錯(cuò)辨析 易錯(cuò)點(diǎn) 因忽視斜率不存在及二次項(xiàng)系數(shù)而漏解 【典型例題 5 】 求過(guò)點(diǎn) P ( 0 , 1 ) 且與拋物線 y2=2x 只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線方程 . 錯(cuò)解 :設(shè)所求直線方程為 y = k x + 1 . 由方程組 y = kx + 1 ,y
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