20xx北師大版選修2-1高中數學322拋物線的簡單性質(編輯修改稿)
2024-12-22 23:22 本頁面
【文章內容簡介】 線的位置關系 . 解 :由題意 ,設直線 l 的方程為 y 1=k ( x + 2 ) . 由方程組 y 1 = k ( x + 2 ),y2= 4x ,( * ) 得 ky2 4 y + 4 ( 2 k + 1 ) =0. ① ( 1 ) 當 k = 0 時 ,由方程 ① 得 y = 1 .把 y = 1 代入 y2=4x ,得 x=14. 這時 ,直線 l 與拋物線只有一個公共點 14, 1 . 探究一 探究二 探究三 探究四 ( 2 ) 當 k ≠ 0 時 ,方程 ① 的判別式為 Δ = 16 ( 2k2+k 1 ) . ① 由 Δ =0 ,即 2k2+k 1=0 ,解得 k= 1 或 k=12. 于是 ,當 k= 1 或 k=12時 ,方程 ① 只有一個解 ,從而方程組 ( * ) 只有一個解 .這時 ,直線 l 與拋物線只有一個公共點 . ② 由 Δ 0 ,即 2k2+k 10 ,解得 1 k 12. 于是 ,當 1 k 12,且 k ≠ 0 時 ,方程 ① 有兩個解 ,從而方程組 ( * ) 有兩個解 .這時 ,直線 l 與拋物線有兩個公共點 . 探究一 探究二 探究三 探究四 ③ 由 Δ 0 ,即 2k2+k 10 ,解得 k 1 或 k12. 于是 ,當 k 1 或 k12時 ,方程 ① 沒有實數解 ,從而方程組 ( * ) 沒有解 .這時 ,直線 l 與拋物線沒有公共點 . 綜上 ,我們可得 當 k= 1 或 k=12或 k = 0 時 ,直線 l 與拋物線只有一個公共點 。 當 1 k 12,且 k ≠ 0 時 ,直線 l 與拋物線有兩個公共點 。 當 k 1 或 k12時 ,直線 l 與拋物線沒有公共點 . 探究一 探究二 探究三 探究四 點評 解決直線與圓錐曲線的交點問題時 ,主要方法是構建一元二次方程 ,判斷其解的個數 ,確定斜率或直線的傾斜角時 ,應特別注意斜率為 0和斜率不存在兩種情形 ,還應注意在拋物線中 ,直線和曲線有一 個公共點并不一定相切 . 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例題 4 】 如圖 , 已知拋物線 y2= x 與直線 y = k ( x + 1 )( k ≠ 0 ) 相交于A , B 兩點 , 且直線與 x 軸交于點 N. ( 1 ) 求證 : OA ⊥ OB 。 ( 2 ) 當 △ OAB 的面積等于 10 時 , 求 k 的值 . 思路分析 :利用根與系數的關系、弦長公式或應用向量解題 . 探究一 探究二 探究三 探究四 ( 1 ) 證明 :設 A ( y12, y1), B ( y22, y2) . ∵ N ( 1 , 0 ), NA = ( 1 y12, y1), NB = ( 1 y22, y2), 由 A , N , B 共線 , y2 y2y12=y1 y1y22, ∴ y2 y1=y1y2( y1 y2) . 又 y1≠ y2, ∴ y1y2= 1. ∴ OA OB =y1y2+ y12y22=y1y2( 1 + y1y2) =0 , ∴ OA ⊥ OB . 探究一 探究二 探究三 探究四 ( 2 ) 解 : S △OAB=12 1 |y2 y1| , 由 y2= x ,y = k ( x + 1 )得 ky2+y k = 0 . ∴ y1+y2= 1k, y1y2= 1. ∴ S △OA B=12 1 |y2 y1|=12 1k2+ 4 = 10 , ∴ k = 177。16. 點評 解決直線與拋物線位置關系問題 ,常常需要根據題目條件選擇恰當的方法 ,以便解題過程簡便易行 . 探究一 探究二 探究三 探究四 易錯辨析 易錯點 因忽視斜率不存在及二次項系數而漏解 【典型例題 5 】 求過點 P ( 0 , 1 ) 且與拋物線 y2=2x 只有一個公共點的直線方程 . 錯解 :設所求直線方程為 y = k x + 1 . 由方程組 y = kx + 1 ,y
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